Conversão de Bases Numéricas

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Conversões em Sistemas de 
Numeração
José Gustavo de Souza Paiva
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Conversões entre bases que são 
ê i ipotências entre si
• Primeiro caso base binária para basePrimeiro caso  base binária para base 
octal
Como 23 = 8 podemos separar os bits de um– Como 23 = 8, podemos separar os bits de um 
número binário em grupos de três bits
– Começando sempre da direita para aComeçando sempre da direita para a 
esquerda, e convertendo cada grupo de três 
bits para seu equivalente em octal, teremos a p q
representação do número inteiro para octal
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Conversões entre bases que são 
ê i ipotências entre si
• Exemplo para o primeiro caso:Exemplo para o primeiro caso:
– 101010012
• 1022
• 1012
• 0012
C t– Como temos que
• 0102 = 28
• 1012 = 58• 1012 = 58
• 0012 = 18
– Portanto 101010012 = 25182 8
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Conversões entre bases que são 
ê i ipotências entre si
• Segundo caso base binária para baseSegundo caso  base binária para base 
hexadecimal
Como 24 = 16 podemos separar os bits de– Como 24 = 16, podemos separar os bits de 
um número binário em grupos de quatro bits
– Começando sempre da direita para aComeçando sempre da direita para a 
esquerda, e convertendo cada grupo de 
quatro bits para seu equivalente em q p q
hexadecimal, teremos a representação do 
número inteiro para hexadecimal
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Conversões entre bases que são 
ê i ipotências entre si
• Exemplo para o segundo caso:Exemplo para o segundo caso:
– 110101011012
• 11022
• 10102
• 11012
C t– Como temos que
• 1102 = 616
• 10102 = A16• 10102 = A16
• 11012 = D16
– Portanto 110101011012 = 6AD162 16
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Conversões entre bases que são 
ê i ipotências entre si
• Terceiro caso base hexadecimal paraTerceiro caso  base hexadecimal para 
octal
– O método mais prático é converter para p p
binário e em seguida para octal
– Exemplo  3F5H em octal
• 3F5H = 011.1111.01012 (convertendo cada dígito 
hexadecimal em 4 dígitos binários)
• 01.111.110.1012 (agrupando de três em três bits)01.111.110.1012 (agrupando de três em três bits)
• 17658 (convertendo cada grupo de três bits para 
seu valor equivalente em octal)
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Conversão de base qualquer para 
b d i lbase decimal
• A melhor maneira de se realizar este tipo de conversão p
é utilizando a expressão vista
• Nb = an.bn + .... + a2.b2 + a1.b1 + a0.b0 + a-1.b-1 + a-2.b-2 + 
.... + a n.b-n.... a-n.b
• Exemplo  transformando 1011012 para a base decimal
– 1011012 =
1 25 + 0 24 + 1 23 + 1 22 + 0 21 + 1 20– 1x25 + 0x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 =
– 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 =
– 4510
O l i i d ili d f• O algoritmo acima pode ser utilizado para transformar 
números de qualquer base para decimal
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Conversão de base qualquer para 
b d i lbase decimal
• ExemplosExemplos
– Converter 4F5H para a base 10
• Sabendo que F =15 temos:• Sabendo que F16=1510, temos:
4x162 + 15x161 + 5x160 = 4x256 + 15x16 + 5 = 
1024 + 240 + 5 = 126910
– Converter 34859 para a base 10
• 3x93 + 4x92 + 8x91 + 5x90 = 3x729 + 4x81 + 8x9 + 
5 2187 + 324 + 72 + 5 25885 = 2187 + 324 + 72 + 5 = 258810
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Conversão de base qualquer para 
b d i lbase decimal
• ExemplosExemplos
– Converter 1001,012 para a base 10
• 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 + 0x2-1 + 1x2-2 = 8 + 0 +• 1x2 + 0x2 + 0x2 + 1x2 + 0x2 + 1x2 = 8 + 0 + 
0 + 1 + 0 + 0,25 = 9,2510
– Converter 34,35 para a base 10, 5 p
• 3x51 + 4x50 + 3x5-1 = 15 + 4 + 0,6 = 19,610
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Conversão da base decimal para 
b luma base qualquer
• Este tipo de conversão emprega algoritmos que p p g g q
são o inverso dos apresentados anteriormente
• As partes inteiras e fracionárias dos números 
ã d dsão tratadas separadamente
• Parte Inteira
O número decimal será dividido sucessivas vezes– O número decimal será dividido sucessivas vezes 
pela base
– O resto de cada divisão ocupará sucessivamente as 
posições de ordem 0, 1, 2 e assim por diante até que 
o resto da última divisão (que resulta em quociente 
zero) ocupe a posição de mais alta ordem
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Conversão da base decimal para 
b luma base qualquer
• Exemplo 1910 para a base bináriaExemplo  1910 para a base binária
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Conversão da base decimal para 
b luma base qualquer
• Parte FracionáriaParte Fracionária
– O algoritmo para a parte fracionária consiste 
de uma série de multiplicações sucessivas do 
número fracionário a ser convertido pela base
– A parte inteira do resultado da primeira 
multiplicação será o valor da primeira casamultiplicação será o valor da primeira casa 
fracionária e a parte fracionária será de novo 
multiplicada pela base, até o resultado dar p p ,
zero ou até encontrarmos o número de casas 
decimais desejado
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Conversão da base decimal para 
b luma base qualquer
• Exemplo 15 6510 para a base bináriaExemplo  15,6510 para a base binária, 
com 5 e com 10 algarismos fracionários 
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Conversão da base decimal para 
b luma base qualquer
• Em ambos os casos, a conversão foi interrompida p
quando encontramos o número de algarismos 
fracionários solicitadas no enunciado
• No entanto, como não encontramos resultado 0 emNo entanto, como não encontramos resultado 0 em 
nenhuma das multiplicações, poderíamos continuar 
efetuando multiplicações indefinidamente até encontrar 
(se encontrarmos) resultado zero(se encontrarmos) resultado zero
• No caso de interrupção por chegar ao número de dígitos 
especificado sem encontrar resultado zero, o resultado 
encontrado é aproximadoencontrado é aproximado
• Quanto maior o número de algarismos considerados, 
melhor será a aproximação
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Conversão de Números entre duas 
b ibases quaisquer 
• Para converter números de uma base bPara converter números de uma base b
para uma outra base b', o processo 
prático utilizado é converter da base bp
dada para a base 10 e depois da base 10 
para a base b' pedida
• Exemplo  converter 435 para a base 9
– 435 = (4x51 + 3x50)10 = 2310
– 23/9 = 2 (resto 5 < 9)
– Logo 435 = 2310 = 259
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ExercíciosExercícios
• Qual o decimal equivalente a 110110112?Qual o decimal equivalente a 110110112? 
• Qual o octal equivalente a 110110112? 
• Qual o hexadecimal equivalente a 110110112?Qual o hexadecimal equivalente a 110110112? 
• Qual o binário equivalente à sua idade? Qual 
seus equivalentes octal decimal eseus equivalentes octal, decimal e 
hexadecimal? 
• Qual o maior binário que pode ser representado Qua o a o b á o que pode se ep ese ado
por uma série de 16 bits? Qual seus 
equivalentes octal, decimal e hexadecimal?
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ExercíciosExercícios
• Converter os seguintes números decimais paraConverter os seguintes números decimais para 
números binários
– 39
– 0,4475
– 256,75
– 129,5625
• Realize as seguintes conversões
– 356 para binário
– 44,38 para hexadecimal
100101 para base 5– 1001012 para base 5
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ReferênciasReferências
• Rui Mano Organização de ComputadoresRui Mano, Organização de Computadores
– http://wwwusers.rdc.puc-rio.br/rmano/index.html