IAL I I 03 Espacos Vetoriais[1]

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5 ESPAÇOS VETORIAIS
1
5 – ESPAÇOS VETORIAIS
1 – DEFINIÇÃO E EXEMPLOS1 – DEFINIÇÃO  E  EXEMPLOS
Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações 
de adição e multiplicação por escalar, isto é:ç p ç p ,
VαvVvα
VvvV,vv


11
2121
,,
, 
O conjunto V com estas duas operações é denominado espaço vetorial se 
forem verificados os seguintes axiomas:
VαvVvα 
11
,, 
g
A) Em relação à adição: 
)()(  V)A
00
,,
,,),()(
211221
321321321



vvVvV
Vvvvvvv
Vvvvvvvvvv
)A
 )A
 )A
2
1
0)(
0,,0
1111
111


vV, v-vV, v
vvVvV 
)( )A
 )A
4
3
B) Em relação à multiplicação por escalar             :
2
) ,(
) ç p ç p
111
11
)(
)()(
vvv
vv


 )B
 )B
2
1


),(
11
2121
111
1
)(
)(
vv
vvvv
vvv


 )B
 )B
)
4
3
2


‐ Os elementos                     de um espaço vetorial V são denominados 
vetores
,,,,
321
vvv 
vetores. 
Observação:Observação:  
• Se na definição acima,  os escalares             pertencerem ao conjunto dos 
números reais, o espaço V será um espaço vetorial real.  Caso os escalares 
 e 
sejam números complexos, V será um espaço vetorial complexo.
Exemplo 12 .
3
Exemplo 12 .
O conjunto                                                     é um espaço vetorial com as 
operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas:
  yxyxV ,/),(2
)()(
),(),(),(
1111
21212211
yxyx
yyxxyxyx
 

‐ Essas operações são denominadas operações  usuais .
),(),(
1111
yxyx 
• Para verificar os oitos axiomas de espaço vetorial,  considere  ),,(
111
yxv 
),(),(
333222
yxvyxv  e 
 
 
),(),(
),(),(),()(
332121
332211321
yxyyxx
yxyxyxvvv

 )A
1
 
 
)(),(
)(,)(
321321
321321
yyyxxx
yyyxxx


 
)(),(),(),(
),(),(
321332211
323211
vvvyxyxyx
yyxxyx


 
4
   )A
2 221121
),(),( yxyxvv 
1212
2121
)()(
),(
),(
yyxx
yyxx


   
121122
),(),( vvyxyx 
22
000 )()A 
11111111
2
1
2
),()0,0()0,0(),(0
,000
vyxyxyxv
v,
 
 )( )A
3


)00()()()()(
),(),),(
2
111
2
111
yyxxyxyxνν
yxvyxv

  (‐      )A
4
)0,0(),(),(),()(
1111111111
 yyxxyxyxνν         
   
)M )( yxαβναβ    
 
  
 )M
1
11
11
111
)(),(
,
),(
βyαβxα
αβyαβx
yxαβναβ



 
     
 
11111
11
),(,
)(),(
βναyxβαβyβxα
βyβ

5
   
)()M
2
,yxβανβα 
111
   
 
     
)()(
2
βyy,βxαx
yβα,xβα
yββ
1111
11
111



    βναν ,yxβ ,yxα
111111

   
)()()M yxyxαννα    
 
  
)()()M
3
2121
2121
221121
,
yy,xαx
yyxxα
,yx,yxανν α



 
 
212211
2211
2121
),(),(
),(),(
ανανyxαyxα
 yαxyαx 
yy

 
 
   111 11
,11 yxν )M
4

   
11111
,1,1 νyxyx 
Exemplo 13.
6
Exemplo 13.
O conjunto                     , de todas as matrizes de ordem 2  com  elementos 
reais , é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por 
2,2
MV
um número real assim definidas:
MBA 










1212111112111211
,
baba
baba
bb
bb
aa
aa
BA
MBA  ,

  2222212122212221 bababbaa






2221
1211
2221
1211
aa
aa
aa
aa
A 

Exemplo 14.
7
Exemplo 14.
O conjunto V de funções reais, definidas na reta real (‐,), é um espaço 
vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real 
assim definidas:
gfg),(f kVg(x)xf    e , ,  
 
 
)()(f
)()()(gf
xkfxk
xgxfx


8
2 – PROPRIEDADES DOS  ESPAÇOS  VETORIAISÇ
Da definição de espaço vetorial V, decorrem as seguintes propriedades:
I. Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição).
II. Cada vetor              admite apenas um simétrico                 . Vν 
1
 
Vν 
1
III. Para quaisquer                        , se   ,  então             .          Vννν 
321
,,
3231
νννν 
21
νν 
IV. Qualquer que seja   ,  tem‐se:                      , isto é, o oposto 
de é .
Vν 
1
 
11
νν 
1
ν
1
ν
de  é   .
V. Quaisquer que sejam                  ,  existe um e somente um  x, tal 
1
ν
1
ν
Vνν 
21
,
Q q q j , ,
que                     .
V
21
,
21
νxν 
9
VI. Qualquer  que seja            ,               . Vν 
1
00
1
ν
O primeiro zero é o número zero. O segundo é o vetor com elementos iguais a zero.
VII. Qualquer  que seja .00,  αα 
VIII. , implica0
1
ν  .00
1
 ν ou 
IX. Qualquer que seja            ,                       .       
11
1 νν Vν 
1
X. Quaisquer  que sejam             e                                                             .  Vν 
1
     
111
vvvα - ,  
10
3 – SUBESPAÇOS VETORIAIS3  SUBESPAÇOS VETORIAIS
Um subconjunto S não vazio de um espaço vetorial V é um subespaçoUm subconjunto S, não vazio, de um espaço vetorial V, é um subespaço 
vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições:
I. Para quaisquer   .,,
2121
SννSνν  
II. Para quaisquer                                             .
SνSν 
1
  ,,
1
‐ Todo espaço vetorial                admite, pelo menos, dois subespaços: 
0V
 1. o conjunto       , denominado de subespaço zero ou subespaço 
nulo e
2 o próprio espaço vetorial V
 
0
2. o  próprio espaço vetorial  V.  
Exemplo 15 .
11
Exemplo 15 .
Sejam                 e                                               ou                                         , isto é, 
S é o conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual 
 
2V    xxxS );2,( xyyxS 2/),( 2 
ao dobro da primeira.  
‐ Observe que S  , pois                 . S)0,0(
• Para verificar as condições I e II,  considere                                ,
e 
Sxxν  )2,(
111
Sxxν  )2,(
222
.
, pois a segunda componente do 
 
  Sxxxx
xxxxνν

 I)
)(2,
22,
2121
212121
, p g p
somatório é igual ao dobro da primeira
 )(,
2121
 
xxααν  II)
111
2,
,  pois a segunda componente do produto é igual 
ao dobro a primeira.
 
  Sαxαx  
11
111
2,
‐ Portanto S é um subespaço vetorial de              . 
 
2V
Exemplo 16.
12
Exemplo 16.
Sejam                 e                                                     ou                                               . 
P ifi di õ I II id
 
2V
S)24(
 
  xxxS );24,( xyyxS 24/),( 2 
• Para verificar as condições I e II,  considere                                       e
.
Sxxν  )24,(
111
Sxxν  )24,(
222
 
   
Sxxxxxxxx
xxxxνν
 
 I)


)(28,2424,
2424,
21212121
212121
‐ Portanto S não é um subespaço vetorial de              . 
 
2V
   
Sxxxxxxxx )(8,,
21212121
• Observe que                   .S)0,0(
Portanto a reta S não passa pela origem, então S não é subespaçovetorial  de              .
 
2V
Exemplo 17.
13
Exemplo 17.
Sejam                                                                   e                                             .
 



 

 a,b,c,d
dc
ba
V ;Μ
2,2
 



 

 a,c
c
a
S ;
0
0
• Para  verificar as condições I e II, considere  
   
a  0 a  0
,                                   e      
S
c
a
ν 


0
0
1
1
1
 
S
c
a
ν 


0
0
2
2
2
 
.
S
cc
aa
c
a
c
a
νν 







 I)
0
0
0
0
0
0
21
21
2
2
1
1
21  2121
S
αa
αν II)
0
1
1
‐ S é um subespaço vetorial deM
S
αc
αν 
 II)
0
1
1
‐ S é um subespaço vetorial de M
2,2
.                 
14
4 – COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES4  COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES
Sejam os vetores do espaço vetorial V e os escalares
ννν ,,,
21
 aaa ,,,
21

Sejam os vetores                      do espaço vetorial V e os escalares                      .
Qualquer vetor     da forma
n
ννν ,,,
21

n
aaa ,,,
21

nn
νaνaνaν  
2211
ν
é uma combinação linear dos vetores                      .
nn2211
n
ννν ,,,
21

Exemplo 18.
No espaço vetorial o vetor é uma combinação linear
3  22157νNo espaço vetorial      , o vetor                                é uma combinação linear 
dos vetores                         e                          porque:                        . 
   22,15,7 ν 
4,3,2
1
ν  
2,1,5
2
ν
21
34 ννν 
 
)215(3)432(422157
 
 
22,15,7)6,3,15()16,12,8(
)2,1,5(3)4,3,2(422,15,7


15
Exemplo 19 .  Escreva o vetor                              como combinação linear dos vetores  
e                         . 
 
7,18,4 ν 
2,3,1
1
ν  1,4,2
2
ν
Pretende‐se que:                             , sendo a
1
e a
2
escalares a determinar.
D t
2211
νaνaν 
Deve‐se ter:      
 21
2432
1,4,22,3,17,18,4
aaaaaa
aa


Pela condição de igualdade de vetores, tem‐se o sistema
 
212121
2,43,2 aaaaaa 
cuja solução é: a
1
= 2 e a
2
= -3.



1843
42
21
21
aa
aa
1 2
Portanto:


 72
21
21
aa
32 ννν Portanto: 
21
32 ννν 
16
Exemplo 20.  Mostre que o vetor                        não é uma combinação linear dos vetores  
e                         . 
 
6,3,4 ν 
2,3,1
1
ν  1,4,2
2
ν
Pretende‐se mostrar que não existem escalares a
1
e a
2
, tais que:

Utilizando procedimento análogo ao do problema anterior
2211
νaνaν 
          
 
212121
21
2,43,2
1,4,22,3,16,3,4
aaaaaa
aa


Pela condição de igualdade de vetores, tem‐se o sistema
  42 21 aa
que é incompatível, não admite solução.





62
343
21
21
21
aa
aa
Portanto, não existem escalares a
1
e a
2
 21
17
Exemplo 21.  Determine o valor de k para que o vetor                             seja combinação 
linear dos vetores                         e                          .
 
7,,1  kν 
2,3,1
1
ν  1,4,2
2
ν
Deve‐se ter:
2211
νaνaν 
     
 
212121
21
2,43,2
1,4,22,3,17,,1
aaaaaa
aak


Pela condição de igualdade de vetores, tem‐se o sistema
 
212121
  12
cuja solução é: a
1
= -3, a
2
= 1 e k = 13.





72
43
12
21
21
kaa
aa
Para k 13 tem se que
  72 21 aa
13 ννν 
Para k = 13 tem‐se que 
21
13 ννν 
5 – SUBESPAÇO VETORIAL GERADO
18
Sejam V um espaço vetorial e o conjunto                                         ,         .  VνννA
n
 ,,,
21
 A
O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos
vetores de A é um subespaço vetorial de V
De fato, se e são
vetores de A é um subespaço vetorial de V.
νaνaνa  
22111

nn
νaνaνa  
22112

De fato, se                                                   e                                                    são
dois quaisquer vetores de S, pode‐se escrever:  
I. .
nn
νaνaνa 
22111

nn22112

nnn
νbaνbaνba )()()(
22211121
 
II. .
Isto é e por serem combinações lineares de
nnn
)()()(
22211121

nn
ναaναaναaαμ )()()(
22111
 
ννν
S 
SIsto é,                      e                por serem combinações lineares de                     .
Logo, S é um subespaço vetorial de V.    
n
ννν ,,,
21

S
21

S
1

• O subespaço S diz‐se gerado pelos vetores                      , ou gerado pelo 
n
ννν ,,,
21

19
p ç g p g p
conjunto A e se representa por                                 ou                    ou
.
n
,,,
21 
n
νννS ,,,
21

)G(AS  
n
vvvgerAgerS ,,,)(
21

• Os vetores                       são chamados geradores do subespaço S, e A é 
o conjunto gerador de S.
n
ννν ,,,
21

• Todo conjunto             gera um subespaço vetorial de V, podendo 
ocorrer que caso em que A é o conjunto gerador de V
VA )G(
VA
ocorrer que                   , caso em que A é o conjunto gerador de V.
VA )G(
Exemplo 22.p
Os vetores                   e                   geram o espaço vetorial              , pois 
qualquer par                     é uma combinação linear de      e      . 
 
2V)0,1(
1
 )1,0(
2

2
),( yx
1

2

 
     
x,y ,y,x
yμxμx,y


1001
21     
20
Exemplo 23.
Os vetores                      e                       do        geram o subespaço vetorial
, pois:
)0,0,1(
1

   yxyxS ,/0,, 3 )0,1,0(2  
3
 
     
0,0,1,00,0,1
0,,
21
x,yyx
yxyx
 
 
Isto é,  S é o plano x0y.
     
,,,,, ,yy
21
Exemplo 24.
Verificar se o conjunto                                               gera o      .
 
2    5,3,2,1
21
 vvA
Para que o conjunto A gere o       é necessário que qualquer vetor2 
seja uma combinação linear de v
1
e v
2
, isto é, devem existir 
números reais a
1
e a
2
, tais que:
  2
,  yxv
   
     
52315321
5,32,1
21
2211
aa
vavav


     
52,315,32,1
21212211
aaaaaaaa  
Dessa igualdade resulta o sistema:
cuja solução é




yaa
xaa
21
21
52
3




yxa
yxa
2
35
2
1

 
21
)2()35(, vyxvyxyx 
Então    
21
2
,vvger
22
Exemplo 25.
Verificar se o conjunto                                                                 gera o      .
 
2      4,7,1,0,0,1
321
 vvvA
Para que o conjunto A gere o       é necessário que qualquer vetor2
seja uma combinação linear de v
1
, v
2
e  v
3
isto é, devem 
existir números reais a
1
,  a
2 
e a
3
tais que:
  2
,  yxv
     
       
4,71,00,1
321
332211
aaa
vavavav


       
4,74,7,00,
32313321
aaaaaaaa  
Dessa igualdade resulta o sistema:
cuja solução é 



32
31
4
7
aya
axa




yaa
xaa
32
31
4
7
Por exemplo se  , tem‐se:                      e                   .2
3
a 14
1
 xa 8
2
ya
 
2)8()14( vvyvxyx 
Então    
321
2
,v,vvger
 
321
2)8()14(, vvyvxyx 
6 – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
23
Sejam V um espaço vetorial                                        .  VνννA
n
 ,,,
21

• O conjunto A é linearmente independente (LI) ou os vetores
são LI se a equação
n
ννν ,,,
21

são LI se a equação
admitir solução trivial única .
0
2211

nn
νaνaνa 
0
21
 aaa admitir solução trivial única                                       .
• Se existirem soluções            , diz‐se que o conjunto A é linearmente 
0
21 n
aaa
0
i
a
ç q j
dependente (LD) ou que os vetores                       são LD. 
i
n
ννν ,,,
21

‐ Os vetores são LD se e somente se um deles for umaννν ,,,
21

Os vetores                       são LD se e somente se um deles for uma 
combinação linear dos outros.
n
ννν ,,,
21

24
25
Exemplo 26.    
No espaço vetorial        os vetores                 ,                 e                  são LD.
A equação admite como solução
 
2  0,1
1
v  1,0
2
v  7,4
3
v
0 vavava 0a‐ A equação                                       , admite como solução            . 
     
07,41,00,1
321
 aaa
0
332211
 vavava 0
i
a
     
       
07,47,4,00,
32313321
321
 aaaaaaaa 
D i ld d lt i tDessa igualdade resulta o sistema:
cuja solução é 
 
31
7
4aa
  04 31 aa j ç
Por exemplo se  , tem‐se:                e                   .
  32 7aa  07 32 aa
2
3
a 8
1
a 14
2
a
Então,  os vetores são LD.
26
Exemplo 27.  
No espaço vetorial        os vetores                     e                      são LI.
A equação admite como solução
 
3  3,2,6
1
v  
3,5,0
2
v
0 vava 0 aa‐ A equação                            , admite como solução                     . 
   
     
03,5,03,2,6
21
 aa
0
2211
 vava 0
21
 aa
     
033,52,63,5,03,2,6
2121122111
 aaaaaaaaaa 
D i ld d lt i tDessa igualdade resulta o sistema:
cuja solução é   01a



052
06
1
aa
a
cuja solução é
  02a



033
052
21
21
aa
aa
Então,  os vetores são LI.
7 – BASE E DIMENSÃO
27
• Um conjunto                                        é uma base do espaço vetorial V se  VνννB
n
 ,,,
21

I.  B é LI.
II.  V=ger(B), B gera V.
• Se V é um espaço vetorial e possui uma base com n vetores, V tem 
di ã A di ã d V i di di Vdimensão n. A dimensão de V se indica por dimV=n.
Exemplo 28.
2
p
é base do      , denominada base canônica.
O espaço gerado       possui dimensão 2.
 
)1,0(),0,1(B 2
  0a
I. .                                                                                                  B é LI
II
        



 
0
0
0,00,1,00,1
2
1
2121
a
a
aaaa
   yvxvx yII. . 
      22121 ),(
1001


vvger
x,y ,y,x
yvxvx,y
28
Exemplo 29.  2 2é base do         e  dim( )=2 
)5,3(),2,1(B 2
        aa  03 21
 
2
I. .   
e             , portanto  B é LI.             
       
 
aa
aa
aaaaaa


 052
03
05,32,5,32,1
21
21
221121
0
1
a 0
2
a
, p
II
0
1
a
2
II. .
        
x,y aa,aa ,a,a
vavav


212121
2211
5235321
 








yxa
yxa
yaa
xaa
2
35
52
3
2
1
21
21
2
2121
),()2()35(  vvgervyxvyxv
29
Exemplo 30.  é uma base para o espaço vetorial P
n
dos polinômios da 
forma                                            .
 ntttS ,,,,1 2  
n
n
tatataa  2
210
I. .    tatataa n
n
01
2
211
 
, portanto  S é LI.             ,n,, ia
i
10 
II. .                                                   , é uma combinação linear dos 
elementos de S, portanto  P
n
= ger(S)
 tatataa
n
n
 2
211
1p
p
n
g ( )
dim(P
n
) = n+1.
30
Exemplo 31.  
101
 
312 Verifique se os vetores                    ,                     e                       geram o espaço 
vetorial      .
 
1,0,1
2
v  3,1,2
3
v
 
3
 
2,1,1
1
v
I. .        
     
031202
03,1,21,0,12,1,1
321


aaaaaaaa
aaa
     
03,1,2,0,2,,
33322111
 aaaaaaaa
 
 
31
321
0
02
aa
aaa






 
12
31
321
31
032
0
aa
aaa
aa
São LD
‐ Observe que
213
vvv 
3‐ Os vetores não formam uma base do espaço vetorial      .
 
3
31
7 1 P i d d l i à B à Di ã7.1 – Propriedades relativas à Base e à Dimensão
1. Qualquer conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por 
ele gerado.
2. Se                                  for uma base de um espaço vetorial V, todo 
conjunto com mais de n vetores de V é LD.
 
n
νννB ,,,
21

3. Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de 
vetoresvetores.
4. Se                                 é uma base de um espaço vetorial V, qualquer  
n
νννB ,,,
21

vetor  se exprime de maneira única como uma combinação linear 
dos vetores de B. 
Vv
32
5 Se V é um espaço vetorial tal que dimV=n e S é um subespaço vetorial5. Se V é um espaço vetorial tal que  dimV=n e S é um subespaço vetorial 
de V, então dimS  n. 
6. A dimensão de um subespaço vetorial pode ser determinada pelo 
número de variáveis livres de seu vetor genérico.
Exemplo 32.
Determine a dimensão do subespaço  02/)( 3  zyxzyxSDetermine a dimensão do subespaço
‐ Isolando z (ou x ou y) na equação de definição, tem‐se:
d ã á l
 02/),,(  zyxzyxS
yxz  2
onde x e y são variáveis livres.
‐ Para qualquer vetor                        tem‐se: 
Szyx ),,(     
1102012)(
‐ Então, todo vetor de S é uma combinação linear dos vetores  v
1 
= (1,0,-2)
e v = (0 1 1) Como v e v são LI o conjunto é uma
     
1,1,02,0,12,,),,(  yxyxyxzyx
    
110201
e v
2 
= (0,1,-1). Como v
1
e v
2
são LI, o conjunto                                  é uma 
base de S e,  portanto dimS = 2.
    
1,1,0,2,0,1 
8 – MUDANÇA DE BASE
33
Ç
Sejam as bases                      e                         de V.  Dado um vetor          , este  
21
,ννA   
21
,wwB  Vv
será combinação linear dos vetores das bases A e B :
ou                         ou, ainda, 
 
21
 
21
2211
vxvxv   
21
, xxv
A
 

 1xv
A
e 
ou ou ainda
2211
 
21
,
A
 2x
2211
wywyv   
21
yyv
B
  1
y
v
B
ou                         ou, ainda,
2211
wywyv   
21
, yyv
B
 2y
v
B
Os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B isto é:‐ Os vetores da base A podem ser escritos em relação à base B, isto é:
então

 
2211111
wawav    
22211222211111
wawaxwawaxv 
ou 
 
2221122
wawav
       
21
22211222211111
vv
   
22221211212111
wxaxawxaxav     
22221211212111
34
‐ Comparando as equações    e                              , tem‐se:       
22221211212111
wxaxawxaxav 
2211
wywyv 
 
,   ou na forma matricial:




2221212
2121111
xaxay
xaxay






2
1
2221
1211
2
1
x
x
aa
aa
y
y
 
A equação matricial anterior pode ser escrita da seguinte forma
AB
Mvv 
 aa
onde                               é a matriz de mudança de base de A para B. 


2221
1211
aa
aa
M
‐ Para transformar v
b
em v
a
, tem‐se:                      , uma vez que a matriz M
é inversível. Desta forma, M-1 é a matriz de mudança de base B para a A.
BA
vMv
1
ç p
35
• Determinação da matriz de mudança de base
‐ O sistema                                     permite a seguinte notação matricial:




2221122
2211111
wawav
wawav








121111
waav
Fazendo                         ,                          ,                          e
 222122 waav
 
12111
, xxv   
22212
, xxv   
12111
, yyw   
22212
, yyw 
, ,
tem‐ se: 
 
12111
, xxv
 
22212
, xxv
 
12111
, yy
 
22212
, yy
 121121111211
yyaaxx
observe que e
 222122122221 yyaaxx
TT
M
aa
A
xx
 21111211 TB
yy
 1211‐ observe que                                                                 eTT     M
aa
A
xx

 22122221
,
B
yy
 2221
36
Portanto:                         TTT
BMA 
‐ propriedades da matriz transposta:
BMA
 
 
 

TT
T
T
T
BMBM
AA
ou
Como B é uma matriz inversível tem se:
BMA 
ABM
1‐ Como B é uma matriz inversível, tem‐se:       
‐ propriedades da matriz inversa:
ABM 
  
 



BAAB
BB
1
1
1
1
1
ou
 
BAM
11  
•M é a matriz de mudança de base de A para B.
1
• é a matriz de mudança de base de B para A.
1
M
37
Exemplo 33.
2    Considere as seguintes bases do       :                                 e                              .
Determine as matrizes de mudança de base de A para B e de B para A.
2  )2,1(),3,1( A  )2,1(),5,3(B
‐ do enunciado tem‐se as matrizes:                           e   
 


 23
11
A
 


25
13
B
‐matriz de mudança de base de A para B é dada por:
ABM
1
 

‐ inversa de uma matriz (2x2):








 bd
H
bcad(H)
dc
ba
H
1
0det,
1
 
 

ac
H
H
)det(




 1212113
1
1
B 



3535
56
25
B
  411112
MM 








 1142335 MM
38
‐matriz de mudança de base de B para A é dada por:
BAM
11  ç p p


 



 411141
1
1
M

  
 4111
14
1611
114
1
M
ou
 145
M
ou



 12112111
1
1
A    135132323
 411
1
1312
1
 








14
411
5
1
25
13
13
12
5
1
11
MM
39
Exemplo 34.
2  Considere as seguintes bases de       :                                                      e                   
.
) D t i d d d t bit á i
2  )4,3(),2,1(
211
 uuS 
)8,3(),3,1(
212
 vvS
 
b
a) Determine as coordenadas de um vetor arbitrário                    em 
relação à base                       .
b) Determine a matriz P de mudança de base de S para S
 
bav , 
211
,uuS 
b) Determine a matriz P de mudança de base de S
2
para S
1
.
a) Vetor v escrito como combinação linear dos vetores que formam a basea) Vetor v escrito como combinação linear dos vetores que formam a base 
S
1
:                         . Deseja‐se determinar as incógnitas x e y.
  bax
3
2
21
yuxuv 
      








bay
bax
yxb
yxa
yxba
uu
v
2
1
2
2
42
3
4,32,1,
21
 
portanto  
 2
 
21
2
1
2
3
2, ubaubaba 

 

 
22 
40
b) Utilizando o resultado do item (a)   13
2 ubaubaba   b) Utilizando o resultado do item (a),                                                                  , 
represente os vetores v
1
e v
2
como combinação linear de u
1
e u
2
. 
 
21
22
2, ubaubaba  
 
21211
2
5
2
13
2
3
1
2
9
23,1 uuuuv 





 

  
     
21212
718431268,3 uuuuv 
- P é a matriz  cujas colunas são as coordenadas de v
1
e v
2
em relação à base 
SS
1
.
  18
2
13
 matriz de mudança de base de S
2
para S
1
.






7
2
5
2
P