IAL Lista 01[1]

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INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR 
Módulo II – Prof. Flávio 
 
1 – Mostre que se v é qualquer vetor não nulo, 
então v
v
1
 é um vetor unitário. 
 
2 – Considere o vetor ),1,3,0,1( v definido no 
4 . 
a) Determine o vetor unitário de sentido 
oposto a v . 
b) Determine
v
 
 
3 – Sejam ),(
21
vvv e ),(
21
www . Descreva o 
conjunto de todos os pontos, no espaço 
bidimensional, para os quais 
1wv
. 
 
4 – Mostre geometricamente que 
a) 
uvvu 
 
b) 
)( uvvu 
 
 
5 – Mostre que, para qualquer escalar k e 
quaisquer vetores u, v e w os itens abaixo são 
satisfeitos 
a) 
vuvu kkk  )(
 
b) uvvu  
c) 
)()( uvvu kk 
 
d) uvvu  
e) 0uu 
f) 
0)(  vuu
 
 
6 – Sejam 
),2( kv
 e 
)5,3(w
. Encontre 
k tal que 
a) v e w são paralelos 
b) o ângulo entre v e w é 3 radianos
 
. 
c) v e w são ortogonais 
d) o ângulo entre v e w é 4 radianos. 
7 – Suponha que um sistema de coordenadas xy 
é transladado para um sistema de coordenadas 
x’y’ cuja origem tem coordenadas xy dadas por 
(-2,1). 
a) Determine as equações de translação, 
que relacionam os dois sistemas de 
coordenadas 
b) Determine as coordenadas xy do ponto 
com coordenadas x’y’ dadas por (-1,0). 
 
 
8 – Mostre que a distância d entre o ponto 
),(
ooo
yxP  e a reta 0 cbyax é dada pela 
expressão
 
22
d
ba
cbyax
oo


 
 
9 – Encontre um vetor que é ortogonal a ambos v 
e w. 
a) 
kjiv 246 
 e 
kjiw 53 
 
b) 
)5,1,2(v
 e 
)3,0,3( w
 
 
10 – Sejam os vetores, pertencentes ao 
n , 
),,,(
21 n
uuu  u e ),,,(
21 n
www w . Mostre 
a desigualdade de Cauchy-Schwarz 
w uwu 
. 
 
11 - Encontre a matriz canônica da transforma-
ção linear 
33
: T dada por 
3213
3212
3211
23
4
53
xxxw
xxxw
xxxw



 
e em seguida calcule  4,2,1T . 
12 - Encontre a matriz canônica do operador 
linear T definido pela expressão 
a)    
212121
,2, xxxxxxT  
b)    
2121
,, xxxxT  
c)    
321321321
,5,2,, xxxxxxxxxT  
d) 
   
321321
8,7,4,, xxxxxxT  
e)    
21211221
,3,,, xxxxxxxxT  
f) 
   
3123144321
,,,,,,, xxxxxxxxxxT  
 
13 - Encontre a matriz canônica para a 
composição dada de operadores lineares de 
2
 
a) Uma rotação de 90º, seguida de uma 
reflexão em torno da reta y=x. 
b) Uma projeção ortogonal sobre o eixo y 
seguida de uma contração de razão 
21k 
 
14 - Encontre a matriz canônica para a 
composição dada de operadores lineares de 
3
 
a) Uma projeção ortogonal sobre o plano xy, 
seguida de uma reflexão em torno do 
plano yz. 
b) Uma rotação de 45º em torno do eixo y, 
seguida de uma dilatação de razão 
2k 
 
15 – Considere a estrutura apresentada na figura 
abaixo 
 
Observe que a estrutura representa uma casa 
caída sobre o eixo x. Os vértices da estrutura são 
representados por vetores–coluna para compor a 
matriz de vértices. 



22100
02320
V
 
A ordem na qual os vértices são listados é 
irrelevante. Determine a matriz de transformação 
de tal forma que a casa fique de acordo com o 
gráfico abaixo 
 
 
16 – Considere o quadrado unitário apresentado 
abaixo 
x
y
 
Para cada uma das matrizes dadas a seguir, 







10
02
20
02
,
10
21
321
AAA e   
 
descreva o operador linear associado e mostre 
seu efeito sobre o quadrado unitário. 
 
17 – Sejam u e v dois vetores linearmente 
independentes de um espaço vetorial E. 
Determine o escalar  para o qual os vetores 
vu 2 e 
vu  são linearmente dependentes. 
 
18 – Sejam 
kjiv 747
1

 e 
kjiv 878
2

 
dois vetores do espaço 
3 . Determine o valor de 
t de modo que o vetor 
kjiu 82  t
 pertença 
ao subespaço de 
3 gerado por v
1
 e v
2
. 
 
19 – Verifique se o conjunto de vetores       7,1,4,8,2,5,9,3,6
 
constitui uma base de 
3 . 
 
20 – Quais dos seguintes subconjuntos de 
2 
são subespaços de 
2 ? 
a) 
  yxyxW 2:, 2
1
 
b) 
  12:, 2
2
 yxyxW 
c) 
  0:, 2
3
 xyyxW
 
d) 
  yxyxyxW  2,2:, 2
4
  
 
21 – Determine as coordenadas do polinômio 
3
3
21)( Ptttp 
 em relação: 
a) A base canônica de P
3
. 
b) A base  32 1,1,1,1 ttt  
 
22 – Escreva a matriz 




21
13
A
 como 
combinação linear das seguintes matrizes: 


 





 00
11
01
11
,
10
11
321
MMM e   
 
 
23 – Seja V um espaço vetorial real de dimensão 
3 e x
1
, x
2
, x
3
 e x
4
 elementos distintos de V
.
 Admita 
que 
 
4321
,,, xxxx
 
é um sistema de geradores de 
V satisfazendo a condição: 
0
4321
 xxxx
 
a) Mostre que 
 
321
,, xxx
 
é uma base de V 
b) Um raciocínio semelhante permite mostrar 
que 
 
431
,, xxx é uma base de V. 
Denotando as duas bases por  
321
,, xxx e  
431
,, xxx . 
Determine a matriz de mudança de base 
da base  para a base  . 
 
24 – Determine as coordenadas do vetor 
 1,2,3
 
na base 
      5,3,0,0,1,2,2,0,1   
 em 
3
. 
 
25 – Considere o espaço das matrizes reais, 
quadradas de ordem 2, 
)(
2
M
. Verifique quais 
das seguintes transformações são lineares: 
a) 
dc
ba
dc
ba
TMT 

    que   tal   )(:
2
 
b) 
dcba
dc
ba
T
MT




32
)(:
2
                              
   que   tal   
 
 
 
26 – Verifique se 
2
 com as operações definidas 
abaixo é um espaço vetorial. 
 
a)           
, , ,
, ,
x y z t x z y t
k x y kx ky
       
 
b) 
     
   
, , ,
, ,0
x y z t x z y t
k x y kx
     
 
c) 
     
   
, , ,
, ,
x y z t x z y t
k x y kx y
     
 
 
27 – O conjunto, )(
2
P , dos polinômios de grau 
inferior ou igual a 2 constitui um espaço vetorial 
real. Determine um polinômio b(x) de modo que o 
conjunto  )(,1,1 2 xbx constitua uma base de 
)(
2
P . 
 
28 – Seja C o espaço vetorial real das funções 
reais de variável real, com derivada contínua no 
intervalo [-a,a], a>0. Verifique se os seguintes 
conjuntos são subespaços vetoriais de C. 
a)      ],[),()(:
1
aaxxfxfCfV  
b)      ],[),()(:
1
aaxxfxfCfV  
 
29 – Determine a dimensão e uma base do 
espaço solução W do sistema 






0763
0442
032
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
30 –Suponha que os eixos x e y do plano sofram 
uma rotação de 45º no sentido anti-horário de 
modo que o novo eixo x’ esteja ao longo da reta 
y = x e o novo eixo y’ ao longo da reta y = -x. 
Determine 
a) A matriz P de mudança de base 
b) As novas coordenadas do ponto A(5,6) 
sob a rotação indicada.