ListaTeorica 2 2009.2 GABARITO

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1 
 
 
Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia – 2009.2 
 
 
Lista Teórica 2 - GABARITO 
 
 
 
1. Considere a seguinte versão modificada do modelo de Samuelson (Review of Economics and 
Statistics, maio de 1939) de interação entre o “multiplicador keynesiano” e o “princípio do 
acelerador”: 
( )1
1
-
-
-=
+=
++=
ttt
ttt
ttt
cci
yc
gicy
b
ea 
onde y, c, i, g e e são, respectivamente, a renda nacional, o consumo, o investimento, os gastos 
do governo e um distúrbio i.i.d. com média zero; a e b são parâmetros positivos que 
representam o multiplicador e o acelerador, respectivamente. Note que os gastos do governo 
são constantes no tempo. 
a) Mostre que a trajetória da renda pode ser descrita por um modelo ARMA(2,1). Você deve 
definir adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes 
desse modelo e os parâmetros do modelo estrutural. 
b) Que restrições os coeficientes a e b devem satisfazer para que o processo que descreve a 
trajetória da renda seja estacionário? Desenhe a região de estacionariedade em um gráfico 
tendo a no eixo vertical e b no horizontal. 
c) Suponha a = b = 0,5 e g = 100. O processo é estacionário? Caso positivo, em torno de qual 
valor a renda deve flutuar? 
RESPOSTA: 
 
(a) Primeiro, escreva o investimento em função da renda, inserindo a segunda equação na terceira 
[no lugar de ct e c(t-1)]. Você deve obter uma equação onde o investimento depende da renda 
defasada de 1 e 2 períodos, e do distúrbio contemporâneo e defasado de 1 período. Segundo, insira 
essa expressão obtida para o investimento na primeira equação, no lugar de it. Terceiro, insira a 
segunda equação na primeira, no lugar de ct. Coletando termos, você deverá obter um ARMA(2,1): 
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 2 
)1(
)1(
)1(
:
2
1
12111
b
b
q
eb
abf
baf
qff
+
-=
+=
-=
+=
++++= ---
tt
ttttt
u
onde
uuyygy
 
 
(b) Sabemos que para um ARMA(p,q), a estacionariedade é garantida pela condição de que todas as 
raízes da equação característica do processo sejam maiores do que 1 em módulo – veja a resposta á 
questão 4 para maiores detalhes. Quando o processo possui apenas os primeiros 2 termos 
autoregressivos – como em um AR(2) ou no ARMA(2,1) obtido acima -, pode-se mostrar que essa 
condição é equivalente às seguintes restrições sobre os coeficientes dos termos autoregressivos: 
 
1
1
1
2
12
21
->
<-
<+
f
ff
ff
 
 
Aplicando essas restrições ao nosso caso, vemos que os parâmetros alfa e beta devem satisfazer: 
 
1
1
<
<
ab
a
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
beta
al
fa
alfa=1
(alfa)(beta)=1
REGIÃO DE 
ESTACIONARIEDADE
 
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 3 
 
(c) Sim, o processo é estacionário, pois as condições acima são satisfeitas. O processo ARMA(2,1) 
é, nesse caso: 
200
5,0
100
*
:y* para resolvendo
***25,0*75,0100*
:statesteady em
25,075,0100 121
==
++-+=
-
++-+= ---
y
uuyyy
uuyyy ttttt
q
q
 
 
2. Considere o processo estocástico definido por 
11),,0NID(~, 0
2
110 <<-++= - fseeff tttt YY 
Prove que o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de segunda ordem. 
RESPOSTA: 
 
Um processo é fracamente estacionário, ou estacionário de segunda ordem, se sua média, variância e 
autocovariâncias não dependem do tempo (isto é, não variam com o índice t). Logo, devemos ter, para todo t 
e s: 
 
[ ]
[ ] sstt
Yt
t
YYE
YE
YE
gmm
sm
m
=--
=-
=
- ))((
)(
)(
22 
onde sY gsm ,,
2
 são constantes. 
 
O processo AR(1) pode ser escrito como: 
 
åå
-
=
-
-
=
---
--
-
++=
++++++=
++++=
++=
1
0
101
1
0
10
112310
2
110
121010
110
 
: 
)()1( 
)( 
t
s
st
st
t
s
s
tttt
ttt
ttt
uY
uuuY
uuY
uYY
ffff
ffffff
ffff
ff
 
 
Logo: 
¥®+
-
®+= å
-
=
tYYE t
t
s
s
t quando 01
)(
1
0
01
1
0
10 f
f
fff 
 
)1(
)()( 2
1
21
0
2
1
2
1
0
2
10 f
s
fsfg
-
®=== åå
-
=
-
=
-
t
s
s
t
s
st
s
t uVarYVar 
 
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 4 
( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )
01
11
11
11
11
ˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆ,
gfg
gf
f
f
f
g
k
k
k
ktt
kttktt
kttt
kttkttk
YYE
YuEYYE
YuYE
YYEYYCov
=\
=
=
+=
+=
==
-
--
---
--
--
 
 
Logo, como nenhum dos momentos acima depende de t, o processo é estacionário. 
 
 
3. Considere o processo estocástico definido por 
),0NID(~, 2332211 seeeqeqeqeqm ttqtqttttY ++++++= ---- L 
Prove que para quaisquer valores de q1,..., qq, o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de 
segunda ordem. 
 
RESPOSTA: 
 
Temos que mostrar que a média, variância e autocovariâncias do processo não dependem de t. Isso foi feito 
em sala de aula para processos MA(1) e MA(2), lembram?? Abaixo mostro apenas os principais passos para 
o caso geral de um MA(q), pois o método é o mesmo que vimos em aula: 
î
í
ì
>
£++++
=
++++++=
--=
+++=
+++=
=
+++=
++++=
-++
-------
--
--
--
qh
qh
E
YYEYYCov
VarVarVarYVar
EEEYE
hqqhhh
htqhtqhttqtqt
htthtt
q
tqtqtt
tqtqtt
0
)...(
 
)])([( 
)])([(),(
)1( 
)()()()(
 
0...0 
)()()()(
2
2211
1111
222
1
2
1
2
1
11
sqqqqqqq
eeqeqeeqeq
mm
sqq
eeqeq
m
m
eeqeqm
LL
L
L
L
 
Logo, como nenhum dos momentos acima depende de t, o processo é estacionário. 
 
 
4. Verifique a estacionariedade dos processos ARIMA abaixo: 
 
a) tttt uyyy +-= -- 21 1.07.0 
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 5 
b) tttt uyyy +-= -- 21 5.0 
c) 11 8.05.02 -- +++= tttt uuyy 
d) tt uByBB )5.01()1.09.01(
2 -=-- 
e) ttt uyy ++= -110 
 
RESPOSTA: 
 
Podemos escrever um modelo ARMA(p,q) na forma: 
tt uBYB )()( qf = 
onde B é o operador de defasagem (que também costumamos denotar por L) e 
 
q
q
p
p
BBBBB
BBBBB
qqqqq
fffff
-----=
-----=
...1)(
...1)(
3
3
2
21
3
3
2
21
 
A equação característica de um processo ARMA(p,q) é definida por 
0...1)( 33
2
21 =-----=
p
p BBBBB fffff 
Essa equação tem necessariamente p raízes, possivelmente complexas. O processo é estacionário 
se todas as raízes têm módulo maior que um. Note que o polinômio associado à parte “média 
móvel” do processo não é relevante no que tange a estacionariedade. Aplicando esse resultado aos 
casos acima: 
(a) A equação característica é: 01.07.01 2 =+- BB , cujas raízes são 5 e 2, ambas > 1 
=> estacionário. 
(b) raízes (complexas) = 1+i, 1-i, onde i denota a parte imaginária. Essas raízes têm 
módulo maior do que 1, indicando um processo estacionário (veja também a 
questão 5). 
(c) Processo estacionário, pois a raiz da equação característica é maior que 1 – visto 
de outra forma, o coeficiente do termo autoregressivo é menor do que 1. 
(d) raízes = -10 e 1. Como uma raiz é unitária, o processo não é estacionário. 
(e) Processo não-estacionário, pois a raiz da equação característica é 1 (“processo 
com raiz unitária”) – visto de outra forma, o coeficiente do termo autoregressivo 
é 1. 
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 6 
 
5. Considere o seguinte processo estocástico: 
 
Yt = 0,8 Yt-1 – 0,2 Yt-2 + ut – 1,5 ut-1 + 0,5 ut-2 ut ~ ruído branco 
 
 
Todo número complexo x = a + bi, onde 1-=i , pode ser 
representado por um vetor num plano cartesiano; sua 
coordenada horizontal é a parte real do número (a), enquanto 
que a coordenada vertical é sua parte imaginária (b). Dessa 
forma, localize no plano ao lado, em que os quadrados 
pontilhados têm lado unitário, a(s) raíz(es) do polinômio f(B) 
do processo Yt, calculando também o módulo 
(“comprimento”) dela(s). O que a localização dessa(s) raíz(es) 
no plano indica sobre o processo Yt? 
 
 
 
 
RESPOSTA: 
 
As raízes da equação característica são: 2+i e 2-i, que no gráfico estariam ambas fora do círculo 
unitário desenhado.Isso indica que o processo é estacionário. 
 
6. Mostre que a soma de dois processos estocásticos estacionários independentes também é um 
processo estacionário. 
 
RESPOSTA: 
 
Trivial! Mas não se preocupem com a prova do resultado, e sim com o resultado em si. 
 
7. Considere o processo estocástico: 
 
 
î
í
ì
>
=
=
- 1
1
1 tz
t
z
t
t
w
 
 
onde w é uma variável aleatória qualquer. O processo é estacionário? É ergódico (isto é, 
“assintoticamente independente”)? 
 
RESPOSTA: 
 
Suponha que w possua média e variância finitas dadas por m e s, respectivamente. Logo, O 
processo é estacionário, pois, para qualquer t e s, E(zt) = m, Var (zt) = s, Cov(zt,zs) = s. Entretanto, 
o processo não é “assintoticamente independente”, pois independentemente da distência entre t e s, 
Cov(zt,zs) = s (ou seja, não tende para zero). 
Re 
Im 
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 7 
8 - Calcule a função de autocorrelação dos processos abaixo. Mostre os 5 primeiros valores da FAC num 
gráfico. 
(a) ttt uyy += -15.0 
(b) 21 3.02.0 -- --= tttt uuuy 
 
RESPOSTA 
 
(a) A covariância entre duas observações defasadas é: 
 
( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )
0
1
1
1
1
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
,
gg
g
g
k
k
k
ktt
kttktt
kttt
kttkttk
YYE
YuEYYE
YuYE
YYEYYCov
=\
=
=
+=
+=
==
-
--
---
--
--
 
 
Logo, a FAC do AR(1) é dada por: 
 
kk
k 5.0
0
==
g
gr
 para k=1,2,... 
 
(b) A variância do processo é (supondo que u seja iid): 
 
22
2
2
1
2
0 13.1)09.004.01()(3.0)(2.0)( uuttt uVaruVaruVar ssg =++=++= -- 
 
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 8 
A covariância entre duas observações defasadas é: 
( )
( )( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )22222
21211
2
121
22
2
22212
11
2
121
2121
,3.0,06.0
,3.0,06.0,2.0
,2.0,3.0,2.0,
]3.0)3.0)(2.0(3.0)3.0)(2.0(
2.02.03.02.0[
3.02.03.02.0
,
------
--------
-------
-----------
----------
-------
-
++
-++
---=
++-+
+---=
----=
=
kttktt
kttkttktt
kttkttkttktt
kttkttkttktt
kttkttkttkttktt
ktktktttt
kttk
uuCovuuCov
uuCovuuCovuuCov
uuCovuuCovuuCovuuCov
uuuuuuuu
uuuuuuuuuuE
uuuuuuE
YYCovg
 
 
Supondo que u seja iid, as covariâncias entre ui e uj são todas nulas, exceto quando i=j. Logo, a FAC do 
processo é: 
 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
>=
=-=-
=-=+-
==
20
13.1
0
2265.0
13.1
)3.0(
1124.0
13.1
)06.02.0(
2
2
2
2
2
0
k
k
k
u
u
u
u
u
k
k
s
s
s
s
s
g
gr
 
 
 
9 - Considere o seguinte processo estocástico: 
 
21 )3,0()1,0( -- --= tttt uuuY (*) 
ut ~ N(0, 1) 
 
(a) Que formato você esperaria para a FAC e FACP de uma realização do processo? 
 
(b) O economista A observa uma realização do processo, sem saber que o verdadeiro processo gerador dos 
dados é (*). Ele deseja identificar o processo através da análise da FAC e FACP amostral. Mas o 
economista B, que conhece o processo gerador (*), afirma: “Dificilmente o economista A conseguirá 
identificar corretamente o processo, a menos que disponha de número muito grande de observações”. 
Comente essa afirmação. 
 
 
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 9 
RESPOSTA: 
 
a) FAC: Diferente de zero para as primeiras duas defasagens; igual a zero da terceira em 
diante. FACP: decaimento exponencial. 
b) O problema é que, como os valores dos coeficientes do processo são relativamente 
baixos, os valores das autocorrelações amostrais tendem a parecer estatisticamente 
insignificantes. Note que a primeira autocorrelação do processo é –0.07 (verifique isso 
através de conta análoga á da questão anterior), valor que só estará fora do intervalo 
de confiança de T/2± (onde T é o tamanho da amostra) para T maior do que 816. 
 
 
 
Questão 10 - A FACP teórica de um processo ARIMA decai exponencialmente, enquanto que sua FAC 
teórica tem o seguinte gráfico, onde r(?k) = 0 para k > 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escreva a equação completa do processo, com o valor teórico dos parâmetros e verifique se ele é 
estacionário. Suponha que Var(ut) = 2 e a Var(Yt) = 12. [Dica: Primeiro escreva a equação do processo em 
função de parâmetros desconhecidos; em seguida, calcule o valor desses parâmetros a partir da função de 
autocorrelação do processo e das informações acima.] 
 
RESPOSTA: 
 
Pelas informações do enunciado, podemos concluir que se trata de um MA(2), que é trivialmente estacionário: 
 
2211 -- --= tttt uuuY qq 
 
Sabemos que, para um MA(2), a FAC é (veja cálculo na questão 6): 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
>
=-
=+-
==
20
2)(
1)(
0
2
2
0
2
211
0
k
k
k
u
u
k
k g
sq
g
sqqq
g
gr
 
 
Defasagem 1 
2 
1/3 
-1/2 
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 10 
Como sabemos que 12)(0 == tyVarg , 2)(
2 == tu uVars , 2/11 -=r e 3/12 =r , podemos facilmente 
resolver para 1q e 2q : 
 
2
3
6
2 -=÷
ø
ö
ç
è
æ-=q 
11 =q 
 
 
Questão 11 - Um processo da classe ARIMA apresenta os seguintes formatos para a FAC e FACP: 
F A C
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 13 14 1 5
Defasagem
 
F A C P
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
Defasagem
 
Você observa uma realização do processo até o período T e deseja prever os valores que serão observados 
em T+1 e T+2. Além da FAC e FACP acima, você dispõe das seguintes informações: (i) a média do processo 
é 10; (ii) o valor de Y em T é 12; (iii) as inovações u t têm distribuição N(0,1). 
(a) Calcule as previsões para T+1 e T+2. 
(b) Calcule a variância do erro de previsão para as previsões acima. 
(c) O intervalo de confiança para suas previsões é maior em T+1 ou T+2? Comente. 
(d) Qual é o valor previsto para T+100? 
 
RESPOSTA: 
a) Pela FAC e FACP, e dado que a média é 10, o processo é um AR(1): ttt uYY ++= -16.04 . [Note 
que, sabendo que a média do processo é 10, podemos calcular o intercepto da seguinte forma: 
 
 
 
Então, 2,11
~
1 =+=+ TT YcY f e 72,10)1(
~~ 2
12 =++=+= ++ TTT YcYcY fff . 
 
b) A variância do erro de previsão é dada pela fómula: 
 2)1(242 )...1()( sfff -+ ++++=
s
sTeVar . Como 
2s = 1, =+ )( 1TeVar 1 e =+ )( 1TeVar 1,36. 
c) O intervalo de confiança é maior em T+2. Naturalmente, quanto mais períodos a frente for a 
previsão, maior será o intervalo de confiança pois seu erro de previsão passa a depender de 
número maior de “choques” (u) imprevisíveis. 
d) Como lim
¥®i
iTY +
~ f-= 1/c , a média do processo, podemos afirmar que 10~ 100 »+TY . 
 
 
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 11 
 
 
 
 
 
 
(a) Com base nos gráficos acima, que tipo de modelo ARIMA parece constituir uma boa aproximação para a 
série em questão? 
 
(b) Quais informações adicionais você gostaria de obter a fim de certificar-se de que o modelo escolhido no 
item anterior é realmente adequado? 
 
(c) Supondo que você disponha de informações até maio de 2009, explique como você obteria previsões para 
junho e julho de 2009, e para junho de 2012. 
 
(d) Um colega sugere estimar um modelo para a inflação em função da taxa de câmbio e da taxa de juros, 
pois acredita que tais variáveis possam aumentar a capacidade preditiva do modelo, relativamente a um 
modelo univariado da classe ARIMA. Como você compararia as previsões dos dois modelos, a fim de 
escolher aquele com melhor capacidade preditiva? 
 
RESPOSTA: 
a) Pelo decaimento gradual da FAC e a queda brusca da FACP após duas defasagens, uma boa 
aproximação seria um AR(2). 
b) Gostaríamos de nos certificar que o AR(2) estimado apresenta os menores critérios de 
informação (AIC, SBC), do que outros modelos compatíveis com a FAC e a FACP amostrais. 
Precisamos também nos certificar de que não resta nenhuma autocorrelação nos resíduos do 
AR(2) (com o teste Ljung-Box, p. ex.). 
c) Se a série temporal segue de fato um AR(2), i.e., tttt uYYcY +++= -- 2211 ff , então, para junhode 2009 temos, 1211 ˆˆˆ
~
-+ ++= TTT YYcY ff , e para julho de 2009 temos, TTT YYcY 2112 ˆ
~ˆˆ~ ff ++= ++ . 
Para junho de 2012, temos )1/(~ˆ~ˆˆ~ 2135236137 ffff --»++= +++ cYYcY TTT , se o processo é 
estacionário. 
d) Estimaria ambos os modelos até alguma data como dezembro de 2007, e usaria os modelos 
estimados para prever a variável de interesse no período jan/2008-maio/2009. Compararia, 
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 12 
então, a capacidade preditiva dos dois modelos. Terá melhor capacidade preditiva o modelo que 
apresentar menor erro percentual absoluto médio e/ou menor raiz do erro quadrático médio: 
 
 
Onde ttt YYe
~-= , é o erro de previsão. 
Note que, para fazer uma comparação “justa”, ao fazermos as previsões com o modelo que inclui o 
câmbio e os juros não poderíamos usar os valores efetivamente observados dessas variáveis no 
período 2008-2009. Ou seja, teríamos que ter modelos de previsão também para o câmbio e os 
juros, para usar os valores previstos dessas variáveis no modelo da inflação. 
 
13 - Considere o seguinte modelo macroeconômico: 
 
pplp t
E
ttt uy ++= (1) 
y
t
E
ttt uiy +-= - )( 1 pg (2) 
1-= t
E
t pp (3) 
)( ppr -+= tt ii (4) 
onde: 
0 ,01 ,10
0 média com i.i.d. choques"" ,
)(constante inflação de meta 
)(constante "equilíbrio de" nominal juros de taxa
 tperíodo no nominal juros de taxa
1)-(tanterior período o até informação em base com t,em inflação da aexpectativ 
 tperíodo no produto do hiato 
 tperíodo no inflação 
³<<-<<
=
=
=
=
=
=
=
rgl
p
p
p
p y
tt
t
E
t
t
t
uu
i
i
y
 
 
A equação (1) é uma “curva de Phillips” que relaciona a inflação corrente ao hiato do produto e à expectativa 
passada da inflação, além de um “choque de oferta”. A equação (2) é uma relação do tipo IS, na qual o hiato 
do produto depende da taxa de juros real no período anterior e de um “choque de demanda”. A equação (3) é 
a regra de formação de expectativas, segundo a qual a inflação esperada para o período t é simplesmente a 
inflação observada no período t-1. Finalmente, a equação (4) é a regra de política monetária do Banco 
Central, que determina a taxa de juros nominal em função do desvio entre a inflação corrente e a meta de 
inflação. 
 
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 13 
(a) Mostre que a trajetória da inflação pode ser descrita por um processo ARMA(p,q). Você deve definir 
adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes desse modelo e 
os parâmetros do modelo estrutural acima. 
 
(b) Considere três possíveis valores para o coeficiente r na regra de política monetária do Banco 
Central: 0, 1 e 2. Em cada caso, diga se a inflação segue um processo estacionário ou não-
estacionário (de segunda ordem), justificando sua resposta adequadamente. O que você pode inferir, 
a partir desses resultados, acerca da condução adequada da política monetária nessa economia? 
 
 
RESPOSTA: 
(a) Substituindo (2), (3) e (4) em (1), obtém-se: 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ( )
tt
t
y
tt
tt
y
ttt
tt
y
ttt
t
E
t
y
t
E
tt
t
E
ttt
u
uui
uui
uui
uui
uy
++=
++-++-=
+++--+=
+++-=
+++-=
++=
-
-
---
---
-
110
1
111
111
1
 
)1(1)( 
))(( 
)( 
)( 
pff
lprlgprlg
pppprgl
ppgl
ppgl
plp
p
p
p
p
p
 
 
ARMA(1,0) 
 
(b) Para que o processo seja estacionário, o coeficiente auto-regressivo deve ser menor do que 1 (em 
módulo), o que só ocorrerá se r for igual a 2. Isso indica que, a fim de estabilizar a inflação, a 
política monetária deve ser relativamente “agressiva”, respondendo fortemente a desvios em relação 
à meta de inflação. 
 
14 - Considere os seguintes processos estocásticos: 
 
),0(~ e ),0(~ 
0, 0, , 10 onde (II)
 (I)
22
1
1
x
x
ty
y
t
xy
x
ttxt
y
ttyt
NuNu
uXX
uYY
ss
mmffm
m
³³<<++=
++=
-
-
 
 
(a) Por que se diz que o processo Y é um “processo com raiz unitária”? 
 
(b) Mostre de que forma os valores de Xt e Yt dependem de todos os respectivos choques aleatórios 
(u´s) ocorridos no passado. 
 
(c) O que os resultados do item (b) implicam em termos da persistência ou transitoriedade dos 
efeitos dos choques que afetam Y e X? E em termos das médias e das variâncias de Y e X? 
 
(d) Na sua opinião, qual desses processos representaria uma melhor aproximação para o 
comportamento do PIB do país? E para o comportamento da taxa de juros real? Em cada caso, 
seria mais razoável considerar 0=m ou 0>m ? 
 
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 14 
RESPOSTA: 
(a) Porque a raiz da equação característica do processo é 1. 
(b) Para Y, temos: 
 
(c) O item anterior mostra que, no caso de Y, os choques têm efeitos permanentes (note que o efeito 
sobre Y de um choque ocorrido no “passado remoto” nunca morre), ao passo que, no caso de X, os 
choques têm efeitos transitórios (choques ocorridos muitos períodos atrás têm efeito pequeno sobre 
o valor corrente de X, pois seu “peso” no somatório decresce no tempo – dado que f < 1, ®tf 0 
quando t ¥® ). 
O fato dos choques terem efeitos permanentes sobre Y indica a presença de uma tendência 
estocástica (= raiz unitária). É fácil ver que, para processos com essa característica, a variância 
tende a infinito quando t vai para infinito – pois, para cada unidade de tempo que passa, o processo 
“ganha” um choque adicional que contribui para aumentar (de forma permanente) a variância do 
processo. Mais formalmente: 
 
Além disso, Y apresenta uma tendência determinística de crescimento – ou seja, seu valor esperado 
cresce no tempo (conforme pode-se notar pela presença do termo ytm ). Por sua vez, X possui média 
e variância constantes, dadas por fm -1/x e )1/(
22 fs - , respectivamente. Trata-se de um 
processo estacionário. 
 
(d) O PIB é uma variável claramente não estacionária e, portanto, deve ser mais bem aproximado 
por Y. Além disso, devemos ter m > 0 - pois o PIB apresenta marcada tendência de crescimento no 
tempo. Quanto à taxa de juros real, em termos teóricos parece mais razoável aproximá-la por um 
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 15 
processo estacionário – logo, X parece mais adequado. Uma vez mais, parece mais adequado 
termos m > 0, pois a taxa de juros real média é maior do que zero. 
 
 
 
Questão 15 - Um economista analisa uma série temporal macroeconômica com freqüência mensal, 
abrangendo o período de janeiro de 1970 a dezembro de 2004. Abaixo, o gráfico do logaritmo da série e uma 
tabela com suas FAC e FACP: 
 
 
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
30 40 50 60 70 80 90 00
 
Defasagem FAC FACP 
1 0.997 0.997 
2 0.994 -0.129 
3 0.990 -0.070 
4 0.986 -0.016 
5 0.981 0.017 
6 0.977 0.011 
7 0.973 -0.015 
8 0.969 0.007 
9 0.965 -0.023 
10 0.961 -0.021 
 
 
a) Que propriedade importante o processo gerador dessa série parece não possuir, e qual a sua relevância 
para a estimação de um modelo da classe ARMA? Justifique sua resposta através do gráfico da série e da 
tabela que o acompanha. 
 
O economista calculou a primeira diferença da série mostrada no item anterior e, para essa série de 
diferenças, obteve as seguintes FAC e FACP: 
 
Defasagem FAC FACP 
1 0.480 0.480 
2 0.209 -0.028 
3 0.077 -0.017 
4 -0.008 -0.044 
5 -0.032 -0.008 
6 -0.039 -0.015 
7 -0.042 -0.018 
8 -0.002 0.036 
9 0.000 -0.013 
10 0.013 0.016 
 
b) Lembrando que a distribuição assintótica das autocorrelações amostrais (FAC e FACP) pode ser 
aproximada por uma distribuição normal com variância 1/T, onde T é o número de observações 
amostrais,calcule o intervalo de confiança de 95% para a FAC e FACP. Até que defasagem a FAC é 
estatisticamente significativa? E a FACP? 
 
 
c) Com base nos itens anteriores, sugira um modelo ARIMA(p,d,q) para a série macroeconômicaoriginal, 
especificando os valores dos hiperparâmetros e, se possível, fornecendo uma estimativa do(s) 
parâmetro(s) da equação. 
 
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 16 
RESPOSTA: 
a) O processo parece não possuir a propriedade de estacionariedade. Note o gráfico e a 
FAC/FACP característicos de um passeio aleatório. 
 
b) Lembrando que as autocorrelações amostrais (simples e parciais) são distribuídas assintoticamente 
como: 
( )
)1,0(~ˆ:
1 )21(,0
1 )1,0(
~: 1
1
2
TNFACP
kTrN
kTN
rFAC
kk
k
j j
k
d
ïî
ï
í
ì
>+
=
å -=
 
Um intervalo de confiança de aproximadamente 95% para a autocorrelação de primeira ordem (e para a 
autocorrelação parcial) é dado por T/2± = 0.098; para a autocorrelação de segunda ordem é dado 
por ( )[ ]T48.0*212 +± =0.1366; e vai crescendo para as demais autocorrelações segundo a 
fórmula apresentada no enunciado. Logo, A FAC estimada é significativa até a segunda defasagem e a 
FACP até a primeira. 
 
c) Pode tratar-se de um ARIMA(1,1,0), ou seja, de um modelo AR(1) para a variável em 
diferença. Note que d=1 pois é necessário tirar a primeira diferença da variável para 
torná-la estacionária e p=1 pois, para a variável em diferença, apenas a primeira 
defasagem da FACP é significativa, e a FAC apresenta decaimento gradual. O 
coeficiente do AR(1) para a variável em diferença é próximo de 0.48, conforme 
estimado na FAC. 
 
 
(a) (0,5 ponto) Explique como você obteria uma estimativa do PIB potencial e do hiato do 
produto. 
 
Um estagiário seu estimou o PIB potencial e encontrou as seguintes FAC e FACP para o hiato: 
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 17 
 
 
(b) A FAC e a FACP estimadas pelo estagiário estão de acordo com o esperado? Justifique 
cuidadosamente. 
 
c) A partir do resultado do item (c) o seu estagiário resolveu estimar o seguinte modelo MA(1) para 
o hiato e obteve os resultados abaixo: 
 
 
A FAC, FACP e a estatística Q de Ljung-Box para várias defasagens dos resíduos estão 
apresentadas a seguir. 
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 18 
 
Interpretando todas as estatísticas fornecidas, você acredita que o modelo estimado pelo estagiário 
está adequado aos dados? Justifique cuidadosamente. 
 
Resposta: 
 
a) Dado que o componente irregular é estacionário, podemos estimar por MQO: 
tt btaY e++= , assim tbay
p
t
ˆˆˆ )( += e t
I
ty eˆˆ
)( = . 
b) Sim. Se o polinômio característico auto-regressivo tem alguma raiz em comum com o 
polinômio característico da média móvel, o processo ARMA(2,1) pode ser representado como 
um AR(1). Como a raiz do polinômio da média móvel é 1/1 q , o processo ARMA(2,1) tem 
raízes comuns. 
 
 
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 19 
 
c) Não. A FAC e a FACP mostram que há uma correlação serial nos resíduos do MA(1) estimado, 
enquanto que deveria se esperar que os resíduos não apresentassem nenhuma correlação serial 
se o modelo fosse adequado. Da mesma forma, a estatística Q rejeita a hipótese de que os 
coeficientes de autocorrelação sejam todos zeros para quaisquer defasagens. 
 
17 A figura abaixo apresenta a evolução mensal do número de cheques sem fundo para cada 1.000 
compensados no Brasil, entre 1995 e 2005. 
 
0
4
8
12
16
20
24
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
CSF
 
 
Nas aulas e listas, discutimos as características de vários processos estocásticos. Escreva as equações de dois 
processos estocásticos que, na sua opinião, poderiam gerar séries temporais semelhantes à série de cheques 
sem fundo acima – e, portanto, ser utilizados como aproximações do “verdadeiro” processo gerador da série 
de interesse. Apresente todos os detalhes possíveis, explicitando possíveis valores (ou intervalos de valores) 
para os coeficientes dos processos estocásticos selecionados. Justifique adequadamente a opção por esses 
processos vis -à-vis processos alternativos, bem como a escolha dos valores atribuídos aos coeficientes de 
cada processo. 
 
RESPOSTA: 
A característica mais marcante dessa ST é a tendência de crescimento no tempo. Além disso, a ST 
apresenta também autocorrelação bastante forte em torno da tendência (isto é, se traçarmos uma reta 
retratando uma tendência determinística de crescimento, os desvios da ST em torno dessa tendência 
serão autocorrelacionados). Dois processos que geram STs com tais características são: 
(I) y(t) = a + b t + x(t), onde x(t) = c x(t-1) + u(t), u(t) ~ ruído branco 
(II) y(t) = d + y(t-1) + u(t) , u(t) ~ ruído branco 
[a, b, c, d são parâmetros] 
O processo I é um AR(1) em torno de uma tendência determinística e o processo II é um passeio 
aleatório com deslocamento, que inclui um componente de tendência determinística além de uma 
tendência estocástica. A diferença fundamental entre os processos é que, no primeiro, as ST geradas 
devem reverter à tendência determinística , enquanto no segundo as ST são passeios aleatórios com 
tendência de crescimento – podendo, assim, desviar-se permanentemente da reta associada ao 
componente determinístico de crescimento.. No gráfico acima, a ST parece ficar sempre bastante 
próxima de uma reta com inclinação constante, de modo que o processo I poderia ser uma 
aproximação razoável. Mas o processo II também poderia gerar STs bastante semelhantes à ST em 
questão, desde que a variância de u(t), que determina o tamanho dos choques que afetam a trajetória 
da variável, seja suficientemente pequena relativamente à magnitude do parâmetro d associado ao 
componente determinístico de crescimento. 
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 20 
18. Nos últimos anos, economistas de vários países latino-americanos têm manifestado preocupação com 
uma possível “sobrevalorização” de suas respectivas moedas – isto é, de uma situação caracterizada por um 
valor da moeda nacional, em relação às moedas estrangeiras, acima do que os “fundamentos econômicos” 
justificariam. A fim de verificar a ocorrência desse fenômeno para El Salvador, um economista decide 
decompor o logaritmo da taxa de câmbio efetiva real (LTCER) do país em um componente “permanente”, 
associado à tendência de longo prazo da variável – e, portanto, aos “fundamentos econômicos” – e um 
componente “transitório”, ou “cíclico”. Ele decide usar dois métodos para calcular o componente 
“tendencial” de LTCER: (i) regressão em uma tendência linear; (ii) filtro Hodrick-Prescott. 
 
(a) Independentemente das características específicas da série temporal sob análise, você diria que, para esse 
tipo de aplicação, um dos métodos parece mais apropriado do que o outro? Justifique. 
 
A figura abaixo mostra o gráfico da série LTCER e de seu componente “tendencial” estimado pela regressão 
na tendência linear. Note que aumentos de LTCER equivalem a desvalorizações da moeda nacional, de modo 
que, de acordo com o resultado obtido, em 2005 a moeda de El Salvador estava, na verdade, fortemente 
subvalorizada (pois a taxa de câmbio efetiva real se encontrava acima de seu valor tendencial), ao contrário 
da expectativa inicial que motivou a análise. 
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
LTCER
COMPONENTE TENDENCIAL (REGRESSÃO EM t)
 
 
(b) Ao usar o filtro HP (com o parâmetro l “padrão” sugerido por Hodrick e Prescott) para estimar o 
componente tendencial de LTCER, o economista também encontra uma situação de subvalorização. 
Entretanto, o grau de subvalorização (isto é, a magnitude do desvio entre LTCER e seu componente 
tendencial) é diferente. Esboce no gráfico, à mão, uma possível estimativa do componente tendencial obtido 
pelo filtro HP. Você acredita que, de acordo com essa estimativa, o grau de subvalorização deve ser maior ou 
menor do que no caso anterior? 
 
(c) Se o economista usasse, no cálculo do filtro HP, um valor mais baixopara o parâmetro l, você acredita 
que o grau de subvalorização encontrado seria maior ou menor do que nos casos anteriores? 
 
RESPOSTA: 
(a) Os dois métodos citados (regressão em uma tendência linear e filtro Hodrick-Prescott) visam 
decompor uma ST “y” em um componente tendencial e um componente transitório (ou cíclico). O método da 
regressão em uma tendência linear baseia-se na seguinte equação: 
tt btay e++= , 
de modo que o componente tendencial estimado é dado por tbay pt ˆˆˆ
)( += e o componente cíclico 
por t
I
ty eˆˆ
)( = . A hipótese subjacente é que a variável y apresenta uma tendência de crescimento 
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 21 
aproximadamente constante ao longo da amostra (em cada período, a variação esperada de y é de b 
unidades). 
O filtro HP estima o componente tendencial de y a partir da resolução do seguinte problema de 
minimização: 
( ) ( ) ( )[ ]åå
=
---
=
---+-
T
t
tttt
T
t
tt
m
mmmmmyMin
t 3
2
211
1
2 l 
de modo que o componente tendencial estimado é dado por tm e o componente cíclico por 
tt my - . Note que a escolha da série tm que minimiza a função acima deve ser feita de modo a 
levar em consideração dois objetivos “conflitantes” – a minimização do primeiro termo e do 
segundo termo. Para entender isso, suponha que você quisesse escolher uma série de valores tm 
que minimizasse apenas o primeiro termo: 
( )å
=
-
T
t
tt my
1
2
 
Claramente, a série tm que minimizaria esse termo seria uma série idêntica a ty , de modo que o 
resultado do somatório fosse zero. 
Por outro lado, suponha que você quisesse escolher uma série de valores tm que minimizasse 
apenas o segundo termo: 
( ) ( )[ ]å
=
--- ---
T
t
tttt mmmm
3
2
211 
Claramente, a série tm que minimizaria esse termo seria uma série cuja variação fosse constante no 
tempo, de modo que ( ) ( )211 --- -=- tttt mmmm para todo t e o resultado do somatório fosse 
zero. Que tipo de série apresenta variação constante no tempo? Uma tendência linear! 
Mas, como exposto acima, o filtro HP não busca minimizar apenas o primeiro ou o segundo termo; 
o método baseia-se na escolha de uma série tm que minimize a soma ponderada desses dois 
termos, onde o “peso” do segundo termo é dado pelo parâmetro l. Logo, o componente tendencial 
estimado pelo filtro HP será um “meio termo” entre uma série idêntica a y e uma tendência linear, 
seguindo a evolução de y ao longo da amostra de forma “suave”, sem variações bruscas. Algo como 
a figura a seguir: 
 
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 22 
 
 
Provavelmente, o grau de subvalorização seria menor, conforme gráfico acima. 
 
(c) A escolha do parâmetro l é crucial para o método, pois determina o “peso” dado ao objetivo de 
minimizar o segundo termo da função acima, relativamente ao primeiro termo. Quanto maior esse parâmetro, 
mais parecida com uma tendência linear será a estimativa do componente tendencial de LTCER; quanto 
menor o parâmetro, mais próxima da série y estará a estimativa do componente tendencial. Logo, se o valor 
usado for mais baixo, a estimativa do componente tendencial de LTCER deverá estar mais próximo da série 
LTCER observada – e, portanto, o grau de subalorização será menor. 
 
Obs.: Na prática, a maioria das análises baseadas no uso do filtro HP usam os seguintes valores: 
- para dados anuais = 100 
- para dados trimestrais = 1600 
- para dados mensais = 14400 
Esses são os valores sugeridos pelos criadores do método, mas são arbitrários. Há, porém, tentativas de se 
tentar estimar o valor de l de forma ótima (mas, até o momento, não há consenso sobre a melhor forma de 
fazer isso). 
 
19. Como você dessazonalizaria a série de produção física industrial mensal? Explique 
detalhadamente. 
RESPOSTA: 
Uma forma seria regredindo a série de produção física industrial mensal em 12 dummies mensais: 
D_JAN, que seria igual a 1 nos meses de janeiro e 0 nos demais meses, D_FEV, que seria 1 nos 
meses de fevereiro e 0 nos demais, e assim por diante. O resíduo dessa regressão, somado à média 
amostral da série de produção física industrial, seria uma estimativa da variável dessazonalizada. 
 
 
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
LTCER
COMPONENTE TENDENCIAL (REGRESSÃO EM t)
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