Lista_I_T.2011.1.

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Departamento de Economia 
ECO1704 – Econometria (2011.1) 
Professores: Gustavo Gonzaga e Maurício Reis 
 
 
Lista de Exercícios Teóricos I 
 
Questão 1 
 
A tabela abaixo apresenta a distribuição de probabilidade conjunta entre a situação 
empregatícia e a região de residência em uma determinada cidade. 
 
 Desempregados (Y=0) Empregados (Y=1) Total 
Região Sul (X=0) 0,15 0,45 0,60 
Região Norte (X=1) 0,10 0,30 0,40 
Total 0,25 0,75 1,00 
 
a) A taxa de desemprego é a fração da força de trabalho que está desempregada. Mostre que a taxa 
de desemprego é dada por 1-E[Y]. 
 
b) Calcule E[Y|X=1] e E[Y|X=0]. 
 
c) Usando a lei das expectativas iteradas, obtenha E[Y]. 
 
d) Calcule a taxa de desemprego para: 
i) Indivíduos na região sul. 
ii) Indivíduos na região norte. 
 
e) Um morador dessa cidade selecionado aleatoriamente diz que está desempregado. Qual é a 
probabilidade de que este indivíduo more na região sul? 
 
f) Pode-se dizer que a região de residência e a situação do trabalhador (empregado/desempregado) 
são independentes? Explique. 
 
Questão 2 
 
Considere o seguinte modelo populacional, onde, uma amostra aleatória de tamanho N, 
N
iii xy 1),( = , está disponível: 
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0]V[
0]|E[
10
>
=
++=
i
ii
iii
x
xu
uxy ββ
 
(a) Derive a fórmula dos estimadores de mínimos quadrados de β0 e β1. [Dica: lembre-se que a 
função objetivo que 0βˆ e 1βˆ minimizam é ∑
=
+−
N
i
ii xy
1
2
10 )( ββ ]. 
 
(b) Dê os valores das estimativas pontuais de 0βˆ e 1βˆ para uma amostra com as seguintes 
características: 
 
• Média amostral de y = 100 
• Média amostral de x = 0 
• Variância amostral de y = 400 
• Variância amostral de x = 100 
• Covariância amostral entre y e x = 80 
 
(c) Calcule a expectativa de 1βˆ . [Dica: 1βˆ é um estimador e, portanto, uma função de variáveis 
aleatórias. Ou seja, 1βˆ é uma variável aleatória. Com isso em mente, calcule primeiro [ ]NxxE ,,ˆ 11 Kβ e depois, usando a lei das expectativas iteradas, calcule [ ]1βˆE . Não se esqueça de 
que Niii xy 1),( = é uma amostra aleatória, e portanto, i.i.d.]. 
 
(d) Podemos dizer que 1βˆ é um estimador viesado (tendencioso) de β1? Em caso afirmativo, 
escreva uma expressão para o viés. 
 
Questão 3 
 
Considere o seguinte modelo populacional: 
 
2
10
|
|
σ
ββ
=
=
++=
]xuvar[
0,]xuE[
uxy
ii
ii
iii
 
 
Você dispõe de 100 observações de uma amostra aleatória, que fornecem os seguintes resultados: 
 
∑
=
100
1
2
i
iy = 400 , ∑
=
100
1
2
i
ix =300, ∑
=
∗
100
1i
ii yx = 300 , ∑
=
100
1i
iy = 100, ∑
=
100
1i
ix = 100 
 
a) Utilize o método de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para obter os coeficientes estimados 
para β0 e β 1 ( 0β) e 1β
)
). 
b) Obtenha a variância condicional estimada de 1β
)
. 
 
 
 
 
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Questão 4. 
 
A tabela abaixo apresenta os valores observados a partir de uma amostra aleatória 
da população para as variáveis y, x1 e x2. 
 
Observação y x1 x2 
1 1 0 1 
2 0 0 0 
3 2 1 1 
4 2 1 0 
5 0 0 -1 
6 0 -1 0 
7 0 -1 0 
8 1 0 0 
9 0 0 -1 
10 1 0 0 
 
 
(a) Deseja-se estimar a seguinte regressão: 
 
y = β0 + β 1x1 + β 2x2+ u 
 
Onde supõe-se que E[u|x1, x2]=0. 
 
Obtenha o vetor de coeficientes estimados usando o método de MQO. 
 
 (b) Estime agora a seguinte regressão: 
 
y = β0 + β 1x1 + u 
 
Obtenha o vetor de coeficientes estimados usando o método de MQO. 
 
(c) Obtenha a covariância entre as variáveis x1 e x2. 
 
(d) Explique a diferença entre os resultados obtidos nos itens a) e b) para o coeficiente 
estimado da variável x1. 
 
Questão 5. 
 
Responda verdadeiro ou falso e justifique adequadamente. 
 
(a) Seja 1ˆr o residuo da regressão de x1 em x2 e x3. Se 01ˆ =ir para cada observação i, 
então não é possível estimar por MQO o modelo 
uxxxy ++++= 3322110 ββββ . 
 
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(b) O problema de multicolinearidade perfeita pode ser resolvido se dispusermos de 
uma amostra suficientemente grande. 
 
(c) Dois economistas estimam modelos alternativos para a mesma variável dependente. 
O R2 obtido pelo economista A é maior que aquele obtido pelo economista B. Logo, 
o modelo do economista A está melhor especificado que o modelo do economista B. 
 
(c) Se mudarmos as unidades de medida de todas as variáveis em uma regressão (com 
constante) do tipo log-log, nenhum coeficiente estimado será afetado. 
 
(e) Suponha que, em determinado modelo, o estimador de MQO seja não-viesado. Isso 
implica que MQO seja necessariamente consistente nesse modelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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