mml topico 5 Equações de Diferenças e Transformada Z

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MÉTODOS MATEMÁTICOS LINEARES
Enes Gonçalves Marra
Escola de Engenharia Elétrica e de Computação 
EEEC – UFG
Equações de Diferenças e 
Transformada Z
Forma da Equação de Diferenças Ordinária Linear com 
coeficientes constantes, na forma padrão é:
)1()()()1(...)1()( 011 kxkyakyankyankya nn =++++−+++ −
outras representações utilizadas são:
)(][])1[(...])1[())(( 011 kTxkTyaTkyaTnkyaTnkya nn =++++−+++ −
kkknknnkn xyayayaya =++++ +−+−+ 01111 ...
Solução da E.D.
)()()( kykyky ph +=
y(k) é a solução completa da E.D.
yh(k) é a solução da E.D. homogênea associada a (1)
yp(k) é a solução particular da E.D.
5. EQUAÇÕES DE DIFERENÇAS E TRANSFORMADA Z
5.1. Equações de Diferenças (E.D.)
Equações de diferenças são também denominadas, equações 
recursivas ou equações de recursão
5.1.1 Solução da E.D. homogênea Associada (E.D.H)
A E.D homogênea associada (E.D.H) à expressão (1) é:
)2(0)()1(...)1()( 011 =+−++−+++ − kyakyankyankya nn
A solução de (2) é dada por : )3()( kh ky λ=
substituindo-se (3) em (2) resulta
)4(0... 0
1
1
1
1 =++++ +−+−+ kknknnkn aaaa λλλλ
Em (4), fazendo-se k = 0 resulta
)5(0... 01
1
1 =++++ −− aaaa nnnn λλλ
A equação (5) é denominado equação característica da E.D. 
homogênea descrita em (1). O polinômio característico 
apresenta n raízes, que resultam em n soluções para (2) 
quando substituídas em (3)
)6(...)( 2211
k
nn
kk cccky λλλ +++=
Solução geral da E.D. descrita em (2) é a combinação linear 
das n soluções dadas pela n raízes do polinômio característico
Existem quatro casos possíveis ou combinações destes 
quatro casos, a depender das raízes de (5)
Caso I: n raízes λ reais e distintas
A solução será:
)7(......)( 121 ++++= − kimmkiki kckccky λλλ
Caso II: raiz real λi repetida com multiplicidade m
A solução será:
22 ba +=ρ
Caso III: par de raízes complexas conjugadas simples 
λ=a+jb e λ*=a-jb
A solução será:
sendo: ⎩⎨
⎧
<+
≥= −
−
0/)/(tan
0/)/(tan
1
1
apab
apab
πφe
)8(...)]sin()cos([)( ++= kBkAky k φφρ
Caso IV: par de raízes complexas conjugadas múltiplas 
λ=(a ± jb)m
A solução será:
)9(...)]sin()cos([...)]sin()cos([)( 111 +++++= − kBkAkkBkAky mmkmk φφρφφρ
ρ e φ são calculados como no caso III.
Exemplos de solução de E.D. homogêneas
Exemplo 1
5)0(4)1(0)(2)1()2( −===−+++ yeyparakykyky
solução:
Exemplo 2
0)2()1(;1)0(
0)()1(3)2(3)3(
===
=−+++−+
yyysendo
kykykyky
solução: 2
2
1
2
31)( kkkyh +−=
Exemplo 3
1)1(;1)0(0)(2)1(2)2( −===++−+ yyparakykyky
solução: ( ) )]sin(2)[cos(2)( 44 kkky kh ππ −=
k
h ky )2(32)( −−−=
Exemplo 4
27)2(0)3()1(;3)0(
0)(81)2(18)4(
====
=++++
yeyyypara
kykyky
solução:
5.1.2 Solução completa da E.D.
A solução completa da E.D. é: )()()( kykyky ph +=
A solução particular, yp(k), é encontrada pelo método dos 
coeficientes a determinar. A solução yp(k) é a combinação linear 
de x (k) e seus sucessivos atrasos até x(k-n), tal que exista um 
x(k-n-1) que possa ser escrito como combinação linear dos 
atrasos anteriores.
O critério dos coeficientes a determinar resulta na tabela 
seguinte
( ) )1)(cos(3)( 21 kkky kh −= + π
)cos()sin( kouk ϕϕ
)(kx )(kyp
constante constante
)cos()sin( kaouka kk ϕϕ
)cos()sin( 21 kckc ϕϕ +
ka kca
nk nnkckckcc ++++ ...2210
knak )...( 2210
n
n
k kckckcca ++++
)]cos()sin([ 21 kckca
k ϕϕ +
)cos()sin( kkoukk ϕϕ )]cos()sin([)cos()sin( 4321 kckckkckc ϕϕϕϕ +++
Importante: yp(k) não pode ser solução da E.D.H associada.
Se isto ocorrer, a nova solução será )()( kykky p
i
pm =
i é ≤ ordem da E.D.H, e é o menor expoente possível para que 
ypm(k) não seja solução da E.D.H. associada
Exemplo 5 – Determinar a solução completa para a E.D.
10)1(3)0(;8)(4)2( 2 ===++ yeykkyky
Solução homogênea: )]sin()cos([2)( 22 kBkAky
k
h
ππ +=
Solução particular: 25
82
25
32
125
96)( kkkyp +−−=
2
5
82
25
32
125
96
22 )]sin(653)cos(471[125
2)( kkkkky
k
+−−+= ππ
Solução completa:
Exemplo 6 – Determinar a solução completa para a E.D.
0)1(1)0(;2)()1(2)2( ===++−+ yeykykyky
Solução homogênea: kcckyh 10)( +=
Solução particular: 2)( kkyp =
Solução completa: 221)( kkky +−=
Exemplo 7 – Determinar a solução completa para a E.D.
2)0(;)1(
2
1)( 2 ==−− ykkyky
Solução:
k
kkky ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−=
2
14246)( 2
A E.D pode ser escrita também na forma atrasada, como
)()()1(...)1()( 011 kxkyakyankyankya nn =+−+++−+− −
A solução da E.D.H. associada continua sendo k
h ky λ=)(
que resulta na equação característica
0... 0
1
1
1
1 =++++ −+−−− kknknnkn aaaa λλλλ
fazendo-se k = n resulta em uma nova equação característica
0... 1
1
10 =++++ −− nnnn aaaa λλλ
A solução particular yp(t) permanece inalterada
5.2. Transformada Z
A Transformada Z é a transformação discreta análoga à
transformada de Laplace no domínio contínuo.
Definição da transformada Z bilateral: [ ] k
k
zkxkxZzX −
∞
−∞=
∑== )()()(
A Transformada de Laplace bilateral é ∫∞∞− −= dtetxsX st)()(
A função contínua x(t) pode ser amostrada com período de 
amostragem T e torna-se x(kT). A transformada de Laplace será
∫∞∞− −= dtekTxsX ksT)()(
O somatório é o análogo discreto da integral. Comparando-se 
X(z) e X(s), têm-se que sTeZ −=
Em engenharia, o interesse é pela Transformada Z unilateral, 
que é definida como [ ] k
k
zkxkxZzX −
∞
=
∑==
0
)()()(
Exemplo 8 – Transformada Z da sequência impulso discreto, 
δ(k) - (Delta de Kronecker)
⎩⎨
⎧
≠
==
0;0
0;1
)(
k
k
kδ
[ ] 1...001)()( 210
0
=+++== −−−
∞
=
∑ zzzzkkZ k
k
δδ
[ ] 1)( =kZ δ
Exemplo 9 – Transformada Z da sequência degrau unitário 
discreto, u(k)
⎩⎨
⎧
<
≥=
0;0
0;1
)(
k
k
kδ
[ ] ...1111)()( 3210
0
++++== −−−−
∞
=
∑ zzzzzkukuZ k
k
Se |z| < 1, Z[u(k)] é uma progressão geométrica com termo 
inicial 1 e razão z-1, que resulta
, ou seja[ ] 11
1)( −−= zkuZ [ ] 1)( −= z
zkuZ
Condição de convergência: |z| < 1
Exemplo 10 – Transformada Z da sequência aku(k)
[ ] ...)()( 33221100
0
++++== −−−−
∞
=
∑ zazazazazkuakuaZ k
k
kk
Se (|a|/|z|) < 1, Z[u(k)] é uma progressão geométrica com termo 
inicial 1 e razão (a/z) , que resulta
, ou seja[ ]
z
a
kuZ −= 1
1)( [ ]
az
zkuZ −=)(
Condição de convergência: |z| > |a|
[ ] ...1)()( 32
0
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++== −
∞
=
∑ zazazazkuakuaZ kk kk
O somatório não converge se |z| < |a|
A transformada Z de u(k) é um caso particular para a = 1
Exemplo 11 – Transformada Z da sequência cos(Ω0k)u(k)
2
)()cos(
00
0
kjkj eekuk
Ω−Ω +=Ω e
0
0 ][ Ω±
Ω±
−= j
kj
ez
zeZ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=Ω
Ω−Ω
2
)]()[cos(
00
0
kjkj eeZkukZ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−+−=Ω Ω−Ω 002
1)]()[cos( 0 jj ez
z
ez
zkukZ
1cos2
)cos()]()[cos(
0
2
0
0 +Ω−
Ω−=Ω
z
zzkukZ
10 =Ω kjeCondição de convergência: |z| < 1 pois
Pares de Transformadas Z unilaterais de uso frequente
)(kx )(zX
1
)(ku
1−z
z
)(kδ
)( nk −δ nz−
ake aez
z
−
ka az
z
−
2k ( )31
)1(
−
+
z
zz
3k ( )4
2
1
)14(
−
++
z
zzz
k ( )21−z
z
)(kx )(zX
)sin( 0kΩ 1cos2
sin
0
2
0
+Ω−
Ω
zz
z
)cos( 0kΩ 1cos2
)cos(
0
2
0
+Ω−
Ω−
zz
zz
kka 2)( az
az
−
kak 2 3)(
)(
az
azaz
−
+
)sin( 0ka
k Ω 2
0
2
0
cos2
sin
aazz
az
+Ω−
Ω
)cos( 0ka
k Ω 2
0
2
0
cos2
)cos(
aazz
azz
+Ω−
Ω−
5.2.1 Propriedades da Transformada Z
1) Multiplicação por constante: )()]([)]([ zaXkxaZkaxZ ==
2) Linearidade: )()()]()([ 22112211 zXazXakxakxaZ +=+
3) Multiplicação por ak: )/()]([ azXkxaZ k =
4) Translação real (ou translação em k):
)1(...)2()1()0()()]([ 21 −−−−−−=+ −− nzxxzxzxzzXznkxZ nnnn
para 0)1(...)2()1()0( =−==== nxxxx
resulta )()]([ zXznkxZ n=+
Atraso (translação à direita):
)()1(...)2()1()()]([ 121 nxnxzxzxzzXznkxZ nnn −++−++−+−+=− −+−+−−
Adiantamento (translação à esquerda):
para 0)1(...)3()2()1( =+−==−=−=− nxxxx
resulta )()]([ zXznTkTxZ n=+
5) Translação complexa (ou translação em z):
)()]([ aak zeXkxeZ =−
6) Diferenciação em z (ou derivada em z ou multiplicação por km):
( ) m
m
mm
dz
zXdzkxkZ )()()]([ −=
8) Convolução em k: )()()]()([ 2121 zXzXkxkxZ =∗
9) Teorema do valor inicial: )(lim)0( zXx
z ∞→=
10) Teorema do valor final: )]()1[(lim)(lim
1
zXzkx
zk
−= →∞→
Condição para aplicação do teorema do valor final:
deve ser analítica sobre e fora do círculo 
unitário. Ouseja, deve ser integrável e conter um número 
finito de descontinuidades nesta região
7) Reversão em k: )/1()]([ zXkxZ =−
)()1( zXz −
A transformada Z de x(k) gera um X(z) e a transformada inversa 
de X(z) resulta em um x(k) correspondente.
Exemplo 12: Qual a transformada inversa de ?
Da tabela de pares de transformadas, resulta
A forma de x(k) dependerá de X(z)
2−z
z
k
kkx
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==
2
12)(
A transformada inversa de Z (Z-1[X(z)]) pode obtida por:
• Método da divisão
• Método computacional
• Frações parciais
• Por integração
5.2.2 Determinação da Transformada Z Inversa (Z-1[X(z)])
Inversão da transformada Z por Frações Parciais
Passos para inversão por frações parciais:
1) Desenvolve-se X(z)/z em frações parciais
2) Compara-se o resultado com a tabela de funções conhecidas
O desenvolvimento em frações parciais é feito da mesma forma 
que se faz para a transformada de Laplace, todavia para X(z)/z
Os casos serão apresentados através de exemplos.
Exemplo 13 (raízes reais simples):
( )( )4121)( −−= zz
zzX
solução:
( ) ( ) 0;44)( 4121 ≥−= kkx kk
Exemplo 14 (raízes reais com multiplicidade m):
16
1
2
12
4
53
16
123
)( −+−
−+−=
zzz
zzzzX
solução:
( ) ( ) ( ) 0;959)()( 412121 ≥++−= kkkkx kkkδ
Teorema de Heaviside:
raizz
km
mkm
k dz
zXraizzd
km
A
=
−
− −
−=
)]()[(
)!(
1
Exemplo 15 (raízes complexas simples):
))(1(
2)(
8
1
4
322
3
+−+= zzz
zzX
solução:
( ) ( ) ( ) ( ) 0;sincos)( 28511228596411782158 ≥+−−= kkkkx kk ππ
, sendo k=1/2 raiz dupla do denominador
5.2.3 Solução de ED Utilizando a transformada Z
Emprega-se a propriedade da translação (ou deslocamento) em 
k, (x(k − n) ou x(k + n)) e a transformada Z inversa
solução:
( ) ( ) ( ) 0;2)( 41432121 ≥++= kkky kkk
Exemplo 16 – Determinar a solução completa para a E.D.
0)2(1)1(;)()2()1()( 218143 =−=−=−+−− yeykykyky k
Exemplo 17 – Determinar a solução completa para a E.D.
(Idem ao exemplo 6)
0)1(1)0(;2)()1(2)2( ===++−+ yeykykyky
Solução: 0;21)( 2 ≥+−= kkkky