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Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Definições – Aula anterior:
Funções de Transferência de Equações Diferenciais
Exemplo: Dada a seguinte equação diferencial, obter a solução y(t) se todas as condições 
iniciais forem zero. Onde y é a saída e x é a a entrada Degrau Unitário. 
-Utilizando as propriedades 2, 3, 7 e 8 tem-se (com as condições iniciais nulas):
-Logo:
3212
32
)(
)(
)(
2 ++
==
ss
sG
sX
sY
)()21()( 84 tueety tt −− +−=
xy
dt
dy
dt
yd
323212
2
2
=++
)(32)(32)(12)(2 sXsYssYsYs =++
Entrada; estímulo
Resposta desejada
Sistema
de controle
Saída; resposta
Resposta real
X(s) Y(s)G(s)
)8)(4(
32
)3212(
32
)()()(
2 ++
=
++
==
ssssss
sGsXsY
Sistemas de Controle 2010-1
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Definições
Funções de Transferência de Equações Diferenciais - Geral
(Estudar item 2.3 do livro texto, �ise)
- Forma geral de uma equação diferencial de ordem n, linear e invariante no tempo: 
-Transformada de Laplace → Função de Transferência G(s):
-O Cálculo da Função de transferência é feito com condições iniciais iguais a zero.
Exemplo: Circuito RLC Série, G(s)=V
C
(s)/V(s):
)(...
)()(
)(...
)()(
01
1
101
1
1 trb
dt
trd
b
dt
trd
btca
dt
tcd
a
dt
tcd
a
m
m
mm
m
mn
n
nn
n
n +++=+++
−
−
−
−
−
−
)...(
)...(
)(
)(
)(
0
1
1
0
1
1
asasa
bsbsb
sR
sC
sG
n
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++
==
−
−
−
−
Entrada; estímulo
Resposta desejada
Sistema
de controle
Saída; resposta
Resposta real
R(s) C(s)G(s) R(s) C(s)G(s)
)...(
)...(
0
1
1
0
1
1
asasa
bsbsb
n
n
n
n
m
m
m
m
+++
+++
−
−
−
−
LC
s
L
R
s
LC
sV
sV
sG C
1
1
)(
)(
)(
2 ++
==
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Resposta de Sistema e sua Relação com Pólos e Zeros
(Capítulo 4, livro texto, Nise)
- Pólos de uma função de transferência: 
- (1) valores da variável “s”, da transformada de Laplace, que fazem com que a função 
de transferência se torne infinita; ou
- (2) quaisquer raízes do denominador da função de transferência que sejam comuns às 
raízes do numerador.
- Zeros de uma função de transferência:
• (1) os valores da variável “s”, da transformada de Laplace, que fazem com que a 
função de transferência se torne igual a zero; ou
• (2) quaisquer raízes do numerador da função de transferência que sejam comuns às 
raízes do denominador. Zeros
Pólos
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Pólos e Zeros de um Sistema - Exemplo
(Capítulo 4, livro texto, Nise)
plano s
Resposta forçada Resposta natural
Resposta
no domínio
do tempo
Transformada
da saída
Pólo da entrada Zero do sistema Pólo do sistema
plano splano splano s
Exemplo:
1 – Um pólo da função de entrada gera 
a forma da resposta forçada �o pólo 
na origem gerou a função degrau na 
saída;
2 – Um pólo da função de 
transferência gera a forma da resposta 
natural �em -5 gerou
3 – Um pólo sobre o eixo real gera um 
resposta exponencial da forma:
Onde α é a localização do pólo sobre o 
eixo real. Assim quanto mais à 
esquerda fique situado o pólo sobre o 
semi-eixo real negativo, tanto mais 
rápido será o decaimento da resposta 
transitória exponencial para zero. 
4 – Os pólos e zeros geram as 
amplitudes para ambas as respostas, 
natural e forçada. 
te 5−
te α−
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Pólos e Zeros de um Sistema - Exemplo
(Capítulo 4, livro texto, Nise)
Efeito de um pólo real sobre a resposta transitória:
Exemplo:
Dado o sistema abaixo, escrever a saída c(t), em termos genéricos. Especificar as partes 
forçada e natural da solução.
plano s
Pólo em −α
gera a resposta
)5()4()2(
)( 4321
+
+
+
+
+
+=
s
K
s
K
s
K
s
K
sC
ttt eKeKeKKtc 54
4
3
2
21)(
−−− +++=
Resposta Forçada Resposta Natural
Resposta Forçada Resposta Natural
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Pólos e Zeros de um Sistema de 1a Ordem
(Item 4.3, livro texto, Nise)
Gráfico do pólo:
plano s
Inclinação inicial
Constante de tempo
63% do valor final para
t = uma constante de tempo
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,9
1,0
Resposta de um sistema de 1a ordem a 
um degrau unitário:
- Constante de tempo:(Tc): tempo 
necessário para que a resposta ao degrau 
alcance 63% do seu valor final �Tc = 1/a
- Tempo de subida (Tr): tempo necessário 
para que a forma de onda vá de 0,1 a 0,9 do 
seu valor final �Tr = 2,2/a
- Tempo de Assentamento (Ts): tempo 
necessário para que resposta alcance uma 
faixa de valores de 2% em torno do valor 
final e aí permaneça � Ts=4/a
Plano s
atetc −−=1)(
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Considere um sistema de primeira ordem 
simples:
Cuja resposta ao degrau unitário é:
Se os valores de K e de a puderem ser 
identificados em laboratório, pode-se 
obter a função de transferência do 
sistema:
- Obter a constante de tempo (Tc): 
Valor final = 7,2
63% � 0,63x0,72=0,45
Tc = 0,13 �a=7,7
Obter a constante K:
Resposta forçada: K/a=7,2 
� K=5,54
Pólos e Zeros de um Sistema de 1a Ordem – Por Inspeção
(Item 4.3, livro texto, Nise)
)(
//
)(
)(
as
aK
s
aK
ass
K
sC
+
−=
+
=
)(
)(
as
K
sG
+
=
Tempo (s)
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Tc=1/a�a=7,7
)7,7(
54,5
)(
+
=
s
sG
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Sistemas de 2a Ordem
(Item 4.4, livro texto, Nise)
- Enquanto nos sistemas de primeira ordem a variação de um parâmetro muda simplesmente a 
velocidade da resposta , as mudanças nos parâmetros do sistema de segunda ordem podem alterar 
a forma da resposta.
- Por exemplo: um sistema de segunda ordem pode apresentar características muito semelhantes às 
de um sistema de primeira ordem ou, dependendo dos valores dos componentes, apresentar 
oscilações puras ou amortecidas como resposta transitória.
Tipos de respostas:
1 – Respostas Superamortecidas: dois pólos reais, negativos e distintos: -σ1 e -σ2
→Resposta �atural: duas exponenciais com constantes de tempo com valor igual ao inverso das 
localizações dos pólos.
Exemplo de resposta ao degrau unitário:
 )( 21 21
tt
eKeKtc
σσ −− +=
Superamortecido
Plano s
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Sistemas de 2a Ordem
(Item 4.4, livro texto, Nise)
Tipos de respostas:
2 – Respostas Subamortecidas: dois pólos complexos conjugados: -σd ±jωd
→ Resposta �atural: senóide amortecida com uma envoltória exponencial cuja constante de 
tempo é igual ao inverso da parte real do pólo. A frequência angular da senóide, frequência
da oscilação amortecida, é igual à parte imaginária dos pólos. 
Exemplo de resposta ao degrau unitário: 
Oscilação senoidal gerada pela parte 
imaginária do par de pólos complexos
Decaimento exponencial gerado pela
parte real do par de pólos complexos
Subamortecido
Plano s
 )cos()( φωσ −= − tAetc dtd[ ])()cos()( 21 tsenKtKetc ddtd ωωσ += −
( ) 2221 KKA += 
2
11






=
−
K
K
tgφ
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Sistemas de 2a Ordem
(Item 4.4, livro texto, Nise)
Tipos de respostas:
3 – Respostas Sem amortecimento: dois pólos imaginários: ±jω
1
→ Resposta Natural : senóide não amortecida com frequência angular igual `a parte 
imaginária dos pólos.
Exemplo de resposta ao degrau unitário:
Sem amortecimento
Plano s
 )cos()( 1 φω −= tAtc)()cos()( 1211 tsenKtKtc ωω +=
( ) 2221 KKA += 
2
11






=
−
K
K
tgφ
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Sistemas de 2a Ordem
(Item 4.4, livro texto, Nise)
Tipos de respostas:
4 – Respostas Criticamente Amortecidas: dois pólos reais, negativos e iguais: -σ1
→ Resposta �atural: um termo é a exponencial cuja constante de tempo é igual ao inverso 
da localização do pólo. Um outro termo é produto de tempo, t, pela exponencial cuja 
constante de tempo é igual ao inverso da localização do pólo.Exemplo de resposta ao degrau unitário:
Criticamente 
amortecido
Plano s
 )( 121
1 tt teKeKtc σ
σ −− +=
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Sistemas de 2a Ordem 
Comparação entre as Respostas ao Degrau Unitário
(Item 4.4, livro texto, Nise)
Tarefa: fazer exercícios referentes a estes itens do livro texto.
Não-amortecido
Subamortecido
Superamortecido
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,5 1,5 2,5 3,5
Criticamente
amortecido