Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Monitoria de TPE – Parte 2‐ Lista 3 10 realmente necessárias. Mas como saber o número de defasagens de t Y! a serem incluídas na regressão é realmente necessário? Geralmente, essa escolha pode ser feita com base em diversos critérios; por exemplo: (i) parte-se de um número elevado de defasagens, para o qual os resíduos não apresentem autocorrelação (segundo algum teste, por exemplo o teste LM de Breusch-Godfrey) e eliminam-se sucessivamente as defasagens de maior ordem, até que a eliminação de certa defasagem seja rejeitada por implicar a ocorrência de autocorrelação residual; (ii) parte-se de um número elevado de defasagens e eliminam-se sucessivamente as defasagens de maior ordem, até que a eliminação de certa defasagem seja rejeitada pelo teste-t; (iii) a regressão é estimada várias vezes, cada vez com um número diferente de defasagens, e escolhe-se o número de defasagens para o qual algum “critério de informação” (por exemplo, o critério de Schwarz ou o critério de Akaike) apresente o menor valor. Se o número de defasagens de t Y! selecionado for 0, temos o teste DF. c) O que um teste de raiz unitária faz é, basicamente, analisar uma série temporal e verificar qual dentre dois processos estocásticos teóricos – um com raiz unitária e outro sem raiz unitária – teria maior probabilidade de ter gerado a série em questão. O quadro abaixo resume as possíveis conclusões do teste DF/ADF sob H0 e H1, segundo a especificação da regressão de teste: Especificação da regressão de teste (I) Não inclui constante ou tendência (II) Inclui uma constante (III) Inclui uma constante e uma tendência linear H0 Processo com raiz unitária (passeio aleatório) Processo com raiz unitária e, possivelmente, tendência determinística linear de crescimento (passeio aleatório com deslocamento) Processo com raiz unitária e, possivelmente, tendência determinística exponencial de crescimento H1 Processo estacionário (AR(1) estacionário com média 0) Processo estacionário (AR(1) estacionário com média possivelmente diferente de 0) Processo estacionário ou estacionário em torno de uma tendência determinística A questão básica a ser considerada na escolha da especificação a ser usada é que ambas H0 e H1 devem ser compatíveis com as propriedades da série analisada; caso contrário, o teste estará viesado no sentido de favorecer uma das hipóteses. Por exemplo, se uma série apresenta clara tendência de crescimento ao longo do tempo (como as séries 1 e 2 acima), não faz sentido usar as especificações (I) ou (II), pois sob H1 o processo é estacionário, o que é claramente incompatível com a evolução da série; logo, se usássemos uma dessas especificações, seríamos claramente levados a não rejeitar H0, pois o processo sob H1 não faria o menor sentido para a série em questão. No caso da série 4, seria importante não omitir a constante, dado que a série tem média claramente diferente de zero. Já no caso 3, a especificação (I) seria adequada, pois a série não apresenta tendência e parece girar em torno de 0. d) A estatística ADF para a série em nível não rejeita H0, indicando a presença de uma raiz unitária; mas a estatística para a série em primeira diferença rejeita H0, indicando a ausência de raiz unitária. Logo, dado que é necessário tirar uma vez a diferença da série para torná-la estacionária, a série deve ser I(1). Questão 2 - Suponha que se deseje aplicar o teste Dickey-Fuller a séries geradas pelos seguintes processos ARIMA [onde t u ~ ),0( 2"N ]: a) ttt uYY += #15,0 b) ttt uYY += #1 c) 14,0 ##= ttt uuY 11 d) tttt uYYY +!= !! 21 14,09,0 e) 121 5,014,09,0 !!! !+!= ttttt uuYYY Para quais dos casos acima você esperaria que a hipótese nula do teste ADF fosse rejeitada? Justifique sua resposta. ! !"#$%#&'() ! "#$%&'&(')*#!+,%!'!-.$/0%#%!1,2'!3*##%!&%4%.0'5'!$'&'!*#!$&*6%##*#!%#0'6.*17&.*#8!*,!#%4'9!:';8! :6;8!:5;!%!:%;<!=>!376.2!?%&.3.6'&!+,%!$'&'!0*5*#!*#!$&*6%##*#8!%@6%0*!:A;8!+,%!B!,)!$'##%.*! '2%'0/&.*8!'#!&'(C%#!5'!%+,'DE*!6'&'60%&(#0.6'!#E*!)'.*&%#!+,%!F!%)!)/5,2*G! ! ! ! Questão 3 - A tabela abaixo contém as estatísticas de teste Dickey-Fuller para três séries econômicas, suas diferenças, e os resíduos de algumas regressões entre elas. Série Estatística ADF Valor crítico a 5% Yt -2,07 -2,52 Xt -1,21 -2,52 Zt -1,58 -2,52 "Yt -3,41 -2,81 "Xt -2,16 -2,81 "Zt -2,29 -2,81 " 2Yt -6,12 -3,06 " 2Xt -3,48 -3,06 " 2Zt -3,81 -3,06 Resíduos da regressão de Yt contra Xt -2,08 -2,82 Resíduos da regressão de Yt contra Zt -2,12 -2,82 Resíduos da regressão de Yt contra Xt e Zt -2,85 -2,82 Com base nos resultados da tabela, responda: 11 d) tttt uYYY +!= !! 21 14,09,0 e) 121 5,014,09,0 !!! !+!= ttttt uuYYY Para quais dos casos acima você esperaria que a hipótese nula do teste ADF fosse rejeitada? Justifique sua resposta. ! !"#$%#&'() ! "#$%&'&(')*#!+,%!'!-.$/0%#%!1,2'!3*##%!&%4%.0'5'!$'&'!*#!$&*6%##*#!%#0'6.*17&.*#8!*,!#%4'9!:';8! :6;8!:5;!%!:%;<!=>!376.2!?%&.3.6'&!+,%!$'&'!0*5*#!*#!$&*6%##*#8!%@6%0*!:A;8!+,%!B!,)!$'##%.*! '2%'0/&.*8!'#!&'(C%#!5'!%+,'DE*!6'&'60%&(#0.6'!#E*!)'.*&%#!+,%!F!%)!)/5,2*G! ! ! ! Questão 3 - A tabela abaixo contém as estatísticas de teste Dickey-Fuller para três séries econômicas, suas diferenças, e os resíduos de algumas regressões entre elas. Série Estatística ADF Valor crítico a 5% Yt -2,07 -2,52 Xt -1,21 -2,52 Zt -1,58 -2,52 "Yt -3,41 -2,81 "Xt -2,16 -2,81 "Zt -2,29 -2,81 " 2Yt -6,12 -3,06 " 2Xt -3,48 -3,06 " 2Zt -3,81 -3,06 Resíduos da regressão de Yt contra Xt -2,08 -2,82 Resíduos da regressão de Yt contra Zt -2,12 -2,82 Resíduos da regressão de Yt contra Xt e Zt -2,85 -2,82 Com base nos resultados da tabela, responda: 12 (a) Qual é o grau de integração de Yt, Xt e Zt? (b) Defina cointegração. Como você testaria se duas ou mais variáveis são cointegradas? (c) Um economista afirma que não é possível que as três séries sejam cointegradas, pois apesar de integradas elas têm graus de integração diferentes. Confirme ou desminta essa afirmativa, explicando detalhadamente. (d) A partir dos resultados anteriores, como você construiria um modelo para captar a dinâmica de curto prazo da variável Y? ! !"#$%#&'() ! a) Lembre: a ordem de integração de uma variável corresponde ao número de vezes que se deve tirar a diferença da variável de modo a “eliminar” suas raízes unitárias. Note ainda que a hipótese nula do teste ADF, que é a presença de raiz unitária, será rejeitada se a estatística-ADF for menor que o valor crítico apropriado. Como Y possui raiz unitária em nível (-2,07 > -2,52, logo H0 não é rejeitada) mas não na primeira diferença (-3,41 < -2,81, logo H0 é rejeitada), trata-se de um processo I(1). Para X e Z, a hipótese nula de raiz unitária só é rejeitada na segunda diferença, indicando tratar-se de processos I(2). b) Duas ou mais variáveis são cointegradas se, individualmente, elas forem integradas de ordem d (onde d >0), mas existir uma combinação linear delas que seja integrada de ordem menor do que d. No caso mais popular, duas ou mais variáveis I(1) são cointegradas se existir uma combinação linear delas que seja I(0). Note que a definição formal pressupõe que todas as variáveis tenham a mesma ordem de integração d. A fim de testar se duas ou mais variáveis são cointegradas, devemos primeiro certificarmo-nos de que todas tenham a mesma ordem de integração, através de um teste de raiz unitária. Depois, podemos rodar uma regressão de uma dessas variáveis nas demais, e testar a presença de raiz unitária no resíduo da regressão; se o resíduo for estacionário, esse é um indício de que as séries são cointegradas – pois, nesse caso, teríamos uma combinação linear de variáveis integradas, dada pela série de resíduos, que seria estacionário. c) Apesar da definição formal de cointegraçãopressupor que todas as variáveis tenham a mesma ordem de integração, podemos ter uma situação como a seguinte: X e Z são I(2), mas existe uma combinação linear delas, digamos W=X+bZ, que é I(1); além disso, existe uma combinação linear das variáveis I(1) W e Y, digamos W+cY, que é I(0). Logo, podemos encontrar uma combinação linear das variáveis originais Y, X e Z que é I(0): X+bZ+cY. Esse parece ser o caso no nosso exemplo, de modo que é razoável dizer que as séries Y, X e Z são cointegradas, apesar de terem ordem de integração diferentes. d) Você poderia construir um “modelo de correção de erro”, onde a variável dependente seria a primeira diferença de Y e as explicativas seriam as segundas diferenças de X e Z e o resíduo defasado da regressão de Y em X e Z. Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio 13 Questão 4 - Um economista estima a seguinte equação por MQO: tttt uzxy ˆ5,05,2 )70.2()20.3( ++= R2 = 0,81 DW = 1,45 SC = -8,22 OBS.: Estatísticas-t entre parênteses; DW = estatística Durbin-Watson; SC = critério de informação de Schwarz. A realização de testes ADF para as variáveis (em nível e em primeira diferença) e para o resíduo da equação geram os seguintes resultados: Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% yt -1,922 -2,90 xt -1,343 -2,90 zt -2,140 -2,90 !yt -4,088 -2,90 !xt -3,450 -2,90 !zt -3,880 -2,90 ût -3,300 -3,10 A partir desses resultados, o economista afirma: “AS VARIÁVEIS SÃO I(1) E SÃO COINTEGRADAS. LOGO, ESSA REGRESSÃO NÃO É ESPÚRIA”. Responda (justificando suas respostas adequadamente): a) O que significa uma série ser I(1)? Você diria que as séries acima são realmente I(1)? b) O que significa duas ou mais séries serem cointegradas? Você diria que as séries acima são realmente cointegradas? c) O que é uma regressão espúria? Você diria que a regressão acima realmente não é espúria? d) Suponha que o economista deseje estimar uma equação que capte a dinâmica de curto prazo entre as variáveis. A partir dos resultados acima, você diria que o procedimento mais correto seria estimar um modelo com as variáveis em primeiras diferenças? !"#$%#&'() ! a) Sim, as séries parecem ser I(1), pois possuem raiz unitária em nível mas não na primeira diferença (a hipótese nula de raiz unitária, em todos os casos, não é rejeitada para as variáveis em nível, mas é rejeitada para as variáveis em diferença). b) Sim, as séries parecem ser cointegradas, pois os resíduos da regressão estática de Y em x e Z são estacionários. c) Uma regressão espúria pode ser definida como uma regressão entre variáveis não-estacionárias que, devido à tendência (estocástica ou determinística) presente nas séries, sugere a existência de correlação significativa entre elas – caracterizando-se por coeficientes estatisticamente significativos e elevado R2 –, apesar das variáveis serem, na verdade, independentes. No caso em questão, a regressão não parece ser espúria, pois as variáveis são cointegradas e, portanto, possuem tendências estocásticas comuns – o que implica que há uma correlação “verdadeira” entre elas. [Cabe notar que o termo “regressão espúria” é usualmente empregado para definir uma regressão entre variáveis I(1). Entretanto, alguns autores (p.ex. o Wooldridge) usam o termo “regressão espúria” de modo mais abrangente, para definir a regressão entre quaisquer variáveis não estacionárias (independentemente dessas variáveis apresentarem tendência estocástica ou determinística). Aqui, estamos adotando esse critério mais abrangente.] d) Não, pois isso implicaria “jogar fora” a informação relativa à relação de longo prazo entre as variáveis, ao omitir o termo de correção de erro. ! Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio 14 Questão 5 - Dois economistas desejam analisar a relação entre a demanda de moeda (m) e a renda nacional (y). Eles estimam os seguintes modelos (variáveis em logaritmos, dados anuais): Economista A: ttt uym += )20.3( 1.1 (1) R2 = 0.7 DW = 1.4 Economista B: ttt ym !+"=" )44.2( 7.0 (2) R2 = 0.4 DW = 1.2 onde os valores entre parênteses são as estatísticas-t. A realização de testes ADF para as variáveis e os resíduos de (1) e (2) gera os seguintes resultados: Variável Estatística-ADF Valor crítico a 5% mt -1,422 -2,06 yt -1,213 -2,06 ut -3,202 -2,46 "mt -2,822 -2,06 "yt -3,415 -2,06 !t -2,505 -2,46 a) Qual é a ordem de integração de m e y? b) O que o teste ADF nos resíduos de (1) indica a respeito da relação entre m e y? c) Considerando as respostas anteriores, você diria que os modelos (1) e (2) estão corretamente especificados? Justifique. RESPOSTA: a) Ambas são I(1) – raiz unitária no nível mas não na primeira diferença. b) Variáveis cointegradas, pois o resíduo da regressão entre elas é estacionário. c) Dado que as variáveis são cointegradas, a equação (1) é adequada para captar a relação de longo prazo entre as variáveis (MQO é um estimador consistente – na verdade, “super- consistente” – nesse caso). A equação (2), porém, não está especificada corretamente, pois omite o termo de correção de erro relativo à relação de longo prazo entre as variáveis. Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio
Compartilhar