Lista_IV 2007.2.

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Gabarito da Lista 4 Teórica
29 de novembro de 2007
Professor: Maurício Cortez Reis
Monitor: João Felipe Santoro
1 Questão
(a)
A variável k poderia ser usada como proxy para q.
(b)
A variável s poderia ser usada como instrumento para a variável x.
2 Questão
(a)
A primeira equação pode ser identificada pois satisfaz a condição de ordem. Com isso, podemos usar a
variável preço como instrumento para a variável álcool. Já na segunda, não há instrumentos que possamos
utilizar para ln(rendimentos), visto que a única variável exógena que seria uma candidata a instrumento
já está incluída na segunda equação.
(b)
A estimação da primeira equação poderia ser feita utilizando preço como instrumento para álcool através
do Método dos Mínimos Quadrados em Dois Estágios (MQ2E). Primeiro computaríamos a regressão de
álcool nas variáveis exógenas (preço,educação) obtendo a parte do consumo de ácool que é exógena, que
chamaremos de acoˆol, e depois computando uma regressão de ln(rendimentos) em acoˆol e educação.
obs:não devemos computar o segundo estágio manualmente. Ver Wooldridge Pág.470
3 Questão
(a)
Não. O que é determinado na realidade pela equação é uma quantidade de cigarros de equilíbrio. Isso
porque o preço, uma das variáveis explicativas, é determinado pela interação das forças de demanda
por maços de cigarro e oferta de maços de cigarro. O que ocorre nessa regressão é um problema de
endogeinidade: o preço afeta a demanda por cigarros e a demanda por cigarros, por sua vez, afeta o
preço.
(b)
Sim. Supondo que o imposto é determinado exogenamente e como varia entre as cidades, serve como
uma variável instrumental para o preço do cigarro, e assim podemos identificar e estimar a equação da
demanda.
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(c)
Podemos utilizar o método de MQ2E. Primeiro computamos a seguinte regressão:
Pˆ = pi1T + pi2R
E depois:
C = β0 + β1Pˆ + β2R
(d)
O fato do imposto ser determinado nacionalmente faz com que não haja mais correlação entre a variável
imposto (T) e a variável preço (P). Isto é, Corr(T, P ) = 0.
4 Questão
(a)
Falso. O erro de mensuração da variável dependente não causa um efeito de viés nos estimadores, esse
erro será incorporado pelo intercepto.
(b)
Verdadeiro. É razoável acreditar que exista correlação entre habilidade e educação, dado que pessoas
com maior habilidade inata tenderão a obter mais anos de estudo. Logo, a economista C têm razão, o
estimador pode sofrer de viés devido a omissão da variável habilidade.
(c)
(i)
É a melhor opção, não tem correlação com habilidade e a correlação com educ é mais clara. No entanto,
também podem estar correlacionados com u.
(ii)
Também serve, mas está menos correlacionada com educ, comparada com a primeira possibilidade. No
entanto, também podem estar correlacionados com u.
(iii)
Esta seria a pior opção, pois o efeito da habilidade está aparecendo no erro.
(d)
Esperaríamos que o coeficiente fosse menor, pois estaria capturando somente a parte da habilidade do
indivíduo que é oriunda da educação da mãe. Então, como parte do impacto da educação sobre o salário
é devido a habilidade, que também aumenta o salário, quanto mais informação não correlacionada com
u sobre a educação melhor.
(e)
O ideal é usar as duas variáveis instrumentais, assim perderemos menos informação sobre educ.
5 Questão
(a)
Esse problema nos diz que a variável explicativa que estaria sendo observada inclui um erro aleatório tal
que:
X = X∗ + e
Onde X é o que está sendo observado e X* é a verdadeira variável. Então:
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Y = β0 + β1X + (β1e+ u)
Ou seja, poderemos ter um problema de estimadores viesados caso e seja correlacionado com X.
(b)
Ao adotar a variável nível de educação informado pelo próprio individuo , que, em média, está altamente
correlacionado com o nível de educação reportado pela instituição, eliminamos o problema de mensuração
a medida que admitimos que aquele não é o verdadeiro valor do nível educacional do individuo. Lembrando
que os erros de medida das duas variáveis devem ser idependentes.
6 Questão
(a),(b) e (c)
{
yi = β0 + β1xi + β2wi + u1i
xi = δ0 + δ1yi + δ2wi + δ3zi + u2i
Substituindo a primeira na segunda:
xi = δ0 + δ1(β0 + β1xi + β2wi + u1i) + δ2wi + δ3zi + u2i
xi − δ1β1xi = δ0 + δ1β0 + δ1β2wi + δ2wi + δ3zi + δ1u1i + u2i
(1− δ1β1)xi = δ0 + δ1β0 + (δ1β2 + δ2)wi + δ3zi + δ1u1i + u2i
Agora devemos fazer a hipótese adicional δ1β1 6= 1, e dividir a equação por (1− δ1β1):
xi =
δ0 + δ1β0
(1− δ1β1)︸ ︷︷ ︸
pi0
+
(δ1β2 + δ2)
(1− δ1β1)︸ ︷︷ ︸
pi1
wi +
δ3
(1− δ1β1)︸ ︷︷ ︸
pi2
zi +
δ1u1i + u2i
(1− δ1β1)︸ ︷︷ ︸
v1
(d)
Fazendo o MQ2E, usando z como instrumento para x (desde que z seja não-correlacionado com u1):
xˆi = γ0 + γ1zi + γ2wi
yi = β0 + β1xˆi + β2wi + u1i
7 Questão
(a)
βˆ1 =
N∑
i=1
(Xi−X)Yi
N∑
i=1
(Xi−X)2
= 348 = 0, 0625
(b)
Não. Vejamos porque:
t = βˆ1
ep(βˆ1)
= 0,06250,0759 = 0, 823
p-valor = 0,43415
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Não conseguimos rejeitar a hipótese nula de que β1 = 0 utilizando nenhum dos níveis de significân-
cia razoáveis (1 a 10%). Para rejeitar H0 deveríamos ter um nível de significância de 43,4% e isto não é
nem um pouco razoável.
8 Questão
(a)
βˆ1 =
N∑
i=1
(Xi−X)Yi
N∑
i=1
(Xi−X)2
= 0, 20
As mulheres têm uma probabilidade 20% menor de serem gerentes.
(b)
Poderíamos ter usado um modelo Probit ou Logit. Isso porque o modelo de probabilidade linear apresenta
basicamente os seguintes problemas:
1) Heterocedasticidade
2) Dificuldade em interpretar probabilidades >1 e < 0
3) Efeitos marginais constantes
No entanto, o o m.p.l é bem mais simples que o probit e o logit, o que o torna útil em várias aplicações.
9 Questão
(a)
βˆ1 =
N∑
i=1
(Xi−X)Yi
N∑
i=1
(Xi−X)2
= −25 = −0, 4
(b)
V ar(βˆ1) =
n∑
i=1
(Xi−X)2uˆ2i
n∑
i=1
(Xi−X)2
(c)
Antes, no modelo de probabilidade linear fazíamos:
P (y = 1|x) = β0 + β1x1 + β2x2 + ...+ βkxk
Agora temos:
P (y = 1|x) = G(β0 + β1x1 + β2x2 + ...+ βkxk)
Onde G é uma função assumindo valores estritamente entre 0 e 1.
A diferença do modelo Probit para o Logit está na escolha da função G:
Probit :
G(z) = Φ(z) =
z∫
−∞
φ(v)dv
Onde φ(z) é a densidade normal padrão:
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φ(z) = (2pi)−1/2 exp(−z
2
2 )
Logit :
G(z) = exp(z)1+exp(z)
(d)
A meta principal desses modelos de resposta binária é explicar os efeitos de x sobre a probabilidade de
resposta P(y=1|x). No entanto, quando estimamos utilizando a função objetivo G(z), os coeficientes não
têm mais uma interpretação direta. Apesar disso, o sinal dos coeficientes permanece o mesmo. Para
medir o efeito parcial da variável X sobre a variável Y, temos que confiar no cálculo:
∂P (y=1|X)
∂X = G
′(β0 + β1X)β1
onde, G′(z) = ∂G∂z (z).
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