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Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Aplicac¸o˜es da Derivada Bras´ılia, 2 o semestre de 2009 Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Conteu´do Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Livro texto: Leithold, V.1. 3 a ed. I Sec¸a˜o 4.2: 1, 5, 7, 15, 16, 33; I Sec¸a˜o 4.4: 15, 19, 45, 49; I Sec¸a˜o 4.5: 1, 7, 15, 25, 51; I Sec¸a˜o 4.6: 3, 5, 13, 17, 29; I Sec¸a˜o 4.7: 9, 13, 27, 29, 39, 41, 53; Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Conteu´do Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Soluc¸a˜o de problemas de otimizac¸a˜o utilizando derivada I Problemas cuja soluc¸a˜o e´ um extremo de uma func¸a˜o podem ser resolvidos empregando derivadas; I ´ E preciso primeiro equacionar o problema: • Fac¸a um desenho ilustrativo quando poss´ıvel; • Combine as relac¸o˜es entre as grandezas do problema ate´ conseguir equaciona´-lo em termos das varia´veis de interesse; I Utilize o teorema do valor extremo para determinar o ma´ximo ou m´ınimo que representa a soluc¸a˜o do seu problema; Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Exemplo 1 Os pontos A e B esta˜o em lados opostos de um rio reto com 3 km de largura. O ponto C esta´ na mesma margem que B, mas a 2 km rio abaixo. Uma companhia telefoˆnica deseja estender um cabo de A ate´ C. Se o custo por quiloˆmetro de cabo e´ 25% maior sob a a´gua do que em terra, como deve ser estendido o cabo, de forma que o custo seja o menor poss´ıvel para a companhia? Notas: I Observe que o problema pode ser visto como de determinar o m´ınimo da func¸a˜o custo, em relac¸a˜o aos paraˆmetros geome´tricos do problema; I Precisamos, enta˜o, escrever o custo como func¸a˜o de alguma varia´vel geome´trica do problema; Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Etapas da soluc¸a˜o do exemplo 1 I Desenho ilustrativo: A B C 3 km 2 km x l1 l2 I O custo total e´ dado pela func¸a˜o de C = 5/4k`1 + k`2, em que k e´ o custo por metro de instalac¸a˜o do cabo em terra firme; I Precisamos agora escrever `1 e `2 ambos com func¸a˜o de x Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Etapas da soluc¸a˜o do exemplo 1 I Desenho ilustrativo: A B C 3 km 2 km x l1 l2 I O custo total e´ dado pela func¸a˜o de C = 5/4k`1 + k`2, em que k e´ o custo por metro de instalac¸a˜o do cabo em terra firme; I Precisamos agora escrever `1 e `2 ambos com func¸a˜o de x Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Etapas da soluc¸a˜o do exemplo 1 (continuac¸a˜o) I Equacionamento do problema: C ∗(x) = C (x)/k = 5 √ 9 + x2 4 − x + 2 I Note que o problema original poˆde ser reescrito como determinar um m´ınimo absoluto para C ∗(x) com x ∈ [0, 2]; I Mas a` obra... Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Exerc´ıcios 1. Quais sa˜o as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio de 5 cm na base e 12 cm de altura? 2. Sejam c1 e c2 as velocidades da luz em dois meios translu´cidos diferentes. De acordo com o princ´ıpio de Fermat, um raio de luz viajara´ de um ponto A, no primeiro meio, para um ponto B, no segundo, por um determinado caminho ABC que minimiza o tempo gasto. Nessas condic¸o˜es, mostre a Lei de Snell, segundo a qual sen(θ1) sen(θ2) = c1 c2 , em que θ1 e θ2 sa˜o os aˆngulos de refrac¸a˜o de cada meio. Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Exerc´ıcios 1. Quais sa˜o as dimenso˜es do cilindro circular reto de maior volume que possa ser inscrito num cone circular reto com raio de 5 cm na base e 12 cm de altura? 2. Sejam c1 e c2 as velocidades da luz em dois meios translu´cidos diferentes. De acordo com o princ´ıpio de Fermat, um raio de luz viajara´ de um ponto A, no primeiro meio, para um ponto B, no segundo, por um determinado caminho ABC que minimiza o tempo gasto. Nessas condic¸o˜es, mostre a Lei de Snell, segundo a qual sen(θ1) sen(θ2) = c1 c2 , em que θ1 e θ2 sa˜o os aˆngulos de refrac¸a˜o de cada meio. Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Conteu´do Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Teorema de Rolle (Bhaskara, 1114-1185 e Michel Rolle, 1652-1719) Seja e f : V ⊂ R→ R tal que: (i) f e´ cont´ınua no intervalo [a, b]; (ii) f e´ deriva´vel no intervalo (a, b); (iii) f (a) = f (b) = 0. Enta˜o ∃ c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0. a bc f ’(c) = 0 f(a) = f(b) = 0 Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Prova do teorema de Rolle O teorema de Rolle deriva diretamente do Teorema do Valor extremo. Para prova´-lo, consideramos dois casos distintos na demonstrac¸a˜o: Caso 1 : f (x) = 0, ∀ x ∈ [a, b]. Nesse caso f ′(x) = 0 para todo x no intervalo. Logo, qualquer nu´mero entre a e b pode ser tomado como c . Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Prova do teorema de Rolle (continuac¸a˜o) Caso 2 : Se f (x) na˜o e´ identicamente nula para todo x ∈ [a, b], enta˜o: I f na˜o e´ identicamente nula no intervalo (a, b) e f (a) = f (b) = 0, por hipo´tese; I Do Teorema do Valor Extremo, como f e´ cont´ınua em [a, b], por hipo´tese, sabemos que deve haver um ma´ximo e um m´ınimo absolutos para f no intervalo; I Enta˜o existe algum ponto c ∈ (a, b) em que f (x) admite seu valor ma´ximo ou m´ınimo; I Mais uma vez, pelo Teorema do Valor Extremo, segue que f ′(c) = 0; Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Exerc´ıcio Seja a func¸a˜o f (x) = 4x3 − 9x definida no intervalo x ∈ [−3/2, 3/2]. Podemos verificar que f (−3/2) = f (3/2) = 0. Como a func¸a˜o f (x) na˜o e´ constante no intervalo, o Teorema de Rolle nos garante que existe pelo menos um valor de c ∈ [−3/2, 3/2] tal que f ′(c) = 0. Sabemos tambe´m que esse ponto c e´ candidato a ma´ximo ou m´ınimo de f (x) no referido intervalo. Nessas condic¸o˜es: • Verifique a veracidade do teorema, determinando o valor (ou valores) de c em que f ′(c) = 0; • Usando o Teorema do Valor Extremo, determine se ponto (ou pontos) c e´ um ma´ximo ou m´ınimo de f (x) no referido intervalo. Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Conteu´do Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do ValorMe´dio Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio O Teorema do Valor Me´dio (Cauchy, 1789-1857) Seja f uma func¸a˜o tal que (i) seja cont´ınua no intervalo fechado [a, b]; (ii) seja deriva´vel no intervalo aberto (a, b). Enta˜o, existira´ um nu´mero c ∈ (a, b), tal que f ′(c) = f (a)− f (b) a− b a bc ( )a , f a( ) ( )b , f b( ) “Entre a e b existe pelo menos um ponto c em que a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ igual a` inclinac¸a˜o da reta secante por a e b.” Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Prova do Teorema do Valor Me´dio I Comec¸amos determinando a func¸a˜o F (x) que calcula a distaˆncia vertical entre f (x) e a reta secante; F (x) = f (x)− [ f (b)− f (a) b − a (x − a) + f (a) ] I Verificamos agora que F (x) satisfaz as condic¸o˜es do teorema de Rolle. Logo, ∃ c ∈ (a, b) ;F ′(c) = 0, isto e´ F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a) b − a = 0 I Em outras palavras, ∃ c ∈ (a, b) ; f ′(c) = f (b)− f (a) b − a Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Prova do Teorema do Valor Me´dio I Comec¸amos determinando a func¸a˜o F (x) que calcula a distaˆncia vertical entre f (x) e a reta secante; F (x) = f (x)− [ f (b)− f (a) b − a (x − a) + f (a) ] I Verificamos agora que F (x) satisfaz as condic¸o˜es do teorema de Rolle. Logo, ∃ c ∈ (a, b) ;F ′(c) = 0, isto e´ F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a) b − a = 0 I Em outras palavras, ∃ c ∈ (a, b) ; f ′(c) = f (b)− f (a) b − a Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Prova do Teorema do Valor Me´dio I Comec¸amos determinando a func¸a˜o F (x) que calcula a distaˆncia vertical entre f (x) e a reta secante; F (x) = f (x)− [ f (b)− f (a) b − a (x − a) + f (a) ] I Verificamos agora que F (x) satisfaz as condic¸o˜es do teorema de Rolle. Logo, ∃ c ∈ (a, b) ;F ′(c) = 0, isto e´ F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a) b − a = 0 I Em outras palavras, ∃ c ∈ (a, b) ; f ′(c) = f (b)− f (a) b − a Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Prova do Teorema do Valor Me´dio I Comec¸amos determinando a func¸a˜o F (x) que calcula a distaˆncia vertical entre f (x) e a reta secante; F (x) = f (x)− [ f (b)− f (a) b − a (x − a) + f (a) ] I Verificamos agora que F (x) satisfaz as condic¸o˜es do teorema de Rolle. Logo, ∃ c ∈ (a, b) ;F ′(c) = 0, isto e´ F ′(c) = f ′(c)− f (b)− f (a) b − a = 0 I Em outras palavras, ∃ c ∈ (a, b) ; f ′(c) = f (b)− f (a) b − a Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Observac¸o˜es sobre o Teorema do Valor Me´dio I Uma interpretac¸a˜o intuitiva do Teorema pode ser associada ao movimento de um carro ao longo de um trecho de estrada. De acordo com o TVM, se no referido trecho a velocidade me´dia do carro e´ de 50km/h, pelo menos um ponto sua velocidade instantaˆnea tambe´m foi de 50km/h; I Em geral, o TVM diz que sempre existe um ponto no qual a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de determinada func¸a˜o e´ igual a taxa de variac¸a˜o me´dia dessa func¸a˜o, em um intervalo. I O TVM e´, na verdade, uma generalizac¸a˜o do Teorema de Rolle para casos em que f (a) 6= f (b). Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Exerc´ıcio Seja a func¸a˜o f (x) = x3 − x e o intervalo fechado [0, 2]. Como f (x) e´ deriva´vel em [0, 2], o TVM garante que existe pelo menos um ponto c no intervalo tal que f ′(c) = f (2)− f (0) 2− 0 . Determine esse ponto. Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Alguns teoremas decorrentes do TVM Teorema: Se f ′(x) = 0 para todo x pertencente a um intervalo (a, b), enta˜o f (x) e´ constante em (a, b) Prova: I Sejam dois nu´meros x1 e x2 quaisquer em (a, b), tais que x1 < x2; I Pelo TVM, existe c ∈ [x1, x2] tal que f ′(c) = f (x2)− f (x1) x2 − x1 ; I Como, por hipo´tese, f ′(c) = 0, segue que f (x2)− f (x1) = 0, logo f (x1) = f (x2) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b). Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Alguns teoremas decorrentes do TVM Teorema: Se f ′(x) = 0 para todo x pertencente a um intervalo (a, b), enta˜o f (x) e´ constante em (a, b) Prova: I Sejam dois nu´meros x1 e x2 quaisquer em (a, b), tais que x1 < x2; I Pelo TVM, existe c ∈ [x1, x2] tal que f ′(c) = f (x2)− f (x1) x2 − x1 ; I Como, por hipo´tese, f ′(c) = 0, segue que f (x2)− f (x1) = 0, logo f (x1) = f (x2) para quaisquer x1, x2 ∈ (a, b). Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Alguns teoremas decorrentes do TVM Teorema: Se f ′(x) = g ′(x) para todo x pertencente a um intervalo (a, b), enta˜o f (x)− g(x) e´ constante em (a, b), isto e´, f (x) = g(x) + c , em que c e´ uma constante. Prova: I Seja F (x) = f (x)− g(x). Nesse caso, F ′(x) = f ′(x)− g ′(x); I Desde que f ′(x) = g ′(x), por hipo´tese, segue que F ′(x) = 0; I Pelo teorema anterior, se F ′(x) = 0, enta˜o F (x) = c , em que c e´ uma constante; I Logo, F (x) = f (x)− g(x) = c , ou ainda f (x) = g(x) + c ; Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Alguns teoremas decorrentes do TVM Teorema: Se f ′(x) = g ′(x) para todo x pertencente a um intervalo (a, b), enta˜o f (x)− g(x) e´ constante em (a, b), isto e´, f (x) = g(x) + c , em que c e´ uma constante. Prova: I Seja F (x) = f (x)− g(x). Nesse caso, F ′(x) = f ′(x)− g ′(x); I Desde que f ′(x) = g ′(x), por hipo´tese, segue que F ′(x) = 0; I Pelo teorema anterior, se F ′(x) = 0, enta˜o F (x) = c , em que c e´ uma constante; I Logo, F (x) = f (x)− g(x) = c , ou ainda f (x) = g(x) + c ; Aplicac¸o˜es da Derivada Exerc´ıcios sugeridos da semana Problemas de Ma´ximo e M´ınimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Me´dio Refereˆncias I Livro texto, pp. 224-238 , sec¸o˜es 4.2, 4.3 e 4.4. I Pro´xima aula: Livro texto, pp. 236-260, sec¸o˜es 4.4, 4.5, 4.6 e 4.7. Aplicac¸o˜es da Derivada Exercícios sugeridos da semana Problemas de Máximo e Mínimo O Teorema de Rolle O Teorema do Valor Médio
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