c1lista3-aeromec

Prévia do material em texto

3a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo 1 - Profa. Marisa S. Costa
1. Dada a equac¸a˜o x2 + y2 = 9, ache:
a)
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita;
b) as duas func¸o˜es definidas pela equac¸a˜o;
c) a derivada de cada func¸a˜o obtida na parte (b);
d) Comprove que o resultado obtido na parte (a) esta´ de acordo com os resultados obtidos
na parte (c).
2. Ache
dy
dx
por derivac¸a˜o impl´ıcita.
a)
1
x
+
1
y
= 1
c) 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2
e) sec2x+ cosec2y = 4
b) x2y2 = x2 + y2
d) y = cos(x− y)
f) x sen y + y cosx = 1
3. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2).
4. Para a circunfereˆncia x2 + y2 = r2, mostre que a reta tangente em todo ponto (x1, y1) da
curva e´ perpendicular a` reta que passa por (x1, y1) e pelo centro da circunfereˆncia.
5. Seja m(x) a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva y = x3 − 2x2 + x no ponto (x, y). Ache
a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de m(x) em relac¸a˜o a x no ponto (2, 2).
6. Ache as derivadas primeira e segunda da func¸a˜o.
a) f(x) = 4 cos t2;
b) f(x) =
√
senx+ 1;
c) g(t) = 2 sen3t;
d) h(x) =
x2
x2 + 4
.
7. Determine f (4)(x) se f(x) =
2
x− 1.
8. Dada x3 + y3 = 1, mostre que
d2y
dx2
=
−2x
y5
.
9. Se f ′, g′, f ′′ e g′′ existem e se h = f ◦ g, expresse h′′(x) em termos das derivadas de f e g.
1
10. Dada f(x) = 1
12
x4 + 2
3
x3 + 3
2
x2 + 8x+ 2. Para que valores de x tem-se f ′′(x) > 0?
11. Mostre que se xy = k, onde k e´ uma constante na˜o-nula, enta˜o
d2y
dx2
· d
2x
dy2
=
4
k
.
12. Seja f(x) = x3−3x2−1, x ≥ 2. Determine o valor de df−1/dx no ponto x = −1 = f(3).
13. Determine a derivada.
a) y = x arctg x
c) y = e3xarcsen(2x)
e) y = arcsen ex
b) g(x) = arcsen x3
d) y = x2earctg 2x
f) y = e−3x + ln(arctg x)
14. Seja f uma func¸a˜o cujo domı´nio e imagem sa˜o intervalos. Prove que se f for estritamente
crescente (ou estritamente decrescente), enta˜o f sera´ cont´ınua.
15. Seja f(x) = x+ ex e seja g sua inversa.
a) Mostre que o domı´nio e a imagem de g sa˜o intervalos.
b) Prove que g e´ estritamente crescente.
c) Prove que g e´ cont´ınua.
d) Mostre que g e´ deriva´vel e que g′(x) =
1
1 + eg(x)
.
e) Calcule g′(1).
16. A func¸a˜o f(x) = cos x, 0 ≤ x ≤ pi, e´ invers´ıvel e sua inversa e´ a func¸a˜o g(x) = arcosx,
−1 ≤ x ≤ 1.
a) Calcule a derivada da func¸a˜o g.
b) Esboce o gra´fico de g.
17. Suponha que a func¸a˜o deriva´vel y = g(x) tenha uma inversa e que a curva de g passe
pela origem com coeficiente angular 2. Determine o coeficiente angular da curva g−1 na
origem.
2