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SOLUÇÃO P3-PROBEST_2012-1

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P3 - Probabilidade e Estatística – 2012.1 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Souza & Roxana C. Contreras 
 
Problema 1 (2.0 pts) 
1.1- (0.4 pt) O que vem a ser um “estimador” e uma “estimativa” de um parâmetro. 
 
SOLUÇÃO 
Estimador são as fórmulas (funções) dos dados da amostra que são usadas para 
definir um resultado para estimar um parâmetro. 
Estimativa é o resultado de um estimador quando substituímos os valores da 
amostra na fórmula. 
 
 
1.2- (0.4 pt) e a = (X1, X2,... Xn), n observações de uma v.a. X. Qual a condição que estas 
observações devem satisfazer para que ela seja considerada uma amostra aleatória. 
 
SOLUÇÃO 
 
A solução é que elas se am “iid” independente e identicamente distribuída. 
 
 
 
1.3- (0.4 pt) Existe diferença entre Probabilidade e verossimilhança? Explique? 
 
SOLUÇÃO 
 Sim, existe. 
 
Probabilidade - Conhecimentos, prevemos a possibilidade de ocorrência de 
determinados fatos, quando se tem conhecimento completo das circunstância 
causativas. A densidade (ou função de probabilidade) os parâmetros são inteiramente 
conhecidos. 
 
Verosssimilhança – É uma coisa obscura, é aquilo que possui semelhança com a nossa 
realidade, vem a ser um nível de convencimento elevado a possibilidade e inferior à 
PROBABILIDADE. Os parâmetros de uma amostra aleatória são desconhecidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4- (0,8 pt) Mostre que se e são v.a. estatisticamente independentes, então 
 . 
 
 SOLUÇÃO 
 
V(X+Y) = E(X+Y)2 – E2(X+Y) 
 
 
E(X+Y) = E(X) + E(Y) - Se X e Y são independentes 
 
 
V(X+Y) = E(X2+2XY+Y2) – [E(X)+E(Y)]2 
 
 = [E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)] – [ E2(X) + 2E(X).E(Y) + E2(Y) ] 
 
Como X e Y são independente, então: 
 
E(XY) = E(X).E(Y) - provar 
 
 
 E(X,Y) = ∫∫(XY).f(X,Y) dx.dy 
 
 = ∫∫(XY).[f(X).f(Y)] dx.dy 
 
 = ∫Yf(y)dy . ∫Xf(x)dx 
 
 = E(Y) . E(X) 
 
 
V(X+Y) = [E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)] – [ E2(X) + 2E(X).E(Y) + E2(Y) ] 
 
 = E(X2) + 2E(X).E(Y) + E(Y2) - E2(X) - 2E(X).E(Y) - E2(Y) ] 
 
 = [E(X2) - E2(X)] + [E(Y2) - E2(Y)] 
 
V(X+Y) = Var (X) + Var (Y) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 (3.0 pts) 
Sejam e v.a.'s contínuas com densidade conjunta: 
 
 
 
a) (0.6 pt) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
b) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
c) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
d) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
e) (0.6 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
SOLUÇÃO 
 
a) (0.6 pt) Encontre a constante c que faz desta expressão uma densidade. 
 
 
1.).,(),(
0 0
  
 
dydxyxfyxf
 
 
1.....
4
1
0 0
22






 
 
 dydxeyxc yx
 

 
  1....
4
1
0 0
22






 
 
 dydxexeyc
y x
xy
 
 
1..
2
1
..
4
1
00
22









 dyeeyc
y
xy
 

 
1.
8
..
0
2

 
dy
eyc
y y 
 
1.
2
1
8 0
2







 ye
c  
1
16

c
 

 c=16 
 
 
 
 
 
 
b) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
dyyxfxf
y
y
.),()(
0




 , onde 
0
0


y
x
 
 
 dyeeyxxf
y
y
yx .....4)(
0
22




 

 
 dyeyexxf yx ....4)(
0
22



 

 









0
22
2
1
..4)( yx eexxf
 
 
  0 ,0 para ,....
4
1
,
22
  yxeyxcyxf yx
  0 ,0 para ,...4,
22
  yxeyxyxf yx
 






 
222 0
2
1
2
1
..4)( eeexxf x
 

 
2
1
...4)(
2xexxf 
 

 
2
..2)( xexxf 
 
 
 
 c) (0.6 pt) Encontre a densidade marginal de . 
 
 
Analogamente a marginal de Y segue a Marginal de X, ou seja: 
 
dxyxfyf
x
x
.),()(
0




 , onde 
0
0


y
x
 
 
 dxeeyxyf
x
x
yx .....4)(
0
22




 

 
 dxexeyyf xy ....4)(
0
22



 

 








0
22
2
1
..4)( xy eeyyf
 

 
 






 
222 0
2
1
2
1
..4)( eeeyyf y
 

 
2
1
...4)(
2yeyxf 
 

 
2
..2)( yeyyf 
 
 
 
 
d) (0.6 pt) Encontre a densidade condicional de dado . 
 
)(
),(
)(
xf
yxf
xXYf 
 , onde 
0
0


y
x
 
 
2
22
..2
...4
)(
x
yx
ex
eyx
yYxf



 

 
2
..2)( yeyyYXf 
 
 
 
e) (0.6 pt) e são independentes? Por que? Justifique. 
 
 
Para ser independentes: 
)().(),( yfxfyxf 
 
 
22
....4),( yx eeyxyxf 
 
 
  22 ..2...2)().( yx eyexyfxf 
 
 
22
....4)().( yx eeyxyfxf 
 
 
Conclusão: 
)().(),( yfxfyxf 
 , então, X e Y são independentes. 
 
 
Problema 3 ( 2.0 pts ) 
Você é contratado pra auditar a pesquisa sobre as intenções de voto do segundo turno da 
eleição presidencial de 2010. 
a) (1.0 pt) determine qual a melhor maneira de estimar a proporção de eleitores que 
votam em um determinado candidato “A” entre os dois candidatos eleitos “A” e “B” para 
o 2º turno. . Nesse sentido, você deve mostrar a dedução do estimador de máxima 
verossimilhança para tal parâmetro (proporção), mostrar todos os passos da solução. 
 
 
 
 ~ binomial (n,Ɵ), n conhecido 
F(x) = p( |n,Ɵ) = 
  xnx
x
n 






 1..
 
Solução 
 
f(x) = p( |n,Ɵ) = 
  xnx
x
n 






 1..
 
Obtenção da função de verossimilhança “Ɵ” 
 
ɭ(Ɵ| ,n) = 
),(
1
nXpN
i 
 
ɭ(Ɵ| ,n) = 
  






N
i
xnx
x
n
1
1.. 
 = 
 
  



N
i
xnx
xnx
n
1
1..
!!
! 
 
 = 
 
  











N
i
xNn
x
i
N
i
N
i
i
xnx
n
1
1
1 1..
!!
! 
 
 
Obtenção do Log-verossimilhança 
 
 (Ɵ| ,n) = ln[ ɭ(Ɵ| ,n)] 
 
 = ln 
 
 

















 



N
i
xNn
x
i
N
i
N
i
i
xnx
n
1
1
1 1..
!!
! 
 
 
 = ln
  














1ln.ln..
)!(!
!
111
N
i
i
N
i
i
N
i
xNnx
xnx
n
 
 
Obtenção do estimador de máxima verossimilhança de “Ɵ” 
 
 
1ª derivada - 
   







11
11
N
i
i
N
i
i x
Nn
x
L 
Iguala a zero - 
0

L
 
 
   
0
11
11 







N
i
i
N
i
i x
Nn
x
 

 
  01
11
 


N
i
i
N
i
i xNnx
 
 
0
111
 


N
i
i
N
i
i
N
i
i xNnxx
 
 
0
1


Nnx
N
i
i
 

 
Nn
x
N
i
i
 1 
 Substituir 
MV ˆ
 então 
n
X
MV ˆ
 
 
 
b) (1.0 pts) A pesquisa da Datafolha divulgou uma semana antes da eleição o seguinte 
resultado: a proporção dos eleitores que votam no candidato “A” é de 53% com uma 
margem de erro de ±3 (pontos percentuais), isso significa que o intervalo de confiança é 
IC=[50% , 56%]. Também foi divulgado que o número de pessoas ouvidas foi de 1200 
pessoas. 
Deduza o grau de confiança (1-α) empregado nesta pesquisa, utilizando o Teorema 
Central do Limite. 
 
 
Intervalo de Confiança - [0.50;0.56] 
N = 1200 
 
 
 
Pelo Teorema Central do Limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 
)ˆ1(ˆ
53,050,0 2/1
n
pp
z

  
)ˆ1(ˆ
ˆlim 2/1inf
n
pp
zp

 
 
1200
47,0.53,0
53,050,0 2/1  z
03,0)0144,0(2/1 z 083,22/1 z
53,0ˆ p
 
 
Coeficiente de confiança [1-α] = ? 
 
 
 [1-α]=?α/2 
 
 
 
 Z1-α/2= 2,083 
 
Pela tabela da distribuição Normal 
P(Z1-α/2= 2,083) = 0,0186 = α/2 α = 0,0186 . 2 = 0,0372 
 
[1-α] = 1 – 0,0372 = 0,9628 = 96,28% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 ( 3.0 pts) 
a) (1.0 pts) Estuda-se um certo processo químico com o objetivo de tentar aumentar a 
produção de um certo composto. Atualmente usa-se na produção um certo tipo de 
catalisador “A”, mas um outro tipo de catalisador “B” é aceitável. 
Faz-se uma experiência com n = 16 tentativas para o catalisador “A” e n = 18 tentativas para o 
catalisador “B”. 
 
As médias e os desvios padrões amostrais são: 
 
Catalisador “A”: A = 88,52 SA= 1,96 
Catalisador “B”: B = 92,38 SB = 2,01 
 
Pede-se: 
Encontre o Intervalo de confiança para a diferença das médias dos dois catalisadores (μA – μB) 
ao nível de significância de 93%. Pelo resultado pode-se afirmar que a média do catalisador “A” 
é estatisticamente menor do que a média do catalisador “B”? 
 
SOLUÇÃO 
 
Catalisador “A”: n=16 A = 88,52 SA= 1,96 
Catalisador “B”: m=18 B = 92,38 SB = 2,01 
 
Intervalo de confiança para a diferença das médias: 
 
g = n + m – 2 = 32 
 
tabela “Z” 
 
 
 
 
 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 93% 
 
 Tabela “Z” - 
8114,1035,0 z 
 (1-α)=0,93 
 
 
 
 035,0
2

 
 8114,1035,0 z 















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
 RzYXRzYXRzYXIC .;.. 222  
 
 
 
 
 
 
 = 0,6826 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 [ -5,096 ; -2,624 ] 
 
 Note que este intervalo não inclue o zero, isso indica que existe diferença real na 
produção média usando os catalisadores A e B, ao nível de significancia de 93%, a média 
do catalizador A é estatisticamente menor do que a média do catalizador B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   





 







32
01,21796,115
.
18
1
16
1 22 xx
R
     
  















2
S.1S.1
.
11
2
B
2
A
mn
mn
mn
R
    RtYXRtYXRtYXIC nnn 2;12;12/;1 ;   
IC
    6826,08114,138,9252,882 xRzYXIC  
 
b) e a uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média “μ” e 
Variância “σ2”, ambas desconhecidas. 
 e a = (3, 7, 2, 4, 4, 9, 6, 5), uma amostra aleatória de tamanho 8 desta população: 
 Pede-se: 
a)- (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 98%, para “S2”. 
 
 
SOLUÇÃO 
 
b) (1.0 pt) O intervalo de confiança ao nível de significância de 98%, para “ 2”. 
S
2
 = 5,14 
n=8 
 
IC para a Variância 
 
 - TABELA “χ2” 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
- Intervalo de Confiança [1-α] = 98% 
 
-Pela tabela “χ2” 
 
 
 
 
 
 
 
 (1-α)=0,98 
 
 
 
 01,0
2


 
 
 
 a= 1,239 b=18,48 
 
 
 
 
 
 
 [ 1,947 ; 29,04 ] 
 
 
BOA SORTE!!! 
   











 


239,1
14,57
48,18
14,5711
Pr 2
2
2
2 xx
a
Sn
b
Sn 
IC
aaSnbSn  1]/)1(/)1Pr[( 222 
  01,0Pr 2 1  bn
  99,0Pr 2 1  an
 
 
FORMULÁRIO PARA PROVA 
 
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas 
 
Distribuição Bernoulli - X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial - X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica - X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa - X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson - X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
Distribuição Exponencial - X ~ Exp(λ) 
Função de probabilidade: 
 
Média e Variância: E(X) = 1/λ 
VAR(X) = 1/λ2 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(
)!(!
!
)1(Pr)( xnxxnx pp
xnx
n
pp
x
n
xXxf  








 .pp)-(1 .)Pr()( 1-x1   pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  

  0 e 0 onde .exp.)(  xxxf 
 
 
Distribuição Normal - X ~ N(μ,σ2) 
Função de probabilidade: 
 
 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = σ2 
 
Se X ~ N(μ,σ2) 
)1,0(~ N
X
Z



 
 
 
 
Intervalos de Confiança 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- onde a e b são tirados da tabela qui- 
quadrado com (n-1) graus de liberdade 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 0 onde .
2
1
)( 22
2
2
2


 



eexf
x






 
n
zX
n
zX
n
zXIC

 2/12/12/1 ;






 
n
s
tX
n
s
tX
n
s
tXIC nnn 2/1,12/1,12/1,1 ; 







 




  
)ˆ1(ˆ
ˆ , 
)ˆ1(ˆ
ˆ 
)ˆ1(ˆ
ˆ 2/12/12/1
n
pp
zp
n
pp
zp
n
pp
zpIC 
 RzYXRzYXRzYXIC 2/12/12/1 ;   















2
)1()1(11 22
2
1
mn
SnSm
mn
R
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