07a_Dispersa_o

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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas
Dispersão de Ondas
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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas em Meios 
Dispersivos
• Viu-se anteriormente que meios dielétricos dispersivos apresentam 
permissividade elétrica complexa dependente da frequência.
• Na verdade, esse efeito pode ocorrer em todos os materiais em razão de 
mecanismos como a oscilação das cargas ligadas, as quais se comportam como 
um oscilador harmônico de uma dada frequência de ressonância. Quanto mais 
a frequência da onda se aproximar da frequência de ressonância, maior é a 
atenuação sofrida.
• Em razão disso, os valores de !” e de !’ (logo também n, o índice de refração) 
variam continuamente com a frequência, mesmo distante da frequência de 
ressonância, onde as perdas são desprezíveis, mas o defasamento é significativo.
! = "! # j $
%
&
'(
)
*+
= "! # j ""!( )
 
! =" µ #$2 1+
%
" #$
&
'(
)
*+
2&
'(
)
*+
,1 e - =" µ #$2 1+
%
" #$
&
'(
)
*+
2&
'(
)
*+
+1
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Ondas em Meios 
Dispersivos
• Um exemplo clássico é a separação da luz branca em um prisma de vidro. 
Nesse caso, o índice de refração depende da frequência e produz diferentes 
ângulos de refração para os diferentes comprimentos de onda (cores), 
segundo a lei de Snell. Esse efeito é conhecido como dispersão angular 
cromática.
Luz branca: 
múltiplos 
comprimentos de 
onda
Quanto maior o 
comprimento de onda, 
maior o ângulo de 
refração.
n1 sen!1 = n2 "( )sen!2 # sen!2 =
n1
n2 "( )
sen!1
Prisma de vidro
Luz branca
!1
!2
" grande
" 
pequeno
Vermelho
Laranja
Amarelo
Verde
Azul
Anil/Índigo
Violeta Potência é subdividida 
em pacotes espectrais
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Dispersão da Onda no 
Tempo
• Para um meio não magnético sem perdas, a constante de fase pode ser 
descrita em termos da frequência como:
• Tipicamente, n(#) cresce monotonicamente com a frequência, ou 
diminui monotonicamente com o comprimento de onda. 
k !( ) = " !( ) =! µ0# !( ) =! µ0#0 $#R !( ) =
!
c n !( )
Ín
di
ce
 d
e 
re
fr
aç
ão
 n
Comprimento de onda "
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Dispersão da Onda no 
Tempo
• Pode-se descrever a relação entre a constante de fase e a 
frequência pelo seguinte gráfico, conhecido como diagrama #-$:
• Conforme o formato da curva, a propagação de ondas no 
material pode sofrer maior ou menor dispersão no tempo.
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Dispersão da Onda no 
Tempo
• Esse efeito pode ser observado na propagação conjunta de 
duas ondas de frequências #a e #b e de mesma amplitude e 
de mesma polarização.
• Para cada frequência o material apresenta uma constante de 
fase associada, $a e $b.
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Dispersão da Onda no 
Tempo
• A onda resultante dessa propagação conjunta pode ser descrita por:
• multiplicando-se e dividindo-se pela exponencial do argumento 
médio, tem-se:
Es,res z,t( ) = E0 e! j"a ze j#at + e! j"b ze j#bt$% &'
 
Es,res z,t( ) = E0e! j"0 ze j#0 t e j$"ze! j$# t + e! j$"ze j$# t%& '(
= 2E0e! j"0 ze j#0 t cos $#t ! $"z( )
onde #0 =
#a +#b
2 e "0 =
"a + "b
2
$# = #b !#a2 e $" =
"b ! "a
2
 !"! "##
 !
"!
"##
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Dispersão da Onda no 
Tempo
• Tomando a parte real, tem-se a onda viajante:
• que pode ser interpretada como uma onda portadora de frequência #0, 
modulada em amplitude por uma envoltória senoidal de frequência !#.
Eres z,t( ) = 2E0 cos !0t " #0z( )cos $!t " $#z( )
Envoltóriaportadora
Envoltória de 
frequência !# << #0
Portadora de 
frequência #0
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Dispersão da Onda no 
Tempo
• A envoltória e a portadora viajam em velocidades diferentes:
• Para frequências muito próximas, a diferença !# tende a zero e a 
velocidade da envoltória tende à velocidade de grupo, ou seja, de um 
pacote espectral de largura infinitesimal, na frequência #0.
Envoltória: vpe =
!"
!#
Portadora: vpc =
!0
"0
 
!vpe" !"
 
!vpc" !"
vg !0( ) = lim"!#0
"!
"$
=
d!
d$
Como a inclinação 
varia com #0, a velocidade de grupo 
também varia com a frequência #0!
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Alargamento de Pulsos
• A transmissão de informação digital é normalmente feita 
através de pulsos representativos dos bits. A duração dos 
pulsos é inversamente proporcional à taxa de transmissão de 
símbolos utilizada.
• Um pulso apresenta uma infinidade de componentes 
continuamente distribuídas em uma faixa de frequências.
• A largura da faixa de frequências depende do formato do pulso 
utilizado na transmissão.
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Alargamento de Pulsos
• Considere-se um pulso eletromagnético com formato gaussiano, com 
campo elétrico em z = 0 dado por E(0, t) abaixo, onde T é a meia largura 
da envoltória do pulso, ou seja onde a amplitude dele cai a 1/e do valor 
máximo.
• O espectro de frequências desse pulso é dado por E(0, #), que tem o 
mesmo formato de E(0, t): 
E 0,!( ) = E0T2" e
#
1
2T
2 ! #!0( )2
E 0,t( ) = E0e
!
1
2
t
T
"
#$
%
&'
2
e j(0 t
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Alargamento de Pulsos
• O deslocamento do espectro para #0 corresponde ao 
efeito da modulação.
• A largura de faixa do sinal modulado corresponde a 2!#.
• !" = 1T
E 0,!( ) = E0T2" e
#
1
2T
2 ! #!0( )2
Cada frequência # 
viaja em uma diferente 
velocidade de grupo!
Assim, sofrem atrasos 
de grupo diferentes, 
chegando em momentos 
diferentes!
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Alargamento de Pulsos
• A diferença entre os tempos de chegada (atrasos de grupo) entre as 
componentes de frequências #b e #0, após percorrerem uma 
distância z, é dada por:
• Assim, o meio age como um prisma temporal, dispersando no 
tempo os diferentes pacotes de energia.
!" = z 1vgb
#
1
vg0
$
%&
'
()
= z d*d+ +b
#
d*
d+ +0
$
%
&
'
(
)
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Alargamento de Pulsos
• Para estimar o valor do alargamento, pelo menos para materiais com curvas 
#-$ mais suaves, pode-se aproximar essa relação não linear pela série de 
Taylor:
• onde, para:
é o terceiro termo que descreve a curvatura do diagrama e a dispersão.
• Para $0, $1 e $2 constantes, pode-se escrever:
tal que
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! "( ) = ! "0( ) + " #"0( )!1 + 12 " #"0( )
2 !2
!" = #1 + $b %$0( )#2&' () z % #1 + $0 %$0( )#2&' () z = !$#2z =
#2z
T
!0 = ! "0( ) !1 =
d!
d" "0
!2 =
d 2!
d" 2 "0
d!
d" = !1 + " #"0( )!2
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Alargamento de Pulsos
• Se a largura inicial T do pulso for muito pequena se comparada a !%, 
então a largura do pulso alargado na posição z será apenas !%.
• Porém se a largura inicial for comparável a !%, então a largura do 
pulso em z pode ser estimada por:
• A recepção de sucessivos pulsos alargados pode levar à sobreposição 
dos mesmos, comprometendo a integridade da informação recebida, o 
que se conhece por interferência intersimbólica.
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!T = T 2 + "#( )2
!
Obrigado!
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