07_ReflexãoOblíqua

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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas
Ondas Planas com Incidência Oblíqua
1
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Direções Genéricas
• Para se analisar a reflexão de ondas incidentes em ângulos oblíquos às 
interfaces, primeiramente é preciso generalizar a equação de onda para 
descrever a propagação em direções quaisquer do espaço.
• Considerando-se que a onda propaga-se em uma direção qualquer do 
espaço, a constante de propagação k torna-se um vetor:
• de tal forma que o defasamento da onda em um ponto qualquer do espaço 
pode ser obtido a partir do produto escalar:
e a formulação fasorial fica:
 
!
k = kx
!ax + ky
!ay + kz
!az
 
!
k i!r = kx
!ax + ky
!ay + kz
!az( )i x!ax + y!ay + z!az( )
= kxx( ) + kyy( ) + kzz( )
 Es = E0e
! j
!
k i !r = E0e
! j kx x( )+ ky y( )+ kz z( )"# $%
 
!ax
 
!az
 
!
k
 
!r
kx
kz
!
!
frentes 
de fase
!x
v p
 
!r
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Direções Genéricas
• Para propagação no plano xz, conforme a figura, o ângulo da direção de 
propagação com o eixo é dado por:
• o comprimento de onda, medido na direção de propagação, neste caso é 
dado por:
e, medido na direção , é dado por: .
3
! = tan"1 kzkx
#
$%
&
'(
 
!ax
 
!az
 
!
k
 
!r
kx
kz
!
!
frentes 
de fase
!x
v p
 
!ax
 
! = 2"!
k
=
2"
kx2 + ky2 + kz2
 
!ax
!x =
2"
kx
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Direções Genéricas
• A velocidade de propagação é:
• e, medida na direção , é dada por:
• Para propagação no espaço livre, apesar de se ter vp = c e vpx > c, isto não 
viola a relatividade espacial, pois o fluxo de energia se dá na direção de 
propagação, e não na direção .
• Já a frequência é a mesma em todos os casos:
4
 
!ax
f = vp
!
=
vpx
!x
=
"
2#
 
!ax
 
vp =
!
!
k
=
!
kx2 + ky2 + kz2
vpx =
!
kx
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Reflexão Oblíqua
• Considere-se a onda incidente na direção do vetor , formando o ângulo de 
incidência em relação à normal ao plano de reflexão.
• A onda refletida afasta-se do plano de reflexão segundo um ângulo em 
relação à normal.
• A onda transmitida através da interface, propaga-se na região 2 segundo um 
ângulo em relação à normal.
5
 
!
k1+
!1
!"1
!2
 
!az
região 1
região 2
 
!ax
Onda incidente
!1
 
!
k1+
!"1
!2
 
!
k1!
 
!
k2
Onda transmitida
Onda refletida
5
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Reflexão Oblíqua
• Para materiais não magnéticos, as impedâncias intrínsecas das regiões 1 e 2 
são, respectivamente:
onde n1 e n2 são os índices de refração.
• Há duas situações de incidência de ondas eletromagnéticas:
1) Polarização paralela/ “p”/ transverso magnético (TM):
2) Polarização perpendicular/ “s”/ 
transverso elétrico (TE):
6
 
!1 =
!0
"#r1
 $ n1 = "#r1 e !2 =
!0
"#r2
 $ n2 = "#r2
 
!
E no plano de incidência e 
!
H transversal
!
H no plano de incidência e 
!
E transversal
 
!az
incidente
transmitida
região 1
região 2
 
!ax
!1 !"1
!2
 
!
k1+ 
!
k1!
 
!
k2
refletida
!2
E20
Ez20
E10!
Ez10!
!"1
 H10
+ ! H10
! !
 H20 !
!1
E10+
Ez10+
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Reflexão Oblíqua
• Para polarização “p”, tem-se que:
onde
 
Es1+ = E10+ e! j
!
k1+ i
!r 
!
k1+ = k1 cos"1
!ax + sen"1
!az( ) 
Es1! = E10! e! j
!
k1! i
!r onde 
!
k1! = k1 ! cos #"1
!ax + sen #"1
!az( )
Es2 = E20e! j
!
k2 i
!r 
!
k2 = k2 cos"2
!ax + sen"2
!az( )
 
!r = x!ax + z
!az( ) 
k1 =
! "#r1
c =
n1!
c
k2 =
! "#r2
c =
n2!
c 
!az
incidente
transmitida
região 1
região 2
 
!ax
!1 !"1
!2
 
!
k1+ 
!
k1!
 
!
k2
refletida
!2
E20
Ez20
E10!
Ez10!
!"1
 H10
+ ! H10
! !
 H20 !
!1
E10+
Ez10+
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Reflexão Oblíqua
• Na interface entre as regiões 1 e 2, deve-se ter os campos na direção :
contínuos de tal forma que:
• logo, na interface (onde x = 0):
 
Ezs1+ = Ez10+ e! j
!
k1+ i
!r = E10+ cos"1e! jk1 x cos"1 + z sen"1( ) 
Ezs1! = Ez10! e! j
!
k1! i
!r = E10! cos #"1e+ jk1 x cos #"1 ! z sen #"1( )
Ezs2 = Ez20e! j
!
k2 i
!r = E20 cos"2e! jk2 x cos"2 + z sen"2( )
 
!az
Ezs1+ + Ezs1! = Ezs2
 
!az
incidente
transmitida
região 1
região 2
 
!ax
!1 !"1
!2
 
!
k1+ 
!
k1!
 
!
k2
refletida
!2
E20
Ez20
E10!
Ez10!
!"1
 H10
+ ! H10
! !
 H20 !
!1
E10+
Ez10+
Ezs1+ = E10+ cos!1e" jk1z sen!1
Ezs1" = E10" cos #!1e" jk1z sen #!1
Ezs2 = E20 cos!2e" jk2 z sen!2
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Reflexão Oblíqua
• Portanto, em x = 0:
• Assim, para que a expressão acima seja válida ao longo toda a interface, ou seja, 
para todo z, é preciso que:
• Daí, primeiramente conclui-se que o ângulo de reflexão é igual ao de incidência:
• e também que, mesmo para materiais magnéticos, tem-se a refração:
Esta é uma generalização de Lei de Snell (que é para materiais não magnéticos):
!"1 = "1
E10+ cos!1e" jk1z sen!1 + E10" cos #!1e" jk1z sen #!1 = E20 cos!2e" jk2 z sen!2
k1zsen!1 = k1zsen "!1 = k2zsen!2
k1 sen!1 = k2 sen!2
n1 sen!1 = n2 sen!2
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Reflexão Oblíqua
• Como as exponenciais são iguais, elas são eliminadas e se pode 
determinar as relações entre as amplitudes a partir de:
• Similarmente, como os campos magnéticos são todos transversais 
ao plano de incidência e têm o mesmo sentido, na interface tem-se:
• Mas, como os campos magnéticos relacionam-se aos elétricos por:
tem-se:
E10+ cos!1 + E10" cos!1 = E20 cos!2
H10+ + H10! = H20
 
H10+ =
E10+
!1
 , H10" = "
E10"
!1
 e H20 =
E20
!2
E10+
!1
"
E10"
!1
=
E20
!2
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Reflexão Oblíqua
• que multiplicando-se e dividindo-se cada parcela pelo cosseno do 
respectivo ângulo de propagação em cada região:
• produz o sistema:
• cuja solução segue os passos usados na reflexão normal, tal que:
tem-se:
E10+ cos!1
"1 cos!1
#
E10# cos!1
"1 cos!1
=
E20 cos!2
"2 cos!2
E10+ cos!1
"1p
#
E10# cos!1
"1p
=
E20 cos!2
"2 p
E10+ cos!1 + E10" cos!1 = E20 cos!2
! p =
E10"
E10+
=
#2 p "#1p
#2 p +#1p
$
%&
'
()
! p =
E20
E10+
=
2"2 p
"2 p +"1p
#
$%
&
'(
Coeficiente 
de Reflexão
Coeficiente de 
Transmissão
!
"
#
$#
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Reflexão Total
• Para ocorrer a reflexão total da onda com incidência oblíqua, deve-se ter:
• Para polarização “p”, se !2p for imaginário ou nulo, tem-se:
 ou
• logo
Isto ocorre se cos"2 for imaginário ou nulo, ou seja, pela Lei de Snell:
isto é:
! 2 = ! "!* = 1
! p =
j "2 p #"1p
j "2 p +"1p
= #
"1p # j "2 p
"1p + j "2 p
= #
Z
Z *
! p = "
Z
Z * =
Z
Z *
= 1
cos!2 = 1" sen2!2 = 1"
n1
n2
#
$%
&
'(
2
sen2!1
n1
n2
!
"#
$
%&
2
sen2'1 ( 1) sen'1 (
n2
n1
! p =
0 "#1p
0 +#1p
= "1
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Reflexão Total
• A igualdade define o ângulo crítico:
• Assim, haverá reflexão total sempre que o ângulo de 
incidência em relação à normal for superior ao ângulo 
crítico.
• isto exige que n1 > n2, ou seja, que a onda viaje de um 
material com índice de refração maior para outro com 
índice de refração menor.
!c = sen"1
n2
n1
#
$%
&
'(
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Transmissão Total
• Para ocorrer a transmissão total da onda com incidência oblíqua, deve-se ter:
• Para polarização “p”, isto significa que:
 
• logo:
daí:
Assim, há transmissão total se a incidência ocorrer no ângulo de Brewster:
! 2 = ! "!* = 0
! p =
"2 p #"1p
"2 p +"1p
= 0$"2 p = "1p $"2 cos%2 = "1 cos%1
!2 1"
n1
n2
#
$%
&
'(
2
sen2)1 = !1 1" sen2)1
sen!1 =
n2
n12 + n22
!B = sen"1
n2
n12 + n22
#
$
%
&
'
(
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Exemplo
• Uma luz vinda do ar incide no vidro no ângulo de Brewster. Determine os 
ângulos de incidência e de transmissão. 
O índice de refração do vidro é n2 = 1,45. Assim o ângulo de incidência é o 
próprio ângulo de Brewster:
Repare que, com incidência no ângulo de Brewster, a soma dos ângulos de 
incidência e de refração dá sempre 90°.
15
 
O ângulo de transmissão pode ser obtido pela Lei de Snell :
 
!1 = !B = sen"1
n2
n12 + n22
#
$
%
&
'
( = sen"1 1, 45
1+ 1,45( )2
#
$
%
%
&
'
(
(
= 55,4!n1 sen!1 = n2 sen!2 "!2 = sen#1
n1 sen!1
n2
$
%&
'
()
= 34,6!
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Exercício
• Numa fibra óptica, a luz é confinada por reflexão interna total à região entre o 
núcleo e a casca da fibra. O núcleo e a bainha são ambos de vidro (n=1,45), mas 
o núcleo é dopado para aumentar o seu índice de refração de cerca de 1%. 
Determine o maior ângulo ! (ver figura) para o qual a luz pode ser 
perfeitamente confinada na fibra. (Use as seguintes aproximações: sin" ! ", 
cos" ! 1 – "2/2 para " << 1, 1/(1+x) ! 1 – x, (1 + x)1/2 ! 1 + x/2, para x << 1).
16
!
!
Obrigado!
17