P2_2010-1_GABARITO

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Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 25/06/2010 
Departamento de Economia 
 
ECO1800 - TÉCNICAS DE PESQUISA EM ECONOMIA – 2010.1 
2ª. PROVA - GABARITO 
 
· Prova sem consulta. Duração: 1h45min. 
· Permitido o uso de calculadora. Pode ser feita a lápis. 
· Todas as respostas devem ser justificadas adequadamente. 
· Caso o enunciado da questão seja ambíguo, interpretações razoáveis serão consideradas. 
· A prova contém um Apêndice com valores críticos do teste ADF. 
 
Questão 1 (3 pontos) – Um economista deseja estimar a seguinte equação: 
tttt uRSTCC +D+D+=D - 2110 ddd (*) 
onde C é o logaritmo da taxa de câmbio R$/US$, STC é o saldo em transações correntes do Balanço de 
Pagamentos, R é o logaritmo do nível de reservas internacionais do Banco Central, e u é um termo de erro, 
sendo 0)|( 1 =D -tt STCuE . [Note que C, STC e R aparecem em primeira diferença na equação] 
 
(a) [1 ponto] Suponha que o Banco Central gerencie seu nível de reservas de acordo com a regra: 
ttt eCR +D+=D 10 bb (Regra I) 
onde e é um termo ruído branco, sendo 0)|( =tt ueE . Nesse caso, você acredita que os estimadores 
de MQO da equação (*) serão não-viesados? Consistentes? 
 
(b) [0,5 ponto] Suponha, agora, que a regra do Banco Central seja a seguinte: 
ttt eCR +D+=D -110 bb (Regra II) 
Sob essa hipótese, sua resposta muda em relação ao item anterior? 
 
(c) [0,5 ponto] Suponha, por fim, que a regra do Banco Central seja a seguinte: 
ttt eRR +D+=D -110 bb (Regra III) 
Sob essa hipótese, sua resposta muda em relação ao item (a)? 
 
(d) [1 ponto] Supondo que a Regra II seja a regra adotada pelo Banco Central, como você testaria a 
hipótese de autocorrelação no erro da equação (*)? Explicite a equação de teste, as hipóteses nula e 
alternativa, a estatística de teste e a regra de rejeição do teste. 
 
RESPOSTA 
a) Para que o estimador de MQO seja consistente, é necessário que o erro de (*) não seja 
correlacionado com os regressores contemporâneos ? STC(t-1) e ? R(t) (hipótese de 
exogeneidade contemporânea). Para que o estimador de MQO seja não-viesado, é necessário 
que o erro de (*) seja independente dos regressores em qualquer período de tempo (hipótese 
de exogeneidade estrita). Ambas as hipóteses são violadas sob a regra I, pois há 
simultaneidade entre ? R(t) e ? C(t), de modo que u(t) está correlacionado com ? R(t) [u(t) 
afeta ? C(t), que afeta ? R(t)]. Logo, MQO é viesado e inconsistente. 
 
b) Sob a Regra II, ? R(t) depende de ? C(t-1), de modo que u(t), que afeta ? C(t), está 
correlacionado com ? R(t+1). Logo, a hipótese de exogeneidade estrita é violada e MQO é 
viesado. Entretanto, a hipótese de exogeneidade contemporânea não é violada: já sabemos, 
pelo enunciado, que u(t) não é correlacionado com ? STC(t-1); além disso, sob a regra II, 
? R(t) depende de ? C(t-1), mas não de ? C(t). Logo, u(t), que afeta ? C(t), não está 
correlacionado com ? R(t) ou com ? STC(t-1), e MQO é consistente. 
 
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 2 
c) Sob a Regra III, a hipótese de exogeneidade contemporânea é satisfeita. Já sabemos, pelo 
enunciado, que u(t) não é correlacionado com ? STC(t-1); além disso, sob a regra III, ? R(t) 
não depende de ? C em nenhum ponto de tempo, de modo que u(t) também não é 
correlacionado com ? C(t). Logo, MQO é consistente. 
 
Com relação à hipótese de exogeneidade estrita, não há como saber com certeza se a 
hipótese é satisfeita ou não: sabemos que 1( | ) 0t tE u STC -D = , mas poderíamos ter 
( | ) 0t tE u STCD ¹ caso valores futuros de ? STC dependessem de ? C(t). Se considerarmos 
que é provável que isso aconteça, pois a taxa de câmbio deve afetar o saldo da balança 
comercial no futuro, podemos afirmar que é provável que a hipótese de exogeneidade estrita 
seja violada e MQO, portanto, viesado. 
 
d) Para testar a presença de autocorrelação no erro de (*), podemos usar o teste de Breusch-
Godfrey: primeiro, estima-se uma regressão dos resíduos da regressão (*) em função dos 
resíduos defasados até a ordem p e dos regressores de (*) [no caso, ? STC(t-1) e ? R(t)]; 
segundo, testa-se a hipótese nula de que os coeficientes dos resíduos defasados são 
conjuntamente nulos (usando a estatística-F ou a estatística-LM). A regressão de teste é: 
1 1 0 1 1 2
0 1
1
ˆ ˆ ˆ... (**)
: ... 0 (ausência de autocorrelação)
: algum 0 (presença de autocorrelação)
t t P t P t t t
P
i
u u u STC R
H
H
r r b b b e
r r
r
- - -= + + + + D + D +
= = =
¹
 
Estatística-F de teste: 
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
, 3
1 3
i r
i
R R p
F p T p
R N p
-
- -
- - -
: 
Estatística-LM: ( ) 2 2( )iT p R pc- : 
 
onde 2iR é o R2 da regressão auxiliar (**), 
2
rR é o R2 da regressão auxiliar sob H0, T é o número de 
observações da amostra. Rejeita-se H0 se uma dessas estatísticas superar o valor crítico da 
distribuição correspondente ao nível de significância desejado. 
 
O teste pode ser realizado para diferentes ordens de defasagem p; para que não haja 
autocorrelação, a hipótese nula não pode ser rejeitada em nenhum caso. 
 
 
Questão 2 (4 pontos) – Um economista deseja investigar a relação entre a produção de trigo (em toneladas) 
e a área cultivada de trigo (em hectares), a partir de dados anuais para o Brasil entre 1931 e 2007. Para tanto, 
ele estima a regressão do logaritmo da produção de trigo (l_YT) em uma constante (const) e no logaritmo da 
área cultivada de trigo (l_AT). Eis os gráficos das séries e o resultado da regressão: 
 
 11.5
 12
 12.5
 13
 13.5
 14
 14.5
 15
 15.5
 1931 1943 1955 1967 1979 1991 2003
l_AT
 11.5
 12
 12.5
 13
 13.5
 14
 14.5
 15
 15.5
 16
 1931 1943 1955 1967 1979 1991 2003
l_YT
 
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 3 
 
Modelo 1: Mínimos Quadrados (OLS), usando as observações 1931-2007 (T = 77) 
Variável dependente: l_YT 
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ---------------------------------------------------------- 
 const -2,33617 0,642826 -3,634 0,0005 *** 
 l_AT 1,16772 0,0463701 25,18 2,50e-038 *** 
 
Média var. dependente 13,81280 D.P. var. dependente 1,196173 
Soma resíd. quadrados 11,50049 E.P. da regressão 0,391586 
R-quadrado 0,894242 R-quadrado ajustado 0,892832 
F(1, 75) 634,1639 P-valor(F) 2,50e-38 
Log da verossimilhança -36,05375 Critério de Akaike 76,10750 
Critério de Schwarz 80,79511 Critério Hannan-Quinn 77,98250 
rô 0,670683 Durbin-Watson 0,663276 
 
A fim de saber se a regressão é confiável ou não, o economista decide realizar testes ADF para as variáveis 
l_YT e l_AT, em nível e em primeira diferença, e para o resíduo da regressão acima (u1). As regressões 
referentes a esses testes são apresentadas abaixo. Note que, nessas regressões, d_X representa a primeira 
diferença da variável X e X_1 é a primeira defasagem de X; assim, p.ex., d_l_YT é a primeira diferença de 
l_YT, d_d_l_YT é a segunda diferença de l_YT, d_l_YT_1 é a primeira defasagem de d_l_YT, etc.; além disso, 
const é uma constante e time é uma tendência linear: 
 
Eq. 2 - Variável dependente: d_l_YT 
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ------------------------------------------------------- 
 const 2.35651 0.962110 2.449 0.0167 ** 
 l_YT_1 -0.201225 0.0847969 -2.373 0.3938 
 d_l_YT_1 -0.196084 0.118470 -1.655 0.1022 
 time 0.00945730 0.00454413 2.081 0.0409 ** 
 
Eq. 3 - Variável dependente: d_d_l_YT 
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 --------------------------------------------------------- 
 const 0.0829313 0.0905313 0.9161 0.3626 
 d_l_YT_1 -1.30745 0.112132 -11.66 0.0004 *** 
 time -0.000611582 0.00167666 -0.36480.7163 
 
Eq. 4 - Variável dependente: d_l_AT 
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 ------------------------------------------------------- 
 const 0.994818 0.552329 1.801 0.0758 * 
 l_AT_1 -0.0740939 0.0457139 -1.621 0.7756 
 time 0.00127500 0.00201336 0.6333 0.5285 
 
Eq. 5 - Variável dependente: d_d_l_AT 
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 -------------------------------------------------------- 
 const 0.102605 0.0651316 1.575 0.1196 
 d_l_AT_1 -1.01507 0.118439 -8.570 3.26e-08 *** 
 time -0.00139639 0.00118543 -1.178 0.2427 
 
Eq. 6 - Variável dependente: d_u1 
 coeficiente erro padrão razão-t p-valor 
 -------------------------------------------------------- 
 const 0.00294772 0.0314740 0.09366 0.9256 
 u1_1 -0.185880 0.0910402 -2.042 0.4958 
 d_u1_1 -0.418556 0.109274 -3.830 0.0003 *** 
 
Com base nos resultados acima, responda: 
 
(a) [1 ponto] Qual é a ordem de integração de l_YT, l_AT e u1? 
(b) [1 ponto] A regressão (1) é confiável ou não? 
(c) [0,5 ponto] O que o valor da estatística de Durbin-Watson (DW) na regressão (1) indica acerca do 
grau de autocorrelação presente no erro? Esse resultado é compatível com sua resposta aos itens 
anteriores? 
(d) [1 ponto] O que se pode afirmar sobre a evolução da produtividade no cultivo de trigo, dada pela 
razão YT/AT, no longo prazo? Essa produtividade é estável no tempo? Tende a convergir a algum 
valor definido? Apresenta alguma tendência definida de crescimento ou queda? 
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(e) [0,5 ponto] Qual seria a especificação adequada de uma regressão visando captar a relação entre 
l_YT e l_AT no curto prazo? Escreva a equação a ser estimada. 
RESPOSTA 
(a) Pela equação 2, vemos que a hipótese de raiz unitária em l_YT não pode ser rejeitada, pois a 
estatística do teste ADF (-2,373) não supera o valor crítico apropriado a 5% (-3,41); pela equação 3, 
vemos que a hipótese de raiz unitária na primeira diferença de l_YT (d_l_YT) é rejeitada, pois a 
estatística de teste (-11,66) supera o valor crítico a 5% (-3,41). Logo, concluímos que l_YT possui 
apenas uma raiz unitária, sendo I(1). 
Usando o mesmo raciocínio acima, vemos que l_AT também é I(1), pois a hipótese de raiz unitária 
não é rejeitada para a variável em nível (estatística = -1,621 > -3,41), mas é rejeitada para a variável 
em primeira diferença (-8,57 < -3,41). 
Por fim, vemos que u1 é I(1), pois a hipótese de raiz unitária não é rejeitada (estatística = -2,042 > 
valor crítico = -3,35 – note que o valor crítico aqui se refere ao teste de cointegração, pois se trata do 
resíduo de uma regressão). 
(b) Trata-se de uma regressão em que as variáveis são I(1) e o resíduo da regressão também é I(1); logo, 
as variáveis não são cointegradas e a regressão é espúria – com resultados, portanto, não confiáveis. 
(c) A estatística DW aponta forte autocorrelação positiva, pois seu valor é substancialmente menor que 
2. Esse resultado é compatível com as respostas anteriores, nas quais vimos que u1 é I(1) – devendo, 
portanto, apresentar forte autocorrelação positiva. 
(d) Para que a razão YT/AT fosse estável no LP, a combinação l_YT – l_AT deveria ser estacionária; ou 
seja, as variáveis l_YT e l_AT deveriam ser cointegradas com vetor de cointegração (1, -1). Vimos, 
porém, que tais variáveis não são cointegradas, de modo que a produtividade YT/AT não é estável 
no tempo. Caso a razão YT/AT apresentasse alguma tendência definida de queda ou crescimento no 
LP, poderíamos esperar que a combinação l_YT – beta*l_AT fosse estacionária (com coeficiente 
beta >1 no caso de uma tendência definida de crescimento e beta <1 no caso de uma tendência 
definida de queda); ou seja, as variáveis l_YT e l_AT deveriam ser cointegradas com vetor de 
cointegração (1, -beta). Como tais variáveis não são cointegradas, a produtividade YT/AT não parece 
apresentar uma tendência definida – caracterizando-se por uma tendência estocástica. 
(e) Dado que l_YT e l_AT não são cointegradas, uma especificação adequada para captar a relação de 
curto prazo entre tais vaiáveis seria uma equação com as variáveis em primeira diferença. Por 
exemplo, algo como: 
0 1( ) ( )t t tlYT lAT ub bD = + D + 
Evidentemente, a equação poderia incluir defasagens das variáveis em primeira diferença, para 
captar melhor a relação dinâmica entre elas. 
 
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Questão 3 (3 pontos) – A fim de investigar a relação entre o volume de exportação (XQ), o preço de 
exportação (XP) e a taxa de câmbio efetiva real (TC), um economista estima um modelo VAR para essas três 
variáveis, todas em logaritmo, com dados mensais entre 1980 e 2010. Os resultados da estimação estão 
reportados abaixo. 
 
VAR system, lag order 2 
OLS estimates, observations 1980:03-2010:04 (T = 362) 
 
Equation 1: l_XQ 
 coefficient std. error t-ratio p-value 
 --------------------------------------------------------- 
 const -0.542169 0.449751 -1.205 0.2288 
 l_XQ_1 0.635445 0.0505118 12.58 2.88e-030 *** 
 l_XQ_2 0.321644 0.0507732 6.335 7.19e-010 *** 
 l_XP_1 0.243349 0.323278 0.7528 0.4521 
 l_XP_2 -0.152422 0.320961 -0.4749 0.6352 
 l_TC_1 0.244055 0.163254 1.495 0.1358 
 l_TC_2 -0.176876 0.164607 -1.075 0.2833 
 
Mean dependent var 3.724680 S.D. dependent var 0.546068 
Sum squared resid 5.711588 S.E. of regression 0.126842 
R-squared 0.946941 Adjusted R-squared 0.946045 
F(6, 355) 1055.951 P-value(F) 6.3e-223 
rho -0.066255 Durbin-Watson 2.128769 
 
F-tests of zero restrictions: 
All lags of l_XQ F(2, 355) = 1263.6 [0.0000] 
All lags of l_XP F(2, 355) = 0.93717 [0.3927] 
All lags of l_TC F(2, 355) = 1.8132 [0.1646] 
All vars, lag 2 F(3, 355) = 13.774 [0.0000] 
 
Equation 2: l_XP 
 coefficient std. error t-ratio p-value 
 --------------------------------------------------------- 
 const 0.146424 0.0719190 2.036 0.0425 ** 
 l_XQ_1 0.0164446 0.00807727 2.036 0.0425 ** 
 l_XQ_2 -0.00772974 0.00811908 -0.9520 0.3417 
 l_XP_1 0.790545 0.0516950 15.29 6.51e-041 *** 
 l_XP_2 0.185976 0.0513245 3.624 0.0003 *** 
 l_TC_1 -0.0878199 0.0261057 -3.364 0.0009 *** 
 l_TC_2 0.0717142 0.0263220 2.724 0.0068 *** 
 
Mean dependent var 4.422765 S.D. dependent var 0.156191 
Sum squared resid 0.146050 S.E. of regression 0.020283 
R-squared 0.983416 Adjusted R-squared 0.983136 
F(6, 355) 3508.579 P-value(F) 0.000000 
rho 0.002469 Durbin-Watson 1.993384 
 
F-tests of zero restrictions: 
All lags of l_XQ F(2, 355) = 5.2894 [0.0055] 
All lags of l_XP F(2, 355) = 3476.1 [0.0000] 
All lags of l_TC F(2, 355) = 6.9834 [0.0011] 
All vars, lag 2 F(3, 355) = 6.8216 [0.0002] 
 
Equation 3: l_TC 
 coefficient std. error t-ratio p-value 
 --------------------------------------------------------- 
 const 0.404066 0.136542 2.959 0.0033 *** 
 l_XQ_1 -0.0142578 0.0153351 -0.9298 0.3531 
 l_XQ_2 0.0225965 0.0154145 1.466 0.1436 
 l_XP_1 -0.0531405 0.0981454 -0.5414 0.5885 
 l_XP_2 0.0101804 0.0974420 0.1045 0.9169 
 l_TC_1 1.32071 0.0495630 26.65 1.05e-086 *** 
 l_TC_2 -0.374737 0.0499736 -7.4995.21e-013 *** 
 
Mean dependent var 4.545536 S.D. dependent var 0.179758 
Sum squared resid 0.526435 S.E. of regression 0.038509 
R-squared 0.954870 Adjusted R-squared 0.954108 
F(6, 355) 1251.870 P-value(F) 2.1e-235 
rho 0.030027 Durbin-Watson 1.939705 
 
F-tests of zero restrictions: 
All lags of l_XQ F(2, 355) = 1.7551 [0.1744] 
All lags of l_XP F(2, 355) = 1.8986 [0.1513] 
All lags of l_TC F(2, 355) = 2158.7 [0.0000] 
All vars, lag 2 F(3, 355) = 19.044 [0.0000] 
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 6 
Em seguida, o economista calcula funções de resposta a impulso a partir do método da decomposição de 
Cholesky, usando a ordenação l_XQ – l_XP – l_TC, obtendo os seguintes resultados (com intervalos de 
confiança a 95%): 
 0
 0.02
 0.04
 0.06
 0.08
 0.1
 0.12
 0.14
 0 5 10 15 20 25
periods
l_XQ -> l_XQ
-0.015
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
 0.015
 0.02
 0.025
 0.03
 0 5 10 15 20 25
periods
l_XP -> l_XQ
-0.02
-0.01
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0 5 10 15 20 25
periods
l_TC -> l_XQ
-0.004
-0.002
 0
 0.002
 0.004
 0.006
 0.008
 0.01
 0.012
 0.014
 0.016
 0 5 10 15 20 25
periods
l_XQ -> l_XP
 0.006
 0.008
 0.01
 0.012
 0.014
 0.016
 0.018
 0.02
 0.022
 0.024
 0 5 10 15 20 25
periods
l_XP -> l_XP
-0.012
-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
 0
 0.002
 0.004
 0 5 10 15 20 25
periods
l_TC -> l_XP
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0.01
 0.015
 0.02
 0 5 10 15 20 25
periods
l_XQ -> l_TC
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
 0
 0.005
 0 5 10 15 20 25
periods
l_XP -> l_TC
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 5 10 15 20 25
periods
l_TC -> l_TC
 
 
(a) [0,5 ponto] Qual (ou quais) dessas variáveis causa alguma das outras no sentido de Granger? 
(b) [1 ponto] Quais são as restrições que o método da decomposição de Cholesky impõe ao modelo 
estrutural que relaciona as variáveis sob análise? 
(c) [0,5 ponto] “Os resultados acima sugerem que um choque na taxa de câmbio efetiva real afeta 
negativamente o preço de exportação e positivamente o volume exportado”. Comente. (Concorda? 
Discorda? Por quê?) 
(d) [0,5 ponto] “As FRI sugerem que as variáveis em questão são estacionárias”. Comente. 
(e) [0,5 ponto] A ordem de defasagem do VAR acima é 2. A tabela abaixo mostra os valores dos 
critérios de informação de Akaike e Schwarz para todas as ordens de defasagem entre 1 e 4. Em qual 
desses critérios o economista parece ter se baseado para selecionar a ordem de defasagens do VAR? 
 
defasagens AIC BIC 
 1 -9.529929 -9.400392 
 2 -9.788614 -9.561924 
 3 -9.800968 -9.477126 
 4 -9.778648 -9.357653 
RESPOSTA 
 
(a) l_XQ e l_TC causam l_XP no sentido de Granger, pois a exclusão das defasagens de l_XQ e de 
l_TC da equação de l_XP é rejeitada pelo teste-F ao nível de significância de 1% (as respectivas 
estatísticas de teste são 5,28 e 6,98, com p-valores menores do que 0,01). Na equação de l_XQ, as 
defasagens de l_XP e l_TC não se revelam significativas ao nível de 10%, de modo que não há 
causalidade de Granger; o mesmo ocorre na equação de l_TC, onde as defasagens de l_XQ e l_XP 
não são significativas. 
 
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(b) Como se usou a ordenação l_XQ – l_XP – l_TC, foi imposta a restrição de que: (i) l_XQ não é 
afetada contemporaneamente por nenhuma das outras variáveis, (ii) l_XP é afetada 
contemporaneamente por l_XQ, (iii) l_TC é afetada contemporaneamente por ambas l_XQ e l_XP. 
Além disso, o método da decomposição de Cholesky impõe a restrição de que os choques estruturais 
nessas variáveis não sejam correlacionados entre si – o que implica, por exemplo, que não haja 
variáveis omitidas do modelo que afetem contemporaneamente duas ou mais das variáveis 
analisadas. (Vale notar que supõe-se que a matriz de relações contemporâneas do modelo estrutural 
já tenha sido normalizada – que é um procedimento usual não associado especificamente ao método 
da decomposição de Cholesky). 
 
(c) A afirmativa está aproximadamente correta. Os gráficos l_TC => l_XQ e l_TC => l_XP mostram o 
efeito de um choque em l_TC sobre l_XQ e l_XP ao longo do tempo, e as estimativas pontuais das 
FRI realmente indicam que o efeito sobre l_XQ é positivo e o efeito sobre l_XP é negativo. Vale 
notar apenas que o efeito sobre l_XQ não é estatisticamente significativo a 5% (apesar de parece 
estar próximo da significância nos primeiros períodos após o choque). 
 
(d) A afirmativa não é correta. Os gráficos das FRI sugerem que os choques nesse sistema têm efeitos 
permanentes sobre os níveis das variáveis (pois as FRI não convergem para zero), de modo que as 
variáveis parecem ser não-estacionárias. 
 
(e) O critério de Akaike sugere 3 defasagens (pois o valor da estatística com 3 defasagens é o menor de 
todos), ao passo que o critério de Schwarz sugere duas defasagens. Logo, o economista parece ter se 
baseado no critério de Schwarz. 
 
 
APÊNDICE 
Valores Críticos do Teste ADF a 5%: 
 - Equação com constante: -2,86 
 - Equação com constante e tendência -3,41 
 Valor Crítico do Teste de Cointegração de Engle -Granger a 5%: 
 - Equação com 2 variáveis: -3,35 
 
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