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1o Estudo Dirigido de Econometria Professores: Maurício Reis e Marta Areosa March 11, 2010 1 Questão 1 Sejam X e Y variáveis aleatórias distribuidas de acordo com fX;Y . a) Como calculamos o valor esperado de X? b) Mostre que E [X � Y ] = E [X]� E [Y ]. c) Seja c uma constante. Calcule E [X + c]. d)Seja c uma constante. Calcule E [cX]. e) Como calculamos a variância de X? f) Mostre que podemos calcular a variância de X como �2 = E � X2 �� (E [X])2 : g) Seja c uma constante. Mostre que V ar(X + c) = V ar(X). h) Seja c uma constante. Mostre que V ar(cX) = c2V ar(X) i) Como calculamos a covariância de X e Y ? j) Sejam c e d constantes. Calcule a covariâcia de X e cX + d. k) Como se calcula o desvio-padrão de X? l) Como se calcula a correlação de X e Y . m) Calcule a correlação de X e cX + d. n) Mostre que ���xy�� � 1. Dica: Calcule a variância de T = aX + Y quando a = ��xy=�2x. o) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias independentes. Mostre que Cov (X;Y ) = 0 p) SejamX e Y duas variáveis aleatórias independentes. Mostre que V ar (X + Y ) = V ar (X)+ V ar (Y ) e V ar (X � Y ) = V ar (X) + V ar (Y ) 2 Questão 2 Além disso, considere fX1; X2; :::; Xng e fY1; Y2; :::; Yng duas amostras obtidas de experimentos aleatórios independentes. a) O que é um estimador? b) De na estimador não-viesado. 1 Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo c) Dê um exemplo de estimador não-viesado da média de X. d) Dê um exemplo de estimador não-viesado da variância de X. e) De na estimador e ciente? f) Seja ~X = Pn i=1 aixi um estimador linear para a média (onde cada ai é uma constante). Mostre que, se Pn i=1 ai = 1, ~X não é viesado. g) Calcule a variância de ~X (considere Pn i=1 ai = 1). h) Qual a mínima variáncia para ~X? Interprete o resultado. i) De na estimador consistente? j) Enuncie a Lei dos Grandes Números e dê um exemplo de estimador consistente. k) Dê um exemplo de estimador não viesado, mas que não seja consistente. l) Dê um exemplo de estimador consistente que seja viesado. 3 Questão 3 a) Enuncie o Teorema Central do Limite b) Mostre que, se X tem distribuição N (0; 1), então Y = aX + b, onde a e b são constantes, tem ditribuição N � b; a2 � . 2 Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia PUC-RIo
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