Curvas Parametrizadas

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Curvas 
Limite 
DEFINIÇÃO: Sejam 𝛼: 𝐼 → 𝑅𝑛 uma curva parametrizada 
e 𝑡0 ∈ 𝐼 . Definimos da curva será igual ao limite das 
funções coordenadas de um ponto da curva, ou seja, se em 
um ponto da curva não houver limite toda a curva também 
não terá limite: 
𝑙𝑖𝑚𝑡 →𝑡0 𝛼(𝑡) ≔
(𝑙𝑖𝑚𝑡 →𝑡0 𝛼1(𝑡) , … , 𝑙𝑖𝑚𝑡 →𝑡0 𝛼𝑛(𝑡)) 
Ou seja, quando existe os limites 𝑙𝑖𝑚𝑡 →𝑡0 𝛼𝑖(𝑡), 𝑖 =
1, … , 𝑛. 
 
Assim, segue por definição que o 𝑙𝑖𝑚𝑡 →0 𝛼(𝑡) =
(𝑙𝑖𝑚𝑡 →0 𝑡𝑒
𝑡 , 𝑙𝑖𝑚𝑡 →0
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
) = (0,1), ou seja, o 
limite de cada função coordenada pois o limite de uma curva 
é um ponto do 𝑅𝑛 e para que não exista basta também 
não existir em uma das funções coordenadas sejam (x,y) ou 
(x,y,z). 
PROPRIEDADES DO LIMITE DE CURVAS: 
Sejam 𝛼, 𝛽: 𝐼 → 𝑅𝑛 duas curvas parametrizadas, que 
possuem limites em 𝑡0 ∈ 𝐼, e 𝑎 ∈ 𝑅. Então: 
 
 
Continuidade 
DEFINIÇÃO: Dizemos que a curva 𝛼: 𝐼 → 𝑅𝑛 é 
contínua em 𝑡0 ∈ 𝐼 quando vale a igualdade a seguir: 
𝑙𝑖𝑚𝑡 →𝑡0 𝛼(𝑡) = 𝛼(𝑡0). Onde acontecem 3 
coisas: o limite da curva existe, a curva está definida 
em 𝑡0 e vale a igualdade onde o limite da curva no 𝑡0 
é igual ao 𝛼(𝑡0) . 
TEOREMA: 𝛼: 𝐼 → 𝑅𝑛 é contínua se, e somente se, 
suas funções coordenadas são todas contínuas. 
CAROLÁRIO: Sejam 𝛼, 𝛽: 𝐼 → 𝑅𝑛 curvas 
parametrizadas e 𝑓: 𝐼 → 𝑅 uma função. Se 
𝛼, 𝛽 𝑒 𝑓 são contínuas, então também são contínuas: 
𝛼 + 𝛽; < 𝛼, 𝛽 >; 𝑓 × 𝛼 𝑒 𝛼^𝛽 
Derivadas 
Sabemos que, de uma maneira geral, a derivada é a 
inclinação da reta tangente que passa por uma 
determinada curva. Além disso, a derivada também é 
muito utilizada em física, pois ela também é uma taxa 
de variação, como por exemplo, a velocidade. Dessa 
forma, podemos dizer que uma curva 𝛼: 𝐼 → 𝑅𝑛 é 
dita ser derivável (diferenciável) em 𝑡0 ∈ (𝑎, 𝑏), 
quando existe o seguinte limite: 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
1
ℎ
[𝛼(𝑡0 +
ℎ) − 𝛼(𝑡0)] = 𝛼′(𝑡0), que lembra muito a 
definição de derivada: 
 
É de fato é a mesma equação. Chamamos de derivada de 𝛼 
em (𝑡0). 
 
Na curva alfa determinamos dois pontos; 𝛼(𝑡0) e 
𝛼(𝑡0 + ℎ), então analisamos o vetor formado definido 
por [𝛼(𝑡0 + ℎ) − 𝛼(𝑡0)]. Se multiplicarmos esse 
vetor por 1/h e fazer com que esse vetor tenda a 0 
teremos então a derivada da curva alfa. 
Exemplo: 𝛽: 𝑅 → 𝑅2, 𝛽(𝑡) = (𝑡, |𝑡|). 𝛼 existe? 
 
Assim vemos que beta não é diferenciável em 0, pois seus 
limites laterais são distintos. Mas não precisamos fazer 
sempre essa conta para verificar se uma curva 
parametrizada é ou não diferenciável; podemos usar a 
definição: 
.TEOREMA: Uma curva 𝛼: (𝑎, 𝑏) → 𝑅𝑛, 𝛼(𝑡) =
(𝛼1(𝑡), … , 𝛼𝑛(𝑡)) é derivável em 𝑡0 se, e somente 
se, suas funções coordenadas são deriváveis em 𝑡0. Além 
disso, 𝛼′(𝑡) = (𝛼1′(𝑡), … , 𝛼′𝑛(𝑡)). Ou seja, derivar 
uma curva é derivar cada função coordenada. 
Exemplo: 
 
A derivada de alfa t é na verdade a derivada de suas 
funções coordenadas. 
REGRAS DE DERIVAÇÃO: 
Sejam 𝛼, 𝛽: (𝑎, 𝑏) → 𝑅𝑛 curvas diferenciáveis e 
𝑓: (𝑎, 𝑏) → 𝑅 uma função diferenciável. Então 
𝛼 + 𝛽, < 𝛼, 𝛽 >, 𝑓 ∙ 𝛼, ||𝛼|| 𝑒 𝛼^𝛽 são 
diferenciáveis. Além disso: 
 
A reta tangente 
Reta Tangente é a reta que toca uma curva ou 
superfície sem cortá-la, compartilhando um único 
ponto. Próximo ao ponto de tangência, a curva é 
aproximadamente a reta tangente. Para encontrar a 
reta tangente a uma curva que passa no ponto (x0, 
y0) é necessário saber qual o coeficiente angular a da 
reta. A equação da reta é dada por y-y0 = a (x-x0). 
Em curvas parametrizadas, temos que dado o traço de 
uma curva e tendo um ponto 𝛼(𝑡), podemos definir 
o vetor tangente a curva nesse ponto e a partir disso 
podemos definir também a reta que passa 𝛼(𝑡) e 
possui a mesma direção do vetor 𝛼′(𝑡). 
 
Seja 𝛼: 𝐼 → 𝑅𝑛 uma curva. Quando 𝛼′(𝑡): =
𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
1
ℎ
(𝛼(𝑡0 + ℎ) − 𝛼(𝑡0)) existe e é diferente 
do vetor nulo, fica bem definida a reta 𝑟: 𝑅 → 𝑅𝑛 : 
𝑟(𝑠) = 𝛼(𝑡0) + 𝑠 ∙ 𝛼
′(𝑡0) 
Denominada reta tangente a alfa em T zero. 
Exemplo: Determine uma equação para a reta tangente 
a hélice elíptica: 𝛼(𝑡) = (2𝑐𝑜𝑠𝑡, 3𝑠𝑒𝑛𝑡, 4𝑡), em 
𝑡0 = 0. 
Para calcular a reta tangente primeiro calculamos o 
𝛼′(𝑡0), depois calculamos 𝛼
′(0) e por fim o 𝛼(0): 
 
A partir desse resultado podemos também calcular 
outras equações: 
 
Exemplo 2: Mostre que a reta tangente a circunferência 
𝑥2 + 𝑦2 = 1, em um ponto 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0), é 
ortogonal ao vetor posição P. 
 
 
 
 
Ou seja, temos que: 𝛼: 𝑅 → 𝑅2, 𝛼(𝑡) =
(𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡) é uma curva parametrizada cujo traço é 
a circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 1. 
Para realizar esse exercício precisamos provar essa 
afirmação: 𝛼(𝑡) é ortogonal a 𝛼′(𝑡). <
𝛼(𝑡), 𝛼′(𝑡) > = 0: 
 
 
DEFINIÇÃO: Uma curva 𝛼: (𝑎, 𝑏) → 𝑅𝑛 é dita ser 
REGULAR, quando: 
1. Ela é diferenciável em todos os pontos do intervalo 
(a,b), pois precisaremos calcular as derivadas da curva 
2. 𝛼′(𝑡) ≠ 0, para todo 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏), 
pois assim fica bem definida a reta 
tangente. 
 
Comprimento de curvas 
Seja 𝛼: [𝑎, 𝑏] → 𝑅3 uma curva parametrizada regular. 
Seja 𝑡0 ∈ [𝑎, 𝑏]. O comprimento de arco de 𝛼 a partir 
de 𝑡0 é 𝜎(𝑡) = ∫ |𝛼′(𝑢)| ⅆ𝑢
𝑡
𝑡0
. Onde |𝛼′(𝑡)| =
√(𝑥(𝑡))
2
+ (𝑦(𝑡))
2
+ (𝑧(𝑡))
2
, 𝛼(𝑡) =
(𝑥(𝜏), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)). Onde sigma é uma função: 
𝜎: [𝑡0, 𝑏] → ℝ que está definida no intervalo que vai de 
a até b. 
Podemos também calcularmos o comprimento de uma parte 
da curva, mas a partir de um ponto definido 𝑡0 = 𝑎. 
 
Explicação da Formula: 
 
 
 
 
 
O comprimento da curva é dado por aproximação do 
comprimento dos segmentos de reta a qual a curva foi 
repartida. 
 
Exemplo: Considere a curva 𝑎: ℝ → ℝ3, definida por 
𝑎(𝑡) = (𝛼cot, 𝛼sent, 𝑏𝑡), 𝑎, 𝑏 > 0 
 
a) Determine o comprimento de arco de 𝛼 a partir de 
𝑡0 = 0 
 
 
 
b) Determine o comprimento de 𝛼 de 𝑡 = 0 até 𝑡 =
2𝜋 
 
 
 
Parametrização pelo comprimento 
de arco 
Seja 𝛼: [𝑎, 𝑏] → 𝑅3 curva regular, 𝛼′(𝑡) ≠ 𝑂, ∀𝑡 
.Seja 𝜎: [𝑎, 𝑏] → 𝑅, a função comprimento de arco 
Temos que: 
𝐴 = 𝜎(𝑡) = ∫ |𝛼′(𝑢)| ⅆ𝑢
𝑡
𝑎
, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 
Seja 𝑙 = 𝐶(𝛼) = ∫ |𝛼′(𝑡)|ⅆ𝑡
𝑏
𝑎
. Que pode ser 
explicado pelo teorema fundamental do cálculo: 
 
 
 
Isso indica também que sigma é uma função estritamente 
crescente e funções desse tipo são injetivas. A função 
injetiva, é um tipo de função que apresenta elementos 
correspondentes em outra. Assim, dada uma função f (f: A 
→ B), todos os elementos da primeira têm como imagem 
elementos distintos de B: 
 
 
 
Assim, existe uma inversa de sigma: 
 
 
 
E finalmente podemos definir beta: 
 
 
 
Definição: Beta é chamada a reparametrização de alfa pelo 
comprimento de arco. 
 
PROPRIEDADES DE BETA: 
 
 
Alguns pontos importantes são: 
• Toda curva pode ser reparametrização pelo 
comprimento de arco. 
• A reparametrização pelo comprimento de arco 
acontece da seguinte forma: 
 
 
 
Definição: Dizemos que uma curva 𝛼: 𝐼 → 𝑅 está 
parametrizada pelo comprimento de arco quando 
|𝛼′(𝑡)| = 1 (parametrização pelo comprimento de arco 
P.C.A), para todo 𝑡 ∈ 𝐼 .