calculo_1_aula_11[1]

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Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
A Derivada
Bras´ılia, 2
o
semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Conteu´do
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Derivabilidade e Continuidade
Considere a func¸a˜o f (x) = |x |. Responda as seguintes questo˜es:
I f (x) possui limite em
x = 0?
I f (x) e´ cont´ınua em
x = 0?
I
Qual e´ a derivada de
f (x)?
I
Quanto vale f ′(0)?
-2 2
1
3
5
x
y
f=|x|
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Outro exemplo
Considere a func¸a˜o f (x) = x1/3. Responda as seguintes questo˜es:
I f (x) e´ cont´ınua em
x = 0?
I
Qual e´ a derivada de
f (x)?
I
Quanto vale f ′(0)?
I
Qual a equac¸a˜o da reta
tangente a` f (x) em
x = 0?
-2 2
-1
1
x
y
f=x1/3
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Teorema
Se uma func¸a˜o f e´ deriva´vel em um ponto de abscissa x = a,
enta˜o f e´ cont´ınua nesse ponto.
Prova:
I Por hipo´tese, o limite f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a existe. Portanto, f (a)
tambe´m existe;
I lim
x→a
[f (x)− f (a)] = lim
x→a
(x − a) f (x)− f (a)
x − a = limx→a(x − a)f
′(a) = 0;
I Logo lim
x→a
[f (x)− f (a)] = 0 ⇒ lim
x→a
f (x) = f (a);
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Teorema
Se uma func¸a˜o f e´ deriva´vel em um ponto de abscissa x = a,
enta˜o f e´ cont´ınua nesse ponto.
Prova:
I Por hipo´tese, o limite f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a existe. Portanto, f (a)
tambe´m existe;
I lim
x→a
[f (x)− f (a)] = lim
x→a
(x − a) f (x)− f (a)
x − a = limx→a(x − a)f
′(a) = 0;
I Logo lim
x→a
[f (x)− f (a)] = 0 ⇒ lim
x→a
f (x) = f (a);
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Teorema
Se uma func¸a˜o f e´ deriva´vel em um ponto de abscissa x = a,
enta˜o f e´ cont´ınua nesse ponto.
Prova:
I Por hipo´tese, o limite f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a existe. Portanto, f (a)
tambe´m existe;
I lim
x→a
[f (x)− f (a)] = lim
x→a
(x − a) f (x)− f (a)
x − a = limx→a(x − a)f
′(a) = 0;
I Logo lim
x→a
[f (x)− f (a)] = 0 ⇒ lim
x→a
f (x) = f (a);
A Derivada
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Regras de Derivac¸a˜o
Teorema
Se uma func¸a˜o f e´ deriva´vel em um ponto de abscissa x = a,
enta˜o f e´ cont´ınua nesse ponto.
Prova:
I Por hipo´tese, o limite f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a existe. Portanto, f (a)
tambe´m existe;
I lim
x→a
[f (x)− f (a)] = lim
x→a
(x − a) f (x)− f (a)
x − a = limx→a(x − a)f
′(a) = 0;
I Logo lim
x→a
[f (x)− f (a)] = 0 ⇒ lim
x→a
f (x) = f (a);
A Derivada
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Regras de Derivac¸a˜o
Algumas concluso˜es
I
O teorema anterior nos garante que se a derivada existe em
um ponto, enta˜o a func¸a˜o e´ cont´ınua nesse ponto;
I ´
E importante ressaltar que o contra´rio nem sempre e´ verdade
(vide exemplos anteriores!);
I
Uma func¸a˜o pode deixar de ser deriva´vel em um ponto se:
1. a func¸a˜o for descont´ınua no ponto (teorema anterior);
2. a tangente for uma reta vertical (limite da raza˜o incremental
quando o incremento tende a zero e´ ±∞); e
3. na˜o existe tangente bem definida no ponto (como e´ o caso da
func¸a˜o modular em x = 0, que tem um “bico”).
A Derivada
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Regras de Derivac¸a˜o
Para voceˆ estudar sozinho
I
Definic¸o˜es 3.2.2 e 3.2.3, da pa´gina 152 do livro texto, acerca
de derivadas laterais;
I
Refazer o exemplo 2 e, principalmente, o exemplo 3!
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Conteu´do
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Regras de Derivac¸a˜o
A Derivada
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Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(i) Seja f : R→ R, tal que f (x) = c , em que c e´ uma constante.
Nesse caso,
f ′(x) = 0
(ii) Seja f : R→ R, tal que f (x) = xn, em que n ∈ N∗. Nesse
caso,
f ′(x) = nxn−1
A Derivada
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Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(i) Seja f : R→ R, tal que f (x) = c , em que c e´ uma constante.
Nesse caso,
f ′(x) = 0
(ii) Seja f : R→ R, tal que f (x) = xn, em que n ∈ N∗. Nesse
caso,
f ′(x) = nxn−1
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(iii) Seja V ⊂ R, f : V → R, tal que f ′(x) existe, e c ∈ R tal que
c e´ uma constante. Se a func¸a˜o g for definida por
g(x) = c · f (c), enta˜o
g ′(x) = c · f ′(x);
Exemplos: Determine a derivada das func¸o˜es abaixo.
1. f (x) = 7
2. f (x) = x5
3. f (x) = −3x20
4. f (x) = −1
4
x8
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Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(iii) Seja V ⊂ R, f : V → R, tal que f ′(x) existe, e c ∈ R tal que
c e´ uma constante. Se a func¸a˜o g for definida por
g(x) = c · f (c), enta˜o
g ′(x) = c · f ′(x);
Exemplos: Determine a derivada das func¸o˜es abaixo.
1. f (x) = 7
2. f (x) = x5
3. f (x) = −3x20
4. f (x) = −1
4
x8
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Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(iii) Seja V ⊂ R, f : V → R, tal que f ′(x) existe, e c ∈ R tal que
c e´ uma constante. Se a func¸a˜o g for definida por
g(x) = c · f (c), enta˜o
g ′(x) = c · f ′(x);
Exemplos: Determine a derivada das func¸o˜es abaixo.
1. f (x) = 7
2. f (x) = x5
3. f (x) = −3x20
4. f (x) = −1
4
x8
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Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(iii) Seja V ⊂ R, f : V → R, tal que f ′(x) existe, e c ∈ R tal que
c e´ uma constante. Se a func¸a˜o g for definida por
g(x) = c · f (c), enta˜o
g ′(x) = c · f ′(x);
Exemplos: Determine a derivada das func¸o˜es abaixo.
1. f (x) = 7
2. f (x) = x5
3. f (x) = −3x20
4. f (x) = −1
4
x8
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(iv) A regra da soma: Sejam duas func¸o˜es f (x) e g(x) deriva´veis
em um determinado dom´ınio comum. Se h(x) = f (x) + g(x),
enta˜o
h′(x) = f ′(x) + g ′(x)
(v) A regra do produto: Sejam duas func¸o˜es f (x) e g(x)
deriva´veis em um determinado dom´ınio comum. Se
h(x) = f (x) · g(x), enta˜o
h′(x) = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x)
A Derivada
Derivabilidade e Continuidade
Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(iv) A regra da soma: Sejam duas func¸o˜es f (x) e g(x) deriva´veis
em um determinado dom´ınio comum. Se h(x) = f (x) + g(x),
enta˜o
h′(x) = f ′(x) + g ′(x)
(v) A regra do produto: Sejam duas func¸o˜es f (x) e g(x)
deriva´veis em um determinado dom´ınio comum. Se
h(x) = f (x) · g(x), enta˜o
h′(x) = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x)
A Derivada
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Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(vi) A regra do quociente: Sejam duas func¸o˜es f (x) e g(x)
deriva´veis em um determinado dom´ınio comum. Se
h(x) =
f (x)
g(x)
, enta˜o
h′(x) =
f ′(x)g(x)− g ′(x)f (x)
[g(x)]2
(vii) Seja f : R→ R, tal que f (x) = x r , em que r ∈ Z. Nesse caso,
f ′(x) = rx r−1
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Regras de Derivac¸a˜o
Teoremas sobre derivac¸a˜o de func¸o˜es alge´bricas
(vi) A regra do quociente: Sejam duas func¸o˜es f (x) e g(x)
deriva´veis em um determinado dom´ınio comum. Se
h(x) =
f (x)
g(x)
, enta˜o
h′(x) =
f ′(x)g(x)− g ′(x)f (x)
[g(x)]2
(vii) Seja f : R→ R, tal que f (x) = x r , em que r ∈ Z. Nesse caso,
f ′(x) = rx r−1
A Derivada
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Regras de Derivac¸a˜o
Exerc´ıcios
Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemosderivar muitas
func¸o˜es, mas a definic¸a˜o
ainda e´ u´til!
A Derivada
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Regras de Derivac¸a˜o
Exerc´ıcios
Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemos derivar muitas
func¸o˜es, mas a definic¸a˜o
ainda e´ u´til!
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Regras de Derivac¸a˜o
Exerc´ıcios
Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemos derivar muitas
func¸o˜es, mas a definic¸a˜o
ainda e´ u´til!
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Exerc´ıcios
Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemos derivar muitas
func¸o˜es, mas a definic¸a˜o
ainda e´ u´til!
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Exerc´ıcios
Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemos derivar muitas
func¸o˜es, mas a definic¸a˜o
ainda e´ u´til!
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Exerc´ıcios
Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemos derivar muitas
func¸o˜es, mas a definic¸a˜o
ainda e´ u´til!
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Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemos derivar muitas
func¸o˜es, mas a definic¸a˜o
ainda e´ u´til!
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Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemos derivar muitas
func¸o˜es, mas a definic¸a˜o
ainda e´ u´til!
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Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
10. Ja´ sabemos derivar muitas
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ainda e´ u´til!
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Determine a derivada das func¸o˜es abaixo:
1. f (x) = 3x5 +
√
x
2. f (x) = x(x2 − 3)
3. f (x) =
3
√
x
2x + 1
4. f (x) = (x3+2x)(3x5−x21)−5x2
5. f (x) =
x + 1
x2 − 2(3x
7
+ 1)
6. f (x) =
|x |
(x−12 − 3x15)
7. f (x) = (2x − 1)(x2 + 1)|x |
8. f (x) =
|x |√x
3x4 + x−1
9. f (x) =
√
3x − 1
x
(???)
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Refereˆncias
I
Livro texto, pp 148-163, sec¸o˜es 3.2 e 3.3;
I
Pro´xima aula: Livro texto, pp 163-181, sec¸o˜es 3.4 e 3.5.
A Derivada
	Derivabilidade e Continuidade 
	Regras de Derivação