Questão resolvida - Determine, usando integral dupla, a área entre as curvas y=sqrt(x) e y=x-2 no intervalo de 0 a 5 em x - Integral dupla - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine, usando integral dupla, a área entre as curvas e no y = x y = x - 2
intervalo de 0 a 5 em x.
 
Resolução:
 
Primeiro vamos fazer a intercessão entre as curvas;
 
= x - 2 = x - 2 x = x - 4x + 4 x - 4x - x + 4 = 0x → x
2
( )2 → 2 → 2
 
x - 5x + 4 = 02
 
Reolvendo a equação do 2° grau;
 
x' = = 4
- -5 +
2 ⋅ 1
( ) -5 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4( )2 ( )
 
x" = = 1
- -5 -
2 ⋅ 1
( ) -5 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4( )2 ( )
 
Como uma das curvas é uma raiz, é preciso substituir os valores de x encontrados para verificar
se representam uma intercessão das curvas;
 
para x = 4 ser intercessão devemos ter = 4 - 2 2 = 2 verdadeiro→ 4 → →
 
para x = 1 ser intercessão devemos ter = 1 - 2 1 = -1 falso!→ 1 → →
A reta toca o eixo y em -2 e o eixo x em ; substituimos alguns pontos na y = x - 2 x = 2
curva (como: x=0, x=1, x=4 e x=9) para saber qual seu comportamento. Sabendo o y = x
comportamento das curvas e que estas se interceptam em x=4, podemos traçar o gráfico da 
região que desejamos saber a área, como visto posteriormente;
 
 
 A área por integrais duplas é dada por;
 
A = dA∫
R
∫
Temos que: e os limites de integração vão, em y, da curva de baixo até a curva dA = dxdy
de cima. Perceba que a área é formada por 2 partes, na primeira parte a curva de baixo é 
 e a de cima é , na segunda parte isso se inverte. Ainda, como a região é y = x - 2 y = x
formada por 2 partes, em x, o limite de integração vai, na primeira parte, de 0 a 4 e de a 4 5
na segunda parte. Dessa forma, a integral dupla da área fica;
 
A = dydx + dydx = y dydx + y dydx
4
0
∫ ∫ x
x-2
5
4
∫ ∫
x-2
x
4
0
∫
x-2
x 5
4
∫
x-2
x
 
A = - x - 2 dx + x - 2 + dx = x - x + 2 dx + x - 2 + x dx
4
0
∫ x ( )
5
4
∫ x
4
0
∫
1
2
5
4
∫
1
2
 
 
 
A = - + 2x + + 2x -
x
+ 1
+1
1
2
1
2
x
2
2 4
0
x
2
2 x
+ 1
+1
1
2
1
2
5
4
A = - + 2x + + 2x -
x
1 + 2
2
1+2
2
x
2
2 4
0
x
2
2 x
1 + 2
2
1+2
2
5
4
A = - + 2x + + 2x - = - + 2x + - 2x -
x
3
2
3
2
x
2
2 4
0
x
2
2 x
1
2
3
2
5
4
2x
3
3
2 x
2
2 4
0
x
2
2 2x
3
3
2 5
4
A = - + 2 ⋅ 4 - - + 2 ⋅ 0 + - 2 5 - - - 2 4 -
2 4
3
( )
3
2 4
2
( )2 2 0
3
( )
3
2 0
2
( )2 5
2
( )2
( )
2 5
3
( )
3
2 4
2
( )2
( )
2 4
3
( )
3
2
 
A = - + 8 + - 10 - - + 8 +
2 ⋅ 8
3
16
2
25
2
2
3
5( )3 16
2
2 ⋅ 8
3
A = - 8 + 8 + - 10 - + 8 - 8 + = +
16
3
25
2
2
3
5 ⋅ 5( )2 16
3
16 + 16 - 2 ⋅ 5
3
5 25 - 20
2
 
A = + u. a.
32- 10
3
5 5
2
 
 
 
 
 
(Resposta )