2011-2_ListaTeorica1

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Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia 
 
 
Lista Teórica 1 
 
 
Parte I: Dados em Painel 
 
 
1. Exercício 13.3 do Wooldridge. 
2. Exercício 13.5 do Wooldridge. 
3. Exercício 13.6 do Wooldridge. 
4. Em um modelo com efeito individual não observado (ai), 
 
itiitit uaxy +++= ba (1) 
 
redefina o erro como vit = ai + uit, onde: (i) ai é não-correlacionado com uit e tem variância 
constante e igual a sa2 ; (ii) uit tem variância constante e igual a su2; (iii) uit é não-
correlacionado com x, além de serialmente não-correlacionado. 
 
 
a) Explique por que, sob as hipóteses acima, o estimador de MQO da equação (1) é 
consistente mas ineficiente. 
 
 
Defina, agora, a equação transformada: 
 
( ) ( ) ( )iitiitiit vvxxyy llblal -+-+-=- )1( (2) 
 
onde l=1-[ su2/( su2 + T sa2)]1/2. 
 
O estimador de efeitos aleatórios é obtido pela aplicação de MQO nessa equação 
transformada. 
 
 
b) Defina ( )iitit vve l-= . Mostre que, para t¹s, cov(eit,eis)=0. Você deve primeiro 
mostrar que E(eit) = 0; depois, que Var(eit) = su2, t=1,....T; e, enfim, provar o resultado 
desejado. 
 
c) Qual a implicação do resultado do item anterior para as propriedades do estimador de 
MQO na equação transformada (2) - isto é, para as propriedades do estimador de 
efeitos aleatórios? 
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d) Compare a equação (2) com a equação transformada associada ao estimador de efeitos 
fixos: 
 
( ) ( ) ( )iitiitiit uuxxyy -+-=- b (3) 
 
Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois estimadores – efeitos fixos 
e aleatórios) são idênticas? Isso faz sentido? 
 
e) Agora compare a equação do estimador de efeitos aleatórios, (2), com a equação 
original (1). Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois 
estimadores - efeitos aleatórios em (2) e MQO em (1)) são idênticas? Isso faz sentido? 
 
5. Deseja-se estimar, para um painel com dois períodos e 500 indivíduos, a equação 
 
ln (Rendit) = b0 + dT2 + ai + b1 Informal it + uit 
 
Onde: T2 é uma dummy para o segundo período. 
Rend=rendimento 
Informal=dummy igual para trabalhadores informais e zero caso contrário 
ai é um efeito individual não observado 
uit é um erro não-correlacionado com as variáveis explicativas 
 
(i) Qual é o possível problema em estimar esse modelo por MQO (“pooled”)? 
 
(ii) Reescreva o modelo acima em primeira diferença e mostre como isso resolve o problema 
acima. 
 
(iii) Cite um outro método através do qual o problema citado poderia ser solucionado. 
 
(iv) Por que não podemos incluir uma variável dummy para gênero nas regressões dos itens (ii) 
e (iii)? 
 
 
6. A tabela abaixo apresenta os resultados de regressões que usam dados de 27 Unidades da 
Federação (UFs) brasileiras em diferentes períodos, que vão de 1992 a 2002. Nessas regressões, a 
variável dependente é a porcentagem de domicílios, em cada UF, cuja renda per capita está abaixo 
da “linha de pobreza extrema”. Na primeira coluna é estimada uma regressão por Mínimos 
Quadrados Ordinários com os dados “empilhados” (“pooled”). A segunda coluna apresenta o 
resultado da regressão com efeitos fixos e na terceira coluna são mostrados os resultados com 
efeitos aleatórios. 
 
As variáveis explicativas que aparecem nas regressões são as seguintes: 
 
· Desig = Desigualdade de renda em cada UF medida pelo índice de Gini. 
· Educ = média dos anos de educação em cada UF 
· “Dummies” de tempo, representadas por: D1992, D1993,.....D2001. 
 
 
 
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Variável dependente: Proporção de domicílios na pobreza extrema
Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t
desig 0.668 5.79 0.315 3.51 0.368 4.06
educ -0.060 -15.74 -0.016 -2.01 -0.039 -6.15
D1992 - - - - - -
D1993 -0.005 -0.33 -0.005 -0.71 -0.005 -0.68
D1995 -0.051 -3.36 -0.056 -7.73 -0.052 -6.94
D1996 -0.040 -2.61 -0.050 -6.44 -0.043 -5.44
D1997 -0.029 -1.87 -0.043 -5.25 -0.033 -4.10
D1998 -0.032 -2.08 -0.052 -6.01 -0.040 -4.71
D1999 -0.014 -0.90 -0.043 -4.60 -0.027 -3.02
D2001 -0.010 -0.61 -0.044 -4.39 -0.025 -2.70
Constante 0.107 1.42 0.099 1.50 0.175 2.75
Obs.
Teste de Hausman
c2(9)
(1) (2) (3)
MQO Efeitos fixos Efeitos aleatórios
19.41
216 216 216
 
 
a) Sob que condições cada um dos estimadores acima é consistente? 
 
b) Comparando os coeficientes estimados para as variáveis desig e educ nas colunas (1) e (2) 
da tabela acima, notamos que os coeficientes estimados por MQO são maiores em módulo 
do que os estimados usando efeitos fixos. O que pode explicar essas diferenças entre os 
coeficientes nas duas regressões? Exemplifique sua argumentação adequadamente. 
 
c) Na regressão com efeitos fixos: 
 
(i) Podemos incluir uma “dummy” para a região geográfica (Norte, Nordeste etc.) da 
UF? Em caso negativo, por que não? Em caso positivo, como isso seria feito?. 
(ii) Podemos reespecificar o modelo de modo a estimar de que forma o efeito da 
educação varia entre regiões geográficas? Em caso negativo, por que não? Em 
caso positivo, como isso seria feito? 
 
d) O valor-p do teste de Hausman apresentado na tabela acima é menor que 0,025. Qual a 
conclusão que podemos tirar desse teste? Explique. 
 
e) Em geral, sob que condições o estimador de efeitos aleatórios seria superior ao estimador de 
efeitos fixos? 
 
f) Qual é a interpretação dos coeficientes associados às “dummies” de tempo? Como a inclusão 
dessas “dummies” na regressão se diferencia da inclusão de uma tendência temporal linear? 
 
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7. Suponha que você esteja interessado em saber qual é o efeito do preço da gasolina sobre a 
demanda por esse produto. Você tem à sua disposição os resultados estimados para 18 países com 
dados anuais de 1960 a 1978 da seguinte equação: 
 
Ln (gasolina/carros)it = a + b1 (Y/N) it + b 2 (PG) it + b 3 (carros/N) it + u it 
 
Onde: 
(gasolina/carros)it = consumo de gasolina por automóvel no país i no ano t. 
(Y/N) it = renda real per capita no país i no ano t. 
(PG) it = preço real da gasolina no país i no ano t. 
(carros/N) it = número de carros per capita no país i no ano t. 
 
A tabela abaixo apresenta os resultados estimados usando Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e 
Efeitos Fixos. 
 
Coeficientes estimados 
 
MQO Efeitos Fixos 
1ˆb 0,89 (0,04) 
0,66 
(0,07) 
2bˆ -0,89 (0,03) 
-0,32 
(0,04) 
3bˆ -0,76 (0,02) 
-0,64 
(0,03) 
 
 
a) Após observar esses resultados, uma economista afirma: “O efeito do preço da gasolina sobre o 
consumo está estimado de forma viesada ao usarmos MQO, mas não ao usarmos o estimador 
de efeitos fixos. Logo, a estimação por efeitos fixos é mais confiável”. Explique (sucintamente) 
cada passo da argumentação da economista, exemplificando adequadamente. 
 
b) Um segundo economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina usando efeitos 
aleatórios. Quais as condições para que isso seja apropriado? Você concorda com a sugestão 
desse economista? Explique. 
 
c) Um terceiro economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina reespecificando o 
modelo em primeiras diferenças. Sob que condições (se houver) esse procedimento é preferível 
à estimação por MQO? Sob que condições (se houver) esse procedimento não é preferível à 
estimação por MQO? 
 
 
 
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8. Você trabalha no Ministério da Justiça do Brasil, onde há grande preocupação com os elevados 
índices de criminalidade nos municípios brasileiros. O Ministro da Justiça lhe solicita a realização 
de um estudo econométrico para comprovar a hipótese de que um aumento do número de 
policiais per capita do município poderia reduzir os índices de criminalidade. Para uma amostra 
aleatória dos municípios da Federação, você dispõe de dadosanuais entre 2000 e 2004, inclusive: 
Crime: Número de crimes (em unidades) PIB: PIB (em R$ milhões) 
Pop: População (em 1.000 habitantes) SalPol: Salário médio dos policiais do município (em R$) 
Esc: Escolaridade média da população (em anos) EduPol: Educação média dos policiais do município (em 
anos) 
Rural: Variável binária (dummy) indicando se o 
município é rural 
ExpPol: Experiência média dos policiais do município (em 
anos de serviço) 
Ind: Variável binária (dummy) indicando se o 
município é industrial 
IdPol: Idade média da população (em anos) 
Des: Índice de desigualdade social NumPol: Número de policiais per capita do município 
U: Taxa de desemprego (em %) Cond: Percentual dos crimes que foram resolvidos e o(s) 
criminosos foram efetivamente condenados 
Apo: Número de aposentados do município NumEsc: Número de escolas per capita do município 
 
Além disso, você dispõe dos seguintes dados para o Brasil como um todo: 
PIBBrasil: PIB do Brasil (em R$ bilhões) TxJuros: Taxa de juros (em %) 
UBrasil: Taxa de desemprego (em %) IdPopBrasil: Idade média da população (em anos) 
Salmin: Salário mínimo Inf: Taxa de inflação 
 
(a) Proponha um modelo econométrico a ser estimado usando parte, ou a totalidade, das variáveis 
acima que permita testar a hipótese de interesse e ao mesmo tempo possa explicar as principais 
causas dos elevados índices de criminalidade. Caso a hipótese não seja rejeitada, determine o 
aumento percentual do número de policiais per capita requerido para reduzir os índices de 
criminalidade em 15%. Seja preciso no que se refere aos seguintes pontos, justificando-os 
adequadamente: 
- Defina claramente a forma funcional da equação a ser estimada; 
- Defina claramente a variável dependente da equação. 
- Defina claramente as variáveis explicativas incluídas na equação. 
- Defina claramente possíveis variáveis que não estão listadas acima e que deveriam 
ser incluídas no modelo. 
- Defina claramente os índices de cada variável, ou seja, indique precisamente quais 
variáveis variam somente ao longo do tempo, quais variam unicamente entre municípios e 
quais variam em ambas as dimensões; 
- Defina claramente, em termos dos parâmetros do seu modelo, a hipótese a ser testada. 
- Defina os possíveis fatores não observados, fixos ao longo do tempo, que poderiam 
afetar os índices de criminalidade. Como você incluiria esses fatores no seu modelo? 
(b) Como você estimaria o modelo definido no item anterior? Justifique cuidadosamente. 
(c) Suponha que os níveis de escolaridade de todos os municípios da amostra tenham se mantido 
constantes ao longo do tempo. O método de estimação proposto por você permite estimar a 
elasticidade entre escolaridade e índices de criminalidade? 
 
(d) Explique como você testaria a hipótese de interesse. Seja preciso no que se refere ao nível de 
significância, valor crítico e regra de rejeição do teste. 
 
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9. A fim de analisar a relação entre comparecimento às aulas e desempenho escolar, um economista 
australiano observou os alunos do Curso de Estatística da Universidade de Wollongong durante um semestre 
(J.R.Rodgers, “A Panel-Data Study of the Effect of Student Attendance on University Performance, 
Australian Journal of Education, 45(3), 2001”). O semestre era dividido em 4 períodos, e ao final de cada 
período o aprendizado da matéria era avaliado a partir da realização de uma prova. 
 
Com base nas informações sobre a freqüência dos alunos às aulas e seu desempenho nas provas de cada 
período do semestre, o economista inicialmente estimou a seguinte equação por MQO (usando apenas as 
observações referentes aos 167 alunos que fizeram todas as provas): 
 
(NOTA)it = a + b1 (FREQUENCIA)it + b 2 (DUM1)t + b 3 (DUM2)t + b 4 (DUM3)t + u it 
 
Onde: 
(NOTA)it = nota do aluno i na prova do período t. 
(FREQUENCIA) it = freqüência de comparecimento do aluno i às aulas do período t. 
(DUM1)t = variável dummy para o período 1. 
(DUM2)t = variável dummy para o período 2. 
(DUM3)t = variável dummy para o período 3. 
uit = termo de erro. 
 
A estimativa obtida para o parâmetro 1ˆb foi de 0,20, com erro-padrão 0,01. 
 
a) Qual é a implicação desse resultado para a relação esperada entre comparecimento às aulas e 
desempenho escolar? Por que é provável que essa estimativa esteja viesada? 
 
b) Qual é a relevância de se incluir na regressão as dummies DUM1, DUM2 e DUM3? 
 
Em seguida, o economista reestimou a equação acima através de dois métodos distintos, obtendo os 
seguintes resultados: 
 
- Efeitos fixos: 1ˆb = 0,05, erro-padrão = 0,024 
- Efeitos aleatórios: 1ˆb = 0,10, erro-padrão = 0,01 
 
c) Esses resultados fazem sentido, à luz de sua resposta ao item (a)? 
 
d) A estatística do teste de Hausman para testar efeitos fixos contra efeitos aleatórios foi 17,73 (p-valor 
0,0014). O que isso significa? 
 
Por fim, o economista estimou novamente a equação acima, adicionando, porém, outras variáveis 
explicativas, dentre as quais: (i) nota média do aluno i nas outras matérias cursadas no semestre sob 
investigação; (ii) dummy de sexo; (iii) dummy para aluno em tempo integral. A nova estimativa para 1ˆb foi 
de 0,06, com erro-padrão 0,02. 
 
e) Compare essa nova estimativa com as obtidas anteriormente, discutindo as razões para eventuais 
semelhanças ou diferenças. 
 
 
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10. Seja ity a taxa de desemprego no município i no período t. Você está interessado em estudar os efeitos 
de um programa federal de treinamento e qualificação profissional sobre o desemprego dos municípios. Seja 
iz um vetor de k características observáveis que variem entre municípios mas sejam constantes no tempo (o 
Estado em que o município se localiza, por exemplo). Seja itx um vetor de p características observáveis que 
variem entre municípios e no tempo. A variável itprog é a dummy indicadora da participação no programa: 
itprog =1 se o município i participa do programa no período t. Qualquer seqüência de participação é 
possível, ou seja, certo município pode participar em um período mas não em outro. 
 
a) (0,5 ponto) Considere o seguinte modelo estimado por MQO: 
 itititiit uprogxzy ++++= 1dbga , i=1,2,...,N; t=1,2,...,T 
 onde o erro do modelo é dado por: itiit vcu += . 
Avalie a seguinte afirmativa: “Esse modelo é de utilidade limitada porque os estimadores de MQO serão 
inconsistentes se os erros { itu } forem autocorrelacionados”. [Concorda? Discorda? Por quê?] 
 
b) (0,75 ponto) Suponha que 0),|( =itiit xzuE e 0)|( =itit progvE , mas você suspeite que a 
participação no programa dependa de características não observáveis das cidades constantes no tempo – 
isto é, que 0)|( ¹iti progcE . Como você testaria essa hipótese? Explique detalhadamente. 
 
c) (0,75 ponto) Suponha que suas suspeitas no item anterior tenham sido confirmadas – isto é, que o teste 
proposto no item anterior indique que 0)|( ¹iti progcE . Que método de estimação você usaria para 
estimar a regressão de interesse? Justifique! 
 
d) (0,5 ponto) Você consegue estimar todos os parâmetros 1 e ,, dbga a partir do método proposto no item 
anterior? Explique. 
 
e) (0,5 ponto) Suponha agora que, em vez de depender das características não observáveis das cidades 
constantes no tempo, a participação no programa dependa de efeitos temporais não observados tq (por 
exemplo, fatores macroeconômicos que variem no tempo mas afetem todos os municípios da mesma 
forma). Logo, o modelo apropriado é agora: 
 
 ittititiit vprogxzy +++++= qdbga 1 , i=1,2,...,N; t=1,2,...,T 
 
Uma forma de controlar para tais efeitos temporais seria através da introdução de variáveis dummy para 
cada período. Suponha, porém, que você não queira introduzir dummies para cada período. Que 
transformação do modelo acima pode ajudar a resolver a omissão do efeito temporal e tornaro modelo 
transformado estimável consistentemente por MQO? (Mostre algebricamente a transformação utilizada). 
 
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Parte II: Séries Temporais 
 
 
6. Considere a seguinte versão modificada do modelo de Samuelson (Review of Economics and 
Statistics, maio de 1939) de interação entre o “multiplicador keynesiano” e o “princípio do 
acelerador”: 
( )1
1
-
-
-=
+=
++=
ttt
ttt
ttt
cci
yc
gicy
b
ea 
onde y, c, i, g e e são, respectivamente, a renda nacional, o consumo, o investimento, os gastos 
do governo e um distúrbio i.i.d. com média zero; a e b são parâmetros positivos que 
representam o multiplicador e o acelerador, respectivamente. Note que os gastos do governo 
são constantes no tempo. 
a) Mostre que a trajetória da renda pode ser descrita por um modelo ARMA(2,1). Você deve 
definir adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes 
desse modelo e os parâmetros do modelo estrutural. 
b) Que restrições os coeficientes a e b devem satisfazer para que o processo que descreve a 
trajetória da renda seja estacionário? Desenhe a região de estacionariedade em um gráfico 
tendo a no eixo vertical e b no horizontal. 
c) Suponha a = b = 0,5 e g = 100. O processo é estacionário? Caso positivo, em torno de qual 
valor a renda deve flutuar? 
 
7. Considere o processo estocástico definido por 
11),,0NID(~, 0
2
110 <<-++= - fseeff tttt YY 
Prove que o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de segunda ordem. 
 
8. Considere o processo estocástico definido por 
),0NID(~, 2332211 seeeqeqeqeqm ttqtqttttY ++++++= ---- L 
Prove que para quaisquer valores de q1,..., qq, o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de 
segunda ordem. 
 
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9. Verifique a estacionariedade dos processos ARIMA abaixo: 
 
a) tttt uyyy +-= -- 21 1.07.0 
b) tttt uyyy +-= -- 21 5.0 
c) 11 8.05.02 -- +++= tttt uuyy 
d) tt uByBB )5.01()1.09.01(
2 -=-- 
e) ttt uyy ++= -110 
 
10. Considere o seguinte processo estocástico: 
 
Yt = 0,8 Yt-1 – 0,2 Yt-2 + ut – 1,5 ut-1 + 0,5 ut-2 ut ~ ruído branco 
 
 
Todo número complexo x = a + bi, onde 1-=i , pode ser 
representado por um vetor num plano cartesiano; sua 
coordenada horizontal é a parte real do número (a), enquanto 
que a coordenada vertical é sua parte imaginária (b). Dessa 
forma, localize no plano ao lado, em que os quadrados 
pontilhados têm lado unitário, a(s) raíz(es) do polinômio f(B) 
do processo Yt, calculando também o módulo 
(“comprimento”) dela(s). O que a localização dessa(s) raíz(es) 
no plano indica sobre o processo Yt? 
 
 
 
 
 
11. Mostre que a soma de dois processos estocásticos estacionários independentes também é um 
processo estacionário. 
 
 
12. Considere o processo estocástico: 
 
 
î
í
ì
>
=
=
- 1
1
1 tz
t
z
t
t
w
 
 
onde w é uma variável aleatória qualquer. O processo é estacionário? É ergódico (isto é, 
“assintoticamente independente”)? 
Re 
Im 
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13. Calcule a função de autocorrelação dos processos abaixo. Mostre os 5 primeiros valores da FAC num 
gráfico. 
 
(a) ttt uyy += -15.0 
(b) 21 3.02.0 -- --= tttt uuuy 
 
 
14. Considere o seguinte processo estocástico: 
 
21 )3,0()1,0( -- --= tttt uuuY (*) 
ut ~ N(0, 1) 
 
(a) Que formato você esperaria para a FAC e FACP de uma realização do processo? 
 
(b) O economista A observa uma realização do processo, sem saber que o verdadeiro processo gerador dos 
dados é (*). Ele deseja identificar o processo através da análise da FAC e FACP amostral. Mas o 
economista B, que conhece o processo gerador (*), afirma: “Dificilmente o economista A conseguirá 
identificar corretamente o processo, a menos que disponha de número muito grande de observações”. 
Comente essa afirmação. 
 
 
15. A FACP teórica de um processo ARIMA decai exponencialmente (em módulo), enquanto que sua FAC 
teórica tem o seguinte gráfico, onde r(k) = 0 para k > 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escreva a equação completa do processo, com o valor teórico dos parâmetros e verifique se ele é 
estacionário. Suponha que Var(ut) = 2 e a Var(Yt) = 12. [Dica: Primeiro escreva a equação do processo em 
função de parâmetros desconhecidos; em seguida, calcule o valor desses parâmetros a partir da função de 
autocorrelação do processo e das informações acima.] 
 
 
 
 
Defasagem 1 
2 
1/3 
-1/2 
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16. Um processo da classe ARIMA apresenta os seguintes formatos para a FAC e FACP: 
 
F A C
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
D efasagem
 
F AC P
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Def asagem
 
Você observa uma realização do processo até o período T e deseja prever os valores que serão observados 
em T+1 e T+2. Além da FAC e FACP acima, você dispõe das seguintes informações: (i) a média do processo 
é 10; (ii) o valor de Y em T é 12; (iii) as inovações ut têm distribuição N(0,1). 
(a) Calcule as previsões para T+1 e T+2. 
(b) Calcule a variância do erro de previsão para as previsões acima. 
(c) O intervalo de confiança para suas previsões é maior em T+1 ou T+2? Comente. 
(d) Qual é o valor previsto para T+100? 
 
 
17. Você deseja prever a taxa de inflação a partir de um modelo ARIMA. A FAC e FACP amostrais da taxa 
de inflação mensal encontram-se retratadas abaixo: 
 
 
 
 
(a) Com base nos gráficos acima, que tipo de modelo ARIMA parece constituir uma boa aproximação 
para a série em questão? 
 
(b) Quais informações adicionais você gostaria de obter a fim de certificar-se de que o modelo escolhido 
no item anterior é realmente adequado? 
 
(c) Supondo que você disponha de informações até maio de 2009, explique como você obteria previsões 
para junho e julho de 2009, e para junho de 2012. 
 
(d) Um colega sugere estimar um modelo para a inflação em função da taxa de câmbio e da taxa de 
juros, pois acredita que tais variáveis possam aumentar a capacidade preditiva do modelo, 
relativamente a um modelo univariado da classe ARIMA. Como você compararia as previsões dos 
dois modelos, a fim de escolher aquele com melhor capacidade preditiva? 
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18. Considere o seguinte modelo macroeconômico: 
pplp t
E
ttt uy ++= (1) 
y
t
E
ttt uiy +-= - )( 1 pg (2) 
1-= t
E
t pp (3) 
)( ppr -+= tt ii (4) 
onde: 
0 ,01 ,10
0 média com i.i.d. choques"" ,
)(constante inflação de meta 
)(constante "equilíbrio de" nominal juros de taxa
 tperíodo no nominal juros de taxa
1)-(tanterior período o até informação em base com t,em inflação da aexpectativ 
 tperíodo no produto do hiato 
 tperíodo no inflação 
³<<-<<
=
=
=
=
=
=
=
rgl
p
p
p
p y
tt
t
E
t
t
t
uu
i
i
y
 
 
A equação (1) é uma “curva de Phillips” que relaciona a inflação corrente ao hiato do produto e à expectativa 
passada da inflação, além de um “choque de oferta”. A equação (2) é uma relação do tipo IS, na qual o hiato 
do produto depende da taxa de juros real no período anterior e de um “choque de demanda”. A equação (3) é 
a regra de formação de expectativas, segundo a qual a inflação esperada para o período t é simplesmente a 
inflação observada no período t-1. Finalmente, a equação (4) é a regra de política monetária do Banco 
Central, que determina a taxa de juros nominal em função do desvio entre a inflação corrente e a meta de 
inflação. 
 
(a) Mostre que a trajetória da inflação pode ser descrita por um processo ARMA(p,q). Você deve definir 
adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes desse modelo e 
os parâmetros do modelo estrutural acima. 
 
(b) Considere três possíveis valores para ocoeficiente r na regra de política monetária do Banco 
Central: 0, 1 e 2. Em cada caso, diga se a inflação segue um processo estacionário ou não-
estacionário (de segunda ordem), justificando sua resposta adequadamente. O que você pode inferir, 
a partir desses resultados, acerca da condução adequada da política monetária nessa economia? 
 
 
19. Considere os seguintes processos estocásticos: 
),0(~ e ),0(~ 
0, 0, , 10 onde (II)
 (I)
22
1
1
x
x
ty
y
t
xy
x
ttxt
y
ttyt
NuNu
uXX
uYY
ss
mmffm
m
³³<<++=
++=
-
-
 
 
(a) Por que se diz que o processo Y é um “processo com raiz unitária”? 
(b) Mostre de que forma os valores de Xt e Yt dependem de todos os respectivos choques aleatórios 
(u´s) ocorridos no passado. 
(c) O que os resultados do item (b) implicam em termos da persistência ou transitoriedade dos 
efeitos dos choques que afetam Y e X? E em termos das médias e das variâncias de Y e X? 
(d) Na sua opinião, qual desses processos representaria uma melhor aproximação para o 
comportamento do PIB do país? E para o comportamento da taxa de juros real? Em cada caso, 
seria mais razoável considerar 0=m ou 0>m ? 
 
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 13
 
20. Um economista analisa uma série temporal macroeconômica com freqüência mensal, abrangendo o 
período de janeiro de 1970 a dezembro de 2004. Abaixo, o gráfico do logaritmo da série e uma tabela 
com suas FAC e FACP: 
 
 
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
30 40 50 60 70 80 90 00
 
Defasagem FAC FACP 
1 0.997 0.997 
2 0.994 -0.129 
3 0.990 -0.070 
4 0.986 -0.016 
5 0.981 0.017 
6 0.977 0.011 
7 0.973 -0.015 
8 0.969 0.007 
9 0.965 -0.023 
10 0.961 -0.021 
 
 
 
a) Que propriedade importante o processo gerador dessa série parece não possuir, e qual a sua relevância 
para a estimação de um modelo da classe ARMA? Justifique sua resposta através do gráfico da série e da 
tabela que o acompanha. 
 
O economista calculou a primeira diferença da série mostrada no item anterior e, para essa série de 
diferenças, obteve as seguintes FAC e FACP: 
 
Defasagem FAC FACP 
1 0.480 0.480 
2 0.209 -0.028 
3 0.077 -0.017 
4 -0.008 -0.044 
5 -0.032 -0.008 
6 -0.039 -0.015 
7 -0.042 -0.018 
8 -0.002 0.036 
9 0.000 -0.013 
10 0.013 0.016 
 
b) Lembrando que a distribuição assintótica das autocorrelações amostrais (FAC e FACP) pode ser 
aproximada por uma distribuição normal com variância 1/T, onde T é o número de observações 
amostrais, calcule o intervalo de confiança de 95% para a FAC e FACP. Até que defasagem a 
FAC é estatisticamente significativa? E a FACP? 
 
c) Com base nos itens anteriores, sugira um modelo ARIMA(p,d,q) para a série macroeconômica original, 
especificando os valores dos hiperparâmetros e, se possível, fornecendo uma estimativa do(s) 
parâmetro(s) da equação. 
 
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 14
 
21. Suponha que o PIB brasileiro trimestral (com ajuste sazonal) seja representado pelo seguinte 
processo estocástico: 
)()( I
t
P
tt yyy += , (Equação 1) 
onde Pty é o componente permanente (tendência) ou “PIB potencial” e 
I
ty é o componente irregular 
out “hiato do produto”. Suponha ainda que: 
,
,
11
)(
22
)(
110
)(
)(
tt
I
t
I
t
I
t
P
t
yyy
btay
hhqfff +-++=
+=
---
 (Equação 2) 
onde a, b, f0, f1, f2 e q1 são parâmetros desconhecidos, ut e th são dois ruídos-branco com média 
nula e variâncias 2us e 
2
hs , respectivamente e ( ) tht ,,0E tut "= . Suponha ainda que q1 tenha 
exatamente o mesmo valor do inverso de uma das raízes do polinômio auto-regressivo F(L) = (1 - 
f1L - f2L2). Somente a série yt é observada. Você é um economista recém contratado do Banco 
Central e a sua primeira tarefa é modelar o PIB trimestral do Brasil. Suponha que você tenha uma 
amostra de 40 observações. 
 
(a) (0,5 ponto) Explique como você obteria uma estimativa do PIB potencial e do hiato do 
produto. 
 
Um estagiário seu estimou o PIB potencial e encontrou as seguintes FAC e FACP para o hiato: 
FAC 
 
FACP 
 
 
 
(b) (0,5 ponto) A FAC e a FACP estimadas pelo estagiário estão de acordo com o esperado? 
Justifique cuidadosamente. 
(c) (0,75 ponto) A partir do resultado do item (c) o seu estagiário resolveu estimar o seguinte 
modelo MA(1) para o hiato e obteve os resultados abaixo: 
 
Modelo Estimado 
 
 
Variável Coeficiente 
Erro 
padrão 
Estatística 
t p-valor 
 
 Constante 2.598385 0.140002 18.55959 0.0000 
MA(1) 0.667790 0.124203 5.376606 0.0000 
 
 R2 0.450413 
R2 ajustado 0.435950 
 
 
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 15
 
A FAC, FACP e a estatística Q de Ljung-Box para várias defasagens dos resíduos estão 
apresentadas a seguir. 
 
FAC 
 
Estatística Q de Ljung-Box 
 
 
 
 
 
 Defasagem Q-
Stat P-valor 
 
 1 3,7683 
2 17,172 0.000 
3 20,661 0.000 
4 24,881 0.000 
5 29,067 0.000 
6 31,517 0.000 
7 32,498 0.000 
8 32,570 0.000 
9 32,572 0.000 
10 33,063 0.000 
FACP 
 
Interpretando todas as estatísticas fornecidas, você acredita que o modelo estimado pelo 
estagiário está adequado aos dados? Justifique cuidadosamente. 
 
 
22. A figura abaixo apresenta a evolução mensal do número de cheques sem fundo para cada 1.000 
compensados no Brasil, entre 1995 e 2005. 
0
4
8
12
16
20
24
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
CSF
 
Nas aulas e listas, discutimos as características de vários processos estocásticos. Escreva as equações de dois 
processos estocásticos que, na sua opinião, poderiam gerar séries temporais semelhantes à série de cheques 
sem fundo acima – e, portanto, ser utilizados como aproximações do “verdadeiro” processo gerador da série 
de interesse. Apresente todos os detalhes possíveis, explicitando possíveis valores (ou intervalos de valores) 
para os coeficientes dos processos estocásticos selecionados. Justifique adequadamente a opção por esses 
processos vis-à-vis processos alternativos, bem como a escolha dos valores atribuídos aos coeficientes de 
cada processo. 
 
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 16
23. Nos últimos anos, economistas de vários países latino-americanos têm manifestado preocupação com 
uma possível “sobrevalorização” de suas respectivas moedas – isto é, de uma situação caracterizada 
por um valor da moeda nacional, em relação às moedas estrangeiras, acima do que os “fundamentos 
econômicos” justificariam. A fim de verificar a ocorrência desse fenômeno para El Salvador, um 
economista decide decompor o logaritmo da taxa de câmbio efetiva real (LTCER) do país em um 
componente “permanente”, associado à tendência de longo prazo da variável – e, portanto, aos 
“fundamentos econômicos” – e um componente “transitório”, ou “cíclico”. Ele decide usar dois 
métodos para calcular o componente “tendencial” de LTCER: (i) regressão em uma tendência linear; 
(ii) filtro Hodrick-Prescott. 
 
(a) Independentemente das características específicas da série temporal sob análise, você diria que, para esse 
tipo de aplicação, um dos métodos parece mais apropriado do que o outro? Justifique. 
 
A figura abaixo mostra o gráfico da série LTCER e de seu componente “tendencial” estimado pela regressão 
na tendência linear. Note que aumentos de LTCER equivalem a desvalorizações da moeda nacional, de modo 
que, de acordo com o resultado obtido, em 2005 a moeda de El Salvador estava, na verdade, fortemente 
subvalorizada (pois a taxa de câmbio efetiva real se encontrava acima de seu valor tendencial), ao contrário 
da expectativa inicial que motivou a análise. 
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
LTCER
COMPONENTE TENDENCIAL (REGRESSÃO EM t)
 
 
(b) Ao usar o filtro HP (com o parâmetro l “padrão” sugerido por Hodrick e Prescott)para estimar o 
componente tendencial de LTCER, o economista também encontra uma situação de subvalorização. 
Entretanto, o grau de subvalorização (isto é, a magnitude do desvio entre LTCER e seu componente 
tendencial) é diferente. Esboce no gráfico, à mão, uma possível estimativa do componente tendencial obtido 
pelo filtro HP. Você acredita que, de acordo com essa estimativa, o grau de subvalorização deve ser maior ou 
menor do que no caso anterior? 
 
(c) Se o economista usasse, no cálculo do filtro HP, um valor mais baixo para o parâmetro l, você acredita 
que o grau de subvalorização encontrado seria maior ou menor do que nos casos anteriores? 
 
 
24. Como você dessazonalizaria a série de produção física industrial mensal? Explique 
detalhadamente. 
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 17
 
25. O economista Pedro deseja realizar previsões da taxa de inadimplência nos empréstimos a pessoa física 
para outubro e novembro/2009. A partir de 400 observações mensais da taxa de inadimplência (y), ele 
estima o seguinte modelo AR(1): 
 
ttt uyy ˆ8.02 1 ++= - , 36.0)ˆvar( =tu 
 
A tabela abaixo apresenta as últimas informações disponíveis da taxa de inadmplência (y) e do resíduo da 
regressão acima ( tuˆ ): 
Período 
ty tuˆ 
Julho/09 8.6 0.2 
Agosto/09 8.4 -0.48 
Setembro/09 8 -0.72 
 
a) (0,75 ponto) Calcule as previsões para outubro e novembro/2009, com seus respectivos intervalos de 
confiança a 95%. Explicite quaisquer hipóteses necessárias para realizar tal tarefa. 
 
b) (0,75 ponto) Qual seria uma previsão razoável, com seu respectivo intervalo de confiança, para a taxa de 
inadimplência em dezembro de 2011? 
 
A economista Paula decide investigar se o modelo AR(1) proposto por Pedro é realmente adequado para 
representar a dinâmica da taxa de inadimplência. Para tanto, ela calcula a FAC e FACP amostrais para a taxa 
de inadimplência a partir das 400 observações disponíveis, obtendo os seguintes resultados para as primeiras 
12 defasagens: 
 
Defasagem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
FAC 0.8792 0.6578 0.4592 0.2837 0.16 0.08 0.02 -0.007 -0.003 -0.006 -0.039 -0.069 
FACP 0.8792 -0.507 0.32 -0.25 0.1628 -0.1 0.0502 0.002 0.042 -0.08 -0.048 0.075 
 
 
c) (1 ponto) Com base na análise da FAC e FACP acima, indique, dentre os processos abaixo, aquele que 
parece mais adequado para representar a série em questão: 
(a) ttt uyy ++= -18.02 
(b) tttt uyyy +++= -- 21 1.07.02 
(c) 11 8.08.02 -- +++= tttt uuyy 
(d) 11 8.08.02 -- -++= tttt uuyy 
(e) ttt uyy += -1 
(f) 18.02 -++= ttt uuy 
 
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 18
d) (0,5 ponto) Após selecionar um dos processos acima, Paula estima o modelo correspondente. A FAC, 
FACP e a estatística Q de Ljung-Box para várias defasagens dos resíduos do modelo estimado estão 
apresentadas abaixo. Você diria que o modelo estimado por Paula parece adequado? 
 
 DEF FAC FACP Q-stat. [p-valor] 
 
 1 0.0721 0.0721 1.0455 [0.307] 
 2 0.0070 0.0018 1.0553 [0.590] 
 3 0.0066 0.0060 1.0641 [0.786] 
 4 -0.0236 -0.0247 1.1782 [0.882] 
 5 -0.0851 -0.0835 5.0685 [0.408] 
 6 -0.0266 -0.0074 5.2141 [0.517] 
 7 -0.0482 -0.0455 5.6967 [0.576] 
 8 -0.0791 -0.0729 6.9994 [0.537] 
 9 0.0139 0.0196 7.0401 [0.633] 
 10 0.0935 0.0854 9.2948 [0.504] 
 11 -0.0033 -0.0218 9.2972 [0.594] 
 12 -0.0819 -0.0903 11.5067 [0.486] 
 
 
e) (0,75 ponto) Vimos acima que Pedro e Paula propõem aproximar o processo gerador da série de 
inadimplência a partir de dois processos estocásticos distintos. Suponha que o VERDADEIRO processo 
econômico gerador da taxa de inadimplência seja descrito pelo sistema de equações abaixo: 
 
I. 1200 -++= ttt DJy bbb 
II. tt JD 10 gg += 
III. ttt eJJ += -11d 10 1 << d 
 
Onde y é a taxa de inadimplência, J é o desvio da taxa de juros real sobre os empréstimos em relação a 
seu nível de equilíbrio e D é a taxa de desemprego, e todos os parâmetros do modelo são positivos. 
Mostre que a trajetória da taxa de inadimplência segue um processo ARMA(p,q), definindo 
adequadamente o erro do modelo ARMA e especificando a relação entre os coeficientes desse modelo e 
os parâmetros do “verdadeiro” modelo econômico acima. [Dica: a forma mais fácil de resolver essa 
questão é usando o operador de defasagem L de forma “esperta”.] 
 
 
26. O gráfico abaixo apresenta a evolução da série trimestral de gastos reais do setor público brasileiro, 
dessazonalizada e em logaritmo, G, para o período 1995-2008. 
 
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08
G
 
 
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A economista Paula deseja estimar um modelo para captar a evolução dessa série. Ele está em dúvida entre 
qual dos seguintes modelos utilizar: 
 
 ),0(~ , ),0(~ 0, 0, , 10
 onde G (IV)
G (III)
G (II)
G (I)
22
1
1
1
etut
ttttt
tt
ttt
ttt
iideiidu
eXXXt
ut
uG
uG
ssamf
fam
am
m
fm
³³<<
+=++=
++=
++=
++=
-
-
-
 
 
a) (0,5 ponto) Quais dos processos acima são estacionários (de 2ª.ordem) e quais não-estacionários? 
 
b) (1,25 ponto) Quais são as diferenças fundamentais entre os processos acima? Ou seja, quais são as 
diferenças entre as séries temporais “típicas” geradas por cada um desses processos? Qual (ou quais) 
dos processos acima parece(m) constituir uma boa aproximação para o processo gerador da série de 
interesse, G? Justifique cuidadosamente. 
 
c) (0,5 ponto) Com base em sua resposta ao item anterior, qual seria um processo adequado para 
representar o processo gerador da taxa de crescimento dos gastos (DG)? 
 
d) (0,5 ponto) O economista Pedro afirma: “Olhando para o período completo (1995-2008), realmente 
fica-se em dúvida sobre o melhor modelo para representar a evolução de G. Mas se analisarmos 
apenas o período 2000-2008, não há dúvida sobre qual é o melhor modelo”. Concorda? Discorda? 
Por quê? 
 
e) (0,5 ponto) A fim de verificar a validade da afirmação de Pedro, Paula estima regressões de G em 
uma constante e em uma tendência determinística linear para o período completo e para o subperíodo 
2000-2008, obtendo as seguintes séries de resíduos: 
-.16
-.12
-.08
-.04
.00
.04
.08
.12
.16
.20
1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008
RES_1995_2008 RES_2000_2008
 
 
onde RES_1995_2008 é a série de resíduos para o período completo e RES_2000_2008 é a série de 
resíduos para o subperíodo 2000-2008. Esse gráfico realmente parece corroborar a afirmação de Pedro? 
Ou não? 
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