IAL6

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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Expansão em Co-fatores
Seja:
 
 
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Determinante menor, 
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Co-fator de = 
Soma dos produtos das entradas de uma linha com co-fatores de mesma linha
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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De forma que, a matriz dos co-fatores:
Ou seja, 
Co-fator de = 
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Expansão em co-fatores
Linha
Coluna
Exemplo - Expansão em co-fatores ao longo da 2º coluna:
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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OPERAÇÕES
Soma
DET(A)
Exemplo:
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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-3L2 + L1
-2L2 + L3
-3L2 + L4
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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L1+L3
ou,
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Se multiplicarmos as entradas de uma linha por co-fatores de outra linha, o que teremos?
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Exemplo:
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Exemplo – Dada a matriz . Calcule det(A) por expansão em co-
fatores ao longo da primeira linha de A.
Exemplo – Dada a matriz . Calcule det(A).
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Exercício Considere T : 4 →4, T(x,y,z,w) = (z+y, x -2y, z, w). Calcule o determinante por co-fatores.
Solução :
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Método para encontrar a inversa de uma matriz
Adjunta de uma matriz – Transposta da matriz dos co-fatores
Seja:
Qual a matriz dos co-fatores?
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Matriz dos co-fatores:
Adjunta de A= adj(A):
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Inversa de uma matriz usando a adjunta
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Inversa de uma matriz usando a adjunta
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Exemplo: Encontre a inversa 
da matriz dos coeficientes.
-3L2 + L1
-2L2 + L3
Passo 1: achar o determinante
Passo 2: achar o matriz adjunta que é:
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Passo 3: aplicar na fórmula da inversa
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REGRA DE CRAMER
 
 Seja Ax=b Se 
			 A é invertível
			 Sistema de uma única solução 
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2 – Determinantes
 1 – A função determinante
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Lembrando que, se A não for invertível, dependendo do valor de b, o sistema terá solução!!!
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REGRA DE CRAMER
 
 Seja Ax=b
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2 – Determinantes
 1 – A função determinante
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 onde é a matriz obtida substituindo as entradas da j-ésima coluna de A pelas entradas da matriz b.
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Mas de onde vem esta teoria??
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2 – Determinantes
 1 – A função determinante
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Se
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Para uma matriz 3x3:
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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Resolva o sistema pela regra de Cramer:
Solução:
Matriz não invertível
A regra de Cramer não se aplica
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Use a regra de Cramer para resolver em y 
sem resolver em x, z e w
Solução:
2 – Determinantes
 3 – Expansão em co-fatores
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