exercicios_acop_magnetico_transformador_linear_20-10-2011

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UFG – ENGENHARIA ELÉTRICA 
CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 – PROFESSOR BALEEIRO 
 
9a Lista de Exercícios: Transformador linear – 20/10/2011 
Professor Baleeiro – site: https://sites.google.com/site/antoniobaleeiro/ 
 
01) Problema literal. Considere o circuito da figura 1. A indutância própria de cada enrolamento é 
proporcional ao quadrado do seu número de espiras, isto é, 211 NL α= e 222 NL α= . Portanto, a 
relação de espiras, n, é calculada pela seguinte expressão: 
1
2
1
2
L
L
N
N
n ==
∆
. O coeficiente de 
acoplamento, k, é definido pela expressão: 
21LL
Mk
∆
= . Dessas expressões decorrem que 
nkM
L 11
= e 
k
n
M
L
=
2
. 
 
 
 
 
Figura 1 
(a) Demonstre para o circuito da figura 1 que as expressões a seguir são válidas independentemente 
da carga: 
2221
ˆ
11ˆ1ˆ I
k
MjV
nk
V 





−+= ω ; 221
ˆˆ
1
ˆ I
k
nV
MjI −= ω 
(b) Para 1=k tem-se o que se chama acoplamento perfeito. Nessa condição, determine as relações 
para 1ˆV e 1ˆI para enrolamento secundário em curto-circuito e para enrolamento secundário em 
aberto. Em qual desses casos se tem o transformador linear? 
 
Respostas: 
(a) Após chegar às expressões do enunciado, trabalha-se um pouco mais com a tensão e a corrente, 
conseguimos obter as seguintes expressões: 
( ) 12121 ˆ1ˆˆ IkLjV
n
kV −+= ω
 
22
1
21
ˆˆ
1
ˆ I
k
nV
n
k
LkjI −




=
ω 
A partir dessas expressões pode-se escrever um circuito equivalente de dois indutores acoplados, 
válido para o caso genérico 0 < k ≤ 1 e n como definido anteriormente, como ilustrado a seguir: 
 
 
 
 
 
−
+
1
ˆV 
1
ˆI 2ˆI 
2L 1L 
M 
−
+
2
ˆV 
−
+
2
ˆV
n
k
 
2
ˆIkn
k
n:1
1
2 Lkjω 
)1( 21 kLj −ω 
 
 2
n:1
Na teoria de transformadores, a componente da corrente em derivação, 





= 2
1
2
ˆ
1
ˆ V
n
k
LkjI m ω , é 
designada por corrente de magnetização. 
(b) Considerando k = 1: 
( ) 12121 ˆ1ˆˆ IkLjV
n
kV −+= ω 21 ˆ
1
ˆ V
n
V =→
 
22
1
21
ˆˆ
1
ˆ I
k
nV
n
k
LkjI −




=
ω
2
1
21
ˆ
1
ˆ
1
ˆ In
LjVnI −=→ ω 
Por definição, o transformador ideal tem material no núcleo com permeabilidade µ infinita. Isto faz 
com que L1 tenda ao infinito. Consequentemente: 
22
1
21
ˆˆ
1
ˆ I
k
nV
n
k
LkjI −




=
ω
212
1
21
ˆ0ˆˆ1ˆ1ˆ InIIn
LjVnI −≅→−=→ ω 
21
ˆ
1
ˆ V
n
V = 
21
ˆˆ InI −≅
 
Conclui-se, portanto, que admitidas as suposições anteriores no transformador linear, tal dispositivo 
comporta-se como um transformador ideal. Nessas condições, o circuito do transformador se 
resume ao que está mostrado a seguir: 
 
02) Sabendo-se que o circuito da figura 2 está em regime permanente senoidal com os valores 
indicados, determine: 
(a) a potência média fornecida pela fonte de tensão; 
(b) a impedância de entrada, )(ωinZ , vista pela fonte de tensão. 
 
 
 
 
 
Figura 2 
)()100cos(12)( Vttvs = 
1i 2i 
mH4 mH16 
mH8 
Ωm2 
Ω1 
n:1
n
V2ˆ
 
 3
 
Ω+ 024,1128,0 j 
VVS
00100ˆ ∠= 
Figura 4 
Ω+= mjZ 322 
 
Respostas: 
AI 01 002,0418,8ˆ −∠=
 
AI 02 716,179835,16ˆ −∠=
 
Observe que nas condições do enunciado, tem-se o comportamento de um transformador linear para 
os indutores acoplados: 
21
ˆ5,0ˆ II −≅
 
Sendo 0,5 = √L2 /L1 
(a) P = 71,427W 
(b) Ω∠≅ 0002,0008,1)(ωinZ 
 
03) Sabendo-se que o coeficiente de acoplamento dos indutores do circuito mostrado na figura 3 é 
1=k , calcule a tensão )(2 tv . 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
Resposta: 
Vttv )3,180400cos(05024,0)( 02 += 
 
04) Seja o circuito com acoplamento magnético sem perdas mostrado na figura 4. Para reatâncias 
1X e 2X , 128Ω e 2Ω (i.e., coeficiente de acoplamento k = 1), respectivamente, e carga igual a Z2, 
conforme indicadas na figura, determine: 
(a) 1ˆI , 2ˆI , 1ˆV e 2ˆV ; 
(b) a impedância vista da fonte localizada no primário (ou seja, no lado 1); 
(c) a potência complexa absorvida por Z2 e a perda de potência em watts para transmitir energia da 
fonte à carga (considere que a tensão da fonte possui unidade em valor eficaz). 
 
 
 
 
 
 
−
+
)(2 tv Ω32,0 
Ω16 
−
+
)(1 tv Vt )45400cos(5 0+ 
)(1 ti )(2 ti 
mH40 
mH160 
M 
 
 4
Respostas: 
(a) 
AI 01 127,78488,80ˆ −∠=
 
AI 02 070,258940,642ˆ −∠=
 
VV 01 760,21545,18ˆ −∠=
 
VV 02 760,21318,2ˆ −∠=
 
(b) ??? 
(c) ??? 
 
05) (extraído do Dorf & Svoboda, 7ª edição) Determine a energia total armazenada no circuito da 
Figura P11.9-6 no instante 0=t se o enrolamento secundário (a) está aberto; (b) está em curto-
circuito; (c) está ligado aos terminais de uma resistência de Ω7 . 
Respostas: (a) 15J; (b) 0J; (c) 5J. 
 
 
Figura P11.9-6. 
Sugestão: 
Use a expressão da energia armazenada para dois indutores acoplados. 
fonte de corrente �