Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial 3x²-y³+(2y-3xy²)y'=0 - Equação diferencial ordinária exatas (EDO) - Cálculo II - UNIP

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial .3x² - y³ + 2y - 3xy² y' = 0( )
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata, temos que colocar a EDO no formato gernérico;
 
M x, y dx + N x, y dy = 0( ) ( )
 
Assim, vamos manipular a EDO para colocá-la no formato acima:
 
3x² - y³ + 2y - 3xy² y' = 0 3x² - y³ + 2y - 3xy² = 0 3x² - y³ dx + 2y - 3xy² dy = 0( ) → ( )
dy
dx
→ ( ) ( )
 
Com isso : M x, y = 3x² - y³ e N x, y = 2y - 3xy²( ) ( )
 
Para a EDO ser exata devemos ter =→
𝜕M x, y
𝜕y
( ) 𝜕N x, y
𝜕x
( )
 
Vamos, então, encontrar as derivadas parciais;
 
= - 3y e = - 3y , logo, = para a EDO em questão, 
𝜕M x, y
𝜕y
( )
2
𝜕N x, y
𝜕x
( )
2
𝜕M x, y
𝜕y
( ) 𝜕N x, y
𝜕x
( )
assim, temos uma EDO exata. Agora, podemos definir o deguinte sistema;
 
= M x, y = 3x² - y³ 
𝜕F
𝜕x
( )
= N x, y = 2y - 3xy²
𝜕F
𝜕y
( )
 
Vamos integrar pacialmente em x a primeira equação e chegar em F x, y ;( )
 
F x, y = 3x² - y³ dx = - y³x +∅ y = x - y³x +∅ y( ) ∫( ) 3x
3
3
( ) 3 ( )
 
Perceba que a constante resultante dessa integral está em função de y, com isso, devemos 
determiná - la para chegar a solução final da EDO, para isso, vamos derivar F x, y parcialmente( )
em relação a y;
 
 
 
= 0 - 3y x +∅' y = - 3xy +∅' y
𝜕F x, y
𝜕y
( )
2 ( ) 2 ( )
 
A segunda condição dada pelo sistema acima foi : = N x, y = 2y - 3xy²
𝜕F
𝜕y
( )
 
Ou seja, = N x, y , com isso, temos a igualdade;
𝜕F x, y
𝜕y
( )
( )
 
2y - 3xy² = -3xy +∅' y , isolando ∅' y , fica;2 ( ) ( )
 
-3xy +∅' y = 2y - 3xy² ∅' y = 2y - 3xy² + 3xy ∅' y = 2y2 ( ) → ( ) 2 → ( )
 
Para achar ∅ y , basta integrar ∅' y ;( ) ( )
 
∅ y = ∅' y dy = 2ydy = = y( ) ∫ ( ) ∫ 2y
2
2
2
 
Como a EDO é exata, então, necessáriamente : F x, y = c( )
 
encontramos que F x, y = x - y³x + y , logo :( ) 3 2
 
x - y³x+ y = c 3 2
 
 
(Resposta - Solução geral da EDO)