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Monitoria
de
TPE
–
Parte
2‐
Lista
3










 10
realmente necessárias. Mas como saber o número de defasagens de 
t
Y! a serem incluídas na 
regressão é realmente necessário? Geralmente, essa escolha pode ser feita com base em diversos 
critérios; por exemplo: (i) parte-se de um número elevado de defasagens, para o qual os resíduos não 
apresentem autocorrelação (segundo algum teste, por exemplo o teste LM de Breusch-Godfrey) e 
eliminam-se sucessivamente as defasagens de maior ordem, até que a eliminação de certa defasagem 
seja rejeitada por implicar a ocorrência de autocorrelação residual; (ii) parte-se de um número 
elevado de defasagens e eliminam-se sucessivamente as defasagens de maior ordem, até que a 
eliminação de certa defasagem seja rejeitada pelo teste-t; (iii) a regressão é estimada várias vezes, 
cada vez com um número diferente de defasagens, e escolhe-se o número de defasagens para o qual 
algum “critério de informação” (por exemplo, o critério de Schwarz ou o critério de Akaike) 
apresente o menor valor. Se o número de defasagens de 
t
Y! selecionado for 0, temos o teste DF. 
c) O que um teste de raiz unitária faz é, basicamente, analisar uma série temporal e verificar qual dentre 
dois processos estocásticos teóricos – um com raiz unitária e outro sem raiz unitária – teria maior 
probabilidade de ter gerado a série em questão. O quadro abaixo resume as possíveis conclusões do 
teste DF/ADF sob H0 e H1, segundo a especificação da regressão de teste: 
 
 Especificação da regressão de teste 
 (I) 
Não inclui constante ou 
tendência 
(II) 
Inclui uma constante 
(III) 
Inclui uma constante e uma 
tendência linear 
H0 Processo com raiz unitária 
(passeio aleatório) 
Processo com raiz unitária e, 
possivelmente, tendência 
determinística linear de 
crescimento (passeio aleatório 
com deslocamento) 
Processo com raiz unitária e, 
possivelmente, tendência 
determinística exponencial de 
crescimento 
H1 Processo estacionário 
(AR(1) estacionário com 
média 0) 
Processo estacionário 
(AR(1) estacionário com 
média possivelmente diferente 
de 0) 
Processo estacionário ou 
estacionário em torno de uma 
tendência determinística 
 
 
 A questão básica a ser considerada na escolha da especificação a ser usada é que ambas H0 e H1 
devem ser compatíveis com as propriedades da série analisada; caso contrário, o teste estará viesado no 
sentido de favorecer uma das hipóteses. Por exemplo, se uma série apresenta clara tendência de crescimento 
ao longo do tempo (como as séries 1 e 2 acima), não faz sentido usar as especificações (I) ou (II), pois sob 
H1 o processo é estacionário, o que é claramente incompatível com a evolução da série; logo, se usássemos 
uma dessas especificações, seríamos claramente levados a não rejeitar H0, pois o processo sob H1 não faria o 
menor sentido para a série em questão. No caso da série 4, seria importante não omitir a constante, dado que 
a série tem média claramente diferente de zero. Já no caso 3, a especificação (I) seria adequada, pois a série 
não apresenta tendência e parece girar em torno de 0. 
 
d) A estatística ADF para a série em nível não rejeita H0, indicando a presença de uma raiz unitária; 
mas a estatística para a série em primeira diferença rejeita H0, indicando a ausência de raiz unitária. 
Logo, dado que é necessário tirar uma vez a diferença da série para torná-la estacionária, a série deve 
ser I(1). 
 
 
Questão 2 - Suponha que se deseje aplicar o teste Dickey-Fuller a séries geradas pelos seguintes processos 
ARIMA [onde 
t
u ~ ),0( 2"N ]: 
 
a) 
ttt
uYY += #15,0 
b) 
ttt
uYY += #1 
c) 14,0 ##= ttt uuY 
 11
d) 
tttt
uYYY +!= !! 21 14,09,0 
e) 121 5,014,09,0 !!! !+!= ttttt uuYYY 
Para quais dos casos acima você esperaria que a hipótese nula do teste ADF fosse rejeitada? Justifique sua 
resposta. 
!
!"#$%#&'()
!
"#$%&'&(')*#!+,%!'!-.$/0%#%!1,2'!3*##%!&%4%.0'5'!$'&'!*#!$&*6%##*#!%#0'6.*17&.*#8!*,!#%4'9!:';8!
:6;8!:5;!%!:%;<!=>!376.2!?%&.3.6'&!+,%!$'&'!0*5*#!*#!$&*6%##*#8!%@6%0*!:A;8!+,%!B!,)!$'##%.*!
'2%'0/&.*8!'#!&'(C%#!5'!%+,'DE*!6'&'60%&(#0.6'!#E*!)'.*&%#!+,%!F!%)!)/5,2*G!
!
!
!
Questão 3 - A tabela abaixo contém as estatísticas de teste Dickey-Fuller para três séries econômicas, suas 
diferenças, e os resíduos de algumas regressões entre elas. 
 
 
Série Estatística 
ADF 
Valor crítico a 
5% 
Yt -2,07 -2,52 
Xt -1,21 -2,52 
Zt -1,58 -2,52 
"Yt -3,41 -2,81 
"Xt -2,16 -2,81 
"Zt -2,29 -2,81 
"
2Yt -6,12 -3,06 
"
2Xt -3,48 -3,06 
"
2Zt -3,81 -3,06 
Resíduos da regressão de Yt contra Xt -2,08 -2,82 
Resíduos da regressão de Yt contra Zt -2,12 -2,82 
Resíduos da regressão de Yt contra Xt e Zt -2,85 -2,82 
 
 
Com base nos resultados da tabela, responda: 
 11
d) 
tttt
uYYY +!= !! 21 14,09,0 
e) 121 5,014,09,0 !!! !+!= ttttt uuYYY 
Para quais dos casos acima você esperaria que a hipótese nula do teste ADF fosse rejeitada? Justifique sua 
resposta. 
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!
!
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Questão 3 - A tabela abaixo contém as estatísticas de teste Dickey-Fuller para três séries econômicas, suas 
diferenças, e os resíduos de algumas regressões entre elas. 
 
 
Série Estatística 
ADF 
Valor crítico a 
5% 
Yt -2,07 -2,52 
Xt -1,21 -2,52 
Zt -1,58 -2,52 
"Yt -3,41 -2,81 
"Xt -2,16 -2,81 
"Zt -2,29 -2,81 
"
2Yt -6,12 -3,06 
"
2Xt -3,48 -3,06 
"
2Zt -3,81 -3,06 
Resíduos da regressão de Yt contra Xt -2,08 -2,82 
Resíduos da regressão de Yt contra Zt -2,12 -2,82 
Resíduos da regressão de Yt contra Xt e Zt -2,85 -2,82 
 
 
Com base nos resultados da tabela, responda: 
 12
 
(a) Qual é o grau de integração de Yt, Xt e Zt? 
 
(b) Defina cointegração. Como você testaria se duas ou mais variáveis são cointegradas? 
 
(c) Um economista afirma que não é possível que as três séries sejam cointegradas, pois apesar de 
integradas elas têm graus de integração diferentes. Confirme ou desminta essa afirmativa, explicando 
detalhadamente. 
 
(d) A partir dos resultados anteriores, como você construiria um modelo para captar a dinâmica de curto 
prazo da variável Y? 
 
!
!"#$%#&'()
!
a) Lembre: a ordem de integração de uma variável corresponde ao número de vezes que se deve tirar a 
diferença da variável de modo a “eliminar” suas raízes unitárias. Note ainda que a hipótese nula do 
teste ADF, que é a presença de raiz unitária, será rejeitada se a estatística-ADF for menor que o valor 
crítico apropriado. Como Y possui raiz unitária em nível (-2,07 > -2,52, logo H0 não é rejeitada) mas 
não na primeira diferença (-3,41 < -2,81, logo H0 é rejeitada), trata-se de um processo I(1). Para X e 
Z, a hipótese nula de raiz unitária só é rejeitada na segunda diferença, indicando tratar-se de 
processos I(2). 
 
b) Duas ou mais variáveis são cointegradas se, individualmente, elas forem integradas de ordem d 
(onde d >0), mas existir uma combinação linear delas que seja integrada de ordem menor do que d. 
No caso mais popular, duas ou mais variáveis I(1) são cointegradas se existir uma combinação linear 
delas que seja I(0). Note que a definição formal pressupõe que todas as variáveis tenham a mesma 
ordem de integração d. A fim de testar se duas ou mais variáveis são cointegradas, devemos primeiro 
certificarmo-nos de que todas tenham a mesma ordem de integração, através de um teste de raiz 
unitária. Depois, podemos rodar uma regressão de uma dessas variáveis nas demais, e testar a 
presença de raiz unitária no resíduo da regressão; se o resíduo for estacionário, esse é um indício de 
que as séries são cointegradas – pois, nesse caso, teríamos uma combinação linear de variáveis 
integradas, dada pela série de resíduos, que seria estacionário. 
 
c) Apesar da definição formal de cointegraçãopressupor que todas as variáveis tenham a mesma ordem 
de integração, podemos ter uma situação como a seguinte: X e Z são I(2), mas existe uma 
combinação linear delas, digamos W=X+bZ, que é I(1); além disso, existe uma combinação linear 
das variáveis I(1) W e Y, digamos W+cY, que é I(0). Logo, podemos encontrar uma combinação 
linear das variáveis originais Y, X e Z que é I(0): X+bZ+cY. Esse parece ser o caso no nosso 
exemplo, de modo que é razoável dizer que as séries Y, X e Z são cointegradas, apesar de terem 
ordem de integração diferentes. 
 
d) Você poderia construir um “modelo de correção de erro”, onde a variável dependente seria a 
primeira diferença de Y e as explicativas seriam as segundas diferenças de X e Z e o resíduo 
defasado da regressão de Y em X e Z. 
 
Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio


 13
Questão 4 - Um economista estima a seguinte equação por MQO: 
tttt uzxy ˆ5,05,2
)70.2()20.3(
++= 
R2 = 0,81 DW = 1,45 SC = -8,22 
OBS.: Estatísticas-t entre parênteses; DW = estatística Durbin-Watson; 
SC = critério de informação de Schwarz. 
 
A realização de testes ADF para as variáveis (em nível e em primeira diferença) e para o resíduo da equação 
geram os seguintes resultados: 
Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% 
yt -1,922 -2,90 
xt -1,343 -2,90 
zt -2,140 -2,90 
!yt -4,088 -2,90 
!xt -3,450 -2,90 
!zt -3,880 -2,90 
ût -3,300 -3,10 
 
A partir desses resultados, o economista afirma: 
“AS VARIÁVEIS SÃO I(1) E SÃO COINTEGRADAS. 
LOGO, ESSA REGRESSÃO NÃO É ESPÚRIA”. 
 
Responda (justificando suas respostas adequadamente): 
 
a) O que significa uma série ser I(1)? Você diria que as séries acima são realmente I(1)? 
 
b) O que significa duas ou mais séries serem cointegradas? Você diria que as séries acima são realmente 
cointegradas? 
 
c) O que é uma regressão espúria? Você diria que a regressão acima realmente não é espúria? 
 
d) Suponha que o economista deseje estimar uma equação que capte a dinâmica de curto prazo entre as 
variáveis. A partir dos resultados acima, você diria que o procedimento mais correto seria estimar um 
modelo com as variáveis em primeiras diferenças? 
 
!"#$%#&'()
!
a) Sim, as séries parecem ser I(1), pois possuem raiz unitária em nível mas não na primeira diferença (a 
hipótese nula de raiz unitária, em todos os casos, não é rejeitada para as variáveis em nível, mas é 
rejeitada para as variáveis em diferença). 
b) Sim, as séries parecem ser cointegradas, pois os resíduos da regressão estática de Y em x e Z são 
estacionários. 
c) Uma regressão espúria pode ser definida como uma regressão entre variáveis não-estacionárias que, 
devido à tendência (estocástica ou determinística) presente nas séries, sugere a existência de 
correlação significativa entre elas – caracterizando-se por coeficientes estatisticamente significativos 
e elevado R2 –, apesar das variáveis serem, na verdade, independentes. No caso em questão, a 
regressão não parece ser espúria, pois as variáveis são cointegradas e, portanto, possuem tendências 
estocásticas comuns – o que implica que há uma correlação “verdadeira” entre elas. 
[Cabe notar que o termo “regressão espúria” é usualmente empregado para definir uma 
regressão entre variáveis I(1). Entretanto, alguns autores (p.ex. o Wooldridge) usam o termo 
“regressão espúria” de modo mais abrangente, para definir a regressão entre quaisquer 
variáveis não estacionárias (independentemente dessas variáveis apresentarem tendência 
estocástica ou determinística). Aqui, estamos adotando esse critério mais abrangente.] 
d) Não, pois isso implicaria “jogar fora” a informação relativa à relação de longo prazo entre as 
variáveis, ao omitir o termo de correção de erro. 
!
Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio













 14
Questão 5 - Dois economistas desejam analisar a relação entre a demanda de moeda (m) e a renda nacional 
(y). Eles estimam os seguintes modelos (variáveis em logaritmos, dados anuais): 
 
Economista A: 
ttt uym +=
)20.3(
1.1 (1) 
R2 = 0.7 DW = 1.4 
 
Economista B: 
ttt ym !+"="
)44.2(
7.0 (2) 
R2 = 0.4 DW = 1.2 
 
onde os valores entre parênteses são as estatísticas-t. 
 
A realização de testes ADF para as variáveis e os resíduos de (1) e (2) gera os seguintes resultados: 
 
Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% 
mt -1,422 -2,06 
yt -1,213 -2,06 
ut -3,202 -2,46 
"mt -2,822 -2,06 
"yt -3,415 -2,06 
!t -2,505 -2,46 
 
 
a) Qual é a ordem de integração de m e y? 
 
b) O que o teste ADF nos resíduos de (1) indica a respeito da relação entre m e y? 
 
c) Considerando as respostas anteriores, você diria que os modelos (1) e (2) estão corretamente 
especificados? Justifique. 
 
RESPOSTA: 
 
a) Ambas são I(1) – raiz unitária no nível mas não na primeira diferença. 
 
b) Variáveis cointegradas, pois o resíduo da regressão entre elas é estacionário. 
 
c) Dado que as variáveis são cointegradas, a equação (1) é adequada para captar a relação de 
longo prazo entre as variáveis (MQO é um estimador consistente – na verdade, “super-
consistente” – nesse caso). A equação (2), porém, não está especificada corretamente, pois 
omite o termo de correção de erro relativo à relação de longo prazo entre as variáveis. 
 
Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio

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