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NOME DA DISCIPLINA
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Disciplina:Cinemática e Dinâmica dos Mecanismos
Aula 01
Prof: Pablo Luiz
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
OBJETIVOS:
	Estudar	o	movimento	de	corpos	rígidos	e mecanismos no plano (translação e rotação).
 Estudar o movimento relativo (velocidade e aceleração relativa, centro instantâneo de velocidade nula)

Estudar o movimento relativo de sistemas articulados (referenciais em rotação).
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
TRANSLAÇÃO:
Ocorre quando todo segmento de reta no corpo mantém-se paralelo à sua direção inicial, durante o movimento.
TRANSLAÇÃO	RETILÍNEA:
Quando as trajetórias de quaisquer dois pontos do corpo ocorrem ao longo de retas eqüidistantes.
TRANSLAÇÃO	CURVILÍNEA:
Quando as trajetórias se dão ao longo de linhas curvas que são eqüidistantes.
Ocorre	quando
o	corpo	executa	uma
combinação	de	uma	translação	e	de	uma rotação.
A translação ocorre num dado plano de referência e a rotação ocorre em torno de um eixo perpendicular a esse plano de referência.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
ROTAÇÃO:
Ocorre Quando um corpo rígido gira em torno de um eixo fixo. Assim, todos os seus pontos, exceto os situados no eixo de rotação, movem- se ao longo de trajetórias circulares.
MOVIMENTO PLANO GERAL:
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO
(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)
Translação Curvilínea
Movimento Plano Geral
Translação Retilínea
Rotação em Torno de um Eixo
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
TRANSLAÇÃO
rB	 rA  rB / A
v B  v A
a) Deslocamento
b) Velocidade
rB	 rA  rB / A
aB  a A
c) Aceleração
OBSERVAÇÃO: todos os pontos de um corpo rígido em movimento de translação têm a mesma velocidade e a mesma aceleração.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Os ocupantes deste brinquedo estão submetidos a uma translação curvilínea, pois o veículo se move numa trajetória circular, mantendo sempre sua posição na horizontal.
Todos os ocupantes estão com a mesma velocidade e sentem a mesma aceleração.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Posição Angular de r
É definida pelo ângulo , medido de uma linha de referência fixa até r.
Deslocamento Angular
É a mudança de posição angular, que pode ser medida como um vetor de infinitesimal d.
Velocidade Angular ( )
É a taxa de variação da posição angular.
(rad/s)
dt
  d  
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Aceleração Angular ()
Mede a taxa temporal de variação da velocidade angular.
  d
dt
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
dt
  d
  d
dt
 d   d
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
dt
o
c
c	c
	
	 d  d   dt		 d  	t dt	

  0  ct
0
ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE
Velocidade angular em função do tempo:
Posição angular em função do tempo:
2	2
0
0
t 2
t 2
dt
0	c
o
c
o
c
0	c	0
  0  0t  c	   	 0t  
t	t
dt  	tdt
  d  	  t  d  (



  t)dt		 d  

Velocidade angular em função da posição angular:
)
1
2
0
2	2
0
0
(	 	)  	(  



2  2  2	(  	)
0	c	0
0	c
c 
c
d 
 d  	d 	  d  
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Velocidade do Ponto P
A velocidade de P tem módulo que pode ser obtido a partir de suas coordenadas polares
vr  r	v  r
Como r é constante, a componente radial vr
=0 e, portanto
v  v  r
Pelo fato de que	  	, então
v  r
Como mostram as figuras, a direção de v é tangente	à trajetória circular.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Da definição de produto vetorial, vemos que o vetor v também pode ser obtido pelo produto vetorial de  por r
v  r  ω  r
A ordem dos vetores no produto deve ser mantida. A ordem trocada fornece r=-v
O	sentido	de	v	é	estabelecido	pela regra da mão direita
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Aceleração do Ponto P
A aceleração de P pode ser expressa em termos de suas componentes normal e tangencial
dt
	at   r
at  dv  d (r)
O vetor at representa a taxa de variação temporal da velocidade escalar. Se a velocidade escalar de P está aumentando então at tem sentido de v. Se a velocidade está diminuindo at tem sentido oposto de v. Se a velocidade é constante at é zero.
O vetor an representa a taxa de variação temporal da direção da velocidade. Este vetor é sempre voltado para o centro O.
r
v2
	an  2r
dt
(r)2
an 		
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Usando	formulação	vetorial,	a	aceleração	de	P	também	pode	ser definida diferenciando o vetor velocidade:
a  at  an  α  r - ω2r
O módulo de a é dado por:
a 	a2  a2
t	n
a	 ω  (ω r)   2r
n
at  α r

	
	

dt 
dt	dt	 dt
a  dv  d ω  r   dω  r    ω  dr 
a  α  r  ω  v
a  α  r  ω  ω  r
Pode ser mostrado que a equação acima reduz-se a:
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE
Movimento Angular:
Estabeleça um sentido positivo ao longo do eixo de rotação
Conhecendo uma relação entre duas das quatro variáveis , ,  e t, uma terceira variável pode ser determinada usando-se uma das seguintes equações cinemáticas que relacionam todas as variáveis:
  d	  d
dt	dt
 d   d
2
-	Se	a	aceleração	do	corpo	for	constante,	então	as	seguintes	equações podem ser usadas:
t 2
c
  0  ct	  0  0t  
2  2  2	(  	)
0	c	0
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Movimento de P:
-	Em	muitos	casos,	a	velocidade	de	P	e	os	dois	componentes	da	sua aceleração podem ser determinados pelas equações escalares:
v  r
at   r
an  2r
-	Se	a	geometria	do	problema	for	de	difícil	visualização,	as	seguintes equações vetoriais poderão ser usadas:
v  ω  r
at  α  r	an  ω  (ω  r)   2r
O vetor r está contido no plano de movimento de P. Qualquer um desses vetores, bem como  e , devem ser expressos em termos de seus componentes i, j, k.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Características do Movimento em alguns Elementos de Máquinas
Características do movimento de um ponto P localizado no contato entre as engrenagens
A velocidade escalar é dada por:
vP  1 r1  2 r2
A aceleração tangencial do ponto P no contato entre as engrenagens também é a mesma para as duas engrenagens:
at  1 r1  2 r2
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Polias e Correias
Um comprimento s da correia deve se desenrolar tanto para a polia maior quanto para a polia menor num mesmo intervalo de tempo (desde que a correia não escorregue). Logo:
s  1 r1  2 r2
v  1 r1  2 r2
A velocidade do ponto P na correia é a mesma para cada ponto na correia.
at  1 r1  2 r2
A aceleração tangencial do ponto P na correia é a mesma para cada ponto na correia.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
EXERCÍCIO
Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente em repouso, como indica a figura. Aplica-se uma força ao cabo, que então adquire uma aceleração a=(4t)m/s2, onde t é dado em segundos. Determine como funções do tempo:
a velocidade angular do disco e
a posição angular do segmento OP, em radianos.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
SOLUÇÃO
1)Dados do Problema:
t
rP  0,2m
0  0	e	0  0;	aP	 4  t ;
e	P  ?
2)	Pede-se: P  ?
r	0,2
a
P
P
P
t
 20rd/ s 2
 4 * t 
aP	 P *rP P 
t
t
dt
0
t 2
0	0	0
2
20
P  10t 2rd/ s
d	
P 	P  dP  PdtP   20tdt 
	t	t
t
dt
0
t 3
0	0	0
3
10
P  3,33t3rd
P  dP  PdtP  10tdt 
d	
P 
	t	t
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
EXERCÍCIO
Usa-se o motor para girar uma roda com suas pás no interior do equipamento mostrado na foto.
Os detalhes estão na figura abaixo à direita.
Se a polia A conectada ao motor inicia seu movimento a partirdo repouso, com uma aceleração angular A=2 rad/s2, determine os módulos da
velocidade e da aceleração do ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução.
Suponha que a correia de transmissão não escorregue na polia e nem na roda.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
SOLUÇÃO
Dados do Problema:
Pede-se:
C
B	 0 e	B	 0
0	0
A	 2rd/ s 2 ;A  1rev
A	 0	e	A	 0;
0	0
rA  0,15m	rB  0,4m;
vP  ?	e	aP  ?
r
r
B
B
A
0,4
 2,36rd
 6,28. 0,15 
A rA  B rB B  A .
A  1* 2  6,28	rd
Como não há deslizamento da correia:
0,4
r
BC
B
. rA
AC
BC
BC	B
AC	A
 0,885rd/ s 2
 2,36. 0,15 
	r	 	r		 
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
2
2
n
B	B	Pn
r	 2,044	* 0,4a	 1,67m / s2
aP	 
Sendo a aceleração angular constante, tem-se:
 2   2	 2			
B	B0	BC	B	B0
B 	2B B 	2 * 0,885* 2,36 B  2,044rd/ s
C
A velocidade do ponto P é:
vP  B rB  vP  2,044 * 0,4 vP  0,82m / s
A aceleração do ponto P é obtida das duas componentes de aceleração:
aP	 B	rB  0,885* 0,4aP	 0,354m / s2
t	C	t
a2
P
Pt
 1,71m / s 2
 a2		0,3542 1,672 a
Pn
aP 
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
EXERCÍCIO
O mecanismo para movimentação do vidro da janela de um carro é
na	figura	ao	lado.
mostrado Quando gera-se
engrenagem	C,	que
a	manivela	é	acionada o		movimento	da
gira	a
engrenagem S, fazendo com que a barra AB nela conectada eleve o vidro D. Se a manivela gira a 0,5 rd/s, determine a velocidade dos pontos A e E, nas suas trajetórias circulares e a velocidade Vw da janela quando ϴ igual a 30 graus.
Cinemática de Corpos Rígidos e Mecanismos
Pede-se:
SOLUÇÃO
Dados do Problema:
C  0,5rd/ s 2 ;rC  20mm;	rS  50mm;
AB  200mm
v A	 vE	 ?	e	vw  ?
t	t
S
S
C
r	50
r	20
 0,5.		 0,2rd/ s
C rC  S rS S  C .
Como a velocidade tangencial nas engrenagens é a mesma:
Como	os	pontos	A	e	E	têm movimento	de translação circular, suas velocidades são:
v A  vE  S * AB  v A  0,2 * 0,2 v A  0,04m / s
v W  v A * cos( )  0,04 * cos(30o ) v W  0,035m / s