Prova_SC2_Solucao

Faculdade de Engenharias Elétrica e Biomédica, ITEC-UFPA.
TE05137 – Sistemas de Controle II (2021 – PL1), 16/06/2021.
Prof. Antonio Silveira (asilveira@ufpa.br)
PROVA – SOLUÇÃO
Entregar as respostas, devidamente identificadas com nome e matrícula, via e-mail para
asilveira@ufpa.br até 18:40h.
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1) [3,0 pts] Para o sistema mostrado a seguir, obtenha o equivalente discreto, via ZOH, adotando
uma frequência de amostragem que seja de 4 a 20 vezes mais veloz que a frequência de interesse.
onde e são parâmetros obtidos a partir do seu número de matrícula na UFPA, conforme o
exemplo a seguir:
Matrícula: 
Resp.) A seleção da frequência de amostragem vai depender da frequência em relação aos 10
rad/s da parcela . Sendo assim, a frequência de amostragem será
mailto:asilveira@ufpa.br
2) [3,0 pts] Na figura é mostrado o diagrama de bode de malha direta de um compensador em série
com uma planta cujo modelo é de segunda ordem e subamortecido. Com base nessas informações,
a) Defina o que é a Margem de Ganho (MG) e responda qual o valor dela, no caso da figura;
b) Defina o que é a Margem de Fase (MF) e responda qual o valor dela, no caso da figura;
c) Diga e justifique se o compensador utilizado é do tipo Avanço ou Atraso e se a solução em
malha fechada seria robusta com base na MG e na MF verificadas.
Resp.)
a) A MG quantifica quanto ainda se pode elevar a magnitude do ganho de malha direta até que a
planta ou processo em malha fechada com o controlador ainda seja estável. O seu valor é calculado
com base na magnitude do ganho de malha, na frequência de inversão de fase ou frequência crítica,
 (isto é, na frequência de -180deg). A MG= que no caso mostrado na Figura é
de aproximadamente -50dB.
b) A MF quantifica quanto atraso de fase pode ser incluído à malha de controle até que esta se torne
instável. O seu valor é calculado observando-se a frequência de cruzamento (ou crossover), , isto
é, a frequência em que a curva de ganho intercepta o valor de 0dB. A MF= .
No caso observado na Figura a frequência de cruzamento é em torno de 10rad/s, onde o ângulo de
fase é de quase -270 graus. Sendo assim, a MF neste caso é de quase -90deg.
c) Como o problema afirma que a planta é de segunda ordem e subamortecida, o compensador
precisa ser, necessariamente, do tipo Lag, pois o diagrama de fase parte de -90 graus, atestando a
presença da ação integral (1/s) no sistema de malha direta, C(s)G(s). Pode-se notar também que a
contribuição total de defasamento é de três polos, confirmando dois polos do modelo de segunda
ordem G(s) e um polo do compensador C(s).
O sistema de controle não seria robusto, pois tanto a MG como a MF são negativas. Quando
a MG é negativa isto significa que o sistema amplifica a região de frequência em que há inversão de
fase, ou mesmo, que quando a MF é negativa significa que o sistema já atrasou fase além da
frequência crítica.
-100
-50
0
50
100
M
ag
ni
tu
de
 (
dB
)
10 -1 10 0 10 1 10 2
-270
-180
-90
P
ha
se
 (
de
g)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
3) [4,0 pts] Para o sistema mostrado a seguir, responda os seguintes itens:
(a) O sistema é assintoticamente estável? É BIBO estável? Justifique.
(b) Verifique se esta realização de estado do sistema é controlável e observável. 
(c) Projete um regulador de estados, cuja lei de controle é , que aloque os autovalores de
malha fechada em . Apresente, como resultado, o vetor de ganho K calculado.
(d) Projete um observador de estados tal que os autovalores de malha fechada, deste sistema
observador, sejam alocados em . Apresente, como resultado, o vetor de ganho L calculado.
(e) Esboce o diagrama de blocos do sistema compensador dinâmico formado pela junção do
regulador e do observador de estados. O regulador opera via realimentação de estados estimados,
.
Resp.:
a)
Todo sistema assintoticamente estável é BIBO estável. Sendo assim, é suficiente verificar os
autovalores da matriz A, da seguinte forma:
Como os autovalores possuem parte real negativa, então o sistema é assintoticamente estável.
b)
O sistema é controlável e observável, pois
c)
d)
e)