aula_02.1

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Bacharelado em Estatística – 2012.3 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 2 – Modelo constante; previsão por médias (global e móvel) 
 
 
Forma geral dos modelos não-sazonais: 
 
tttZ εµ += 
onde εt são variáveis i.i.d., E(εt)=0, V(εt)=σ2 
µt : nível médio no instante t 
 
1) Modelo constante: 1at =µ 
2) Modelo linear: taat 21 +=µ 
3) Modelo quadrático: 2321 tataat ++=µ 
 
Notação: 
 )(ˆ kZT : previsão k passos à frente, feita no instante T 
ou TkTZ |ˆ + : previsão do valor no instante T+k, feita no instante T 
 
 
1) Modelo constante 
 
tt aZ ε+= 1 
onde εt são variáveis i.i.d., E(εt)=0, V(εt)=σ2, t∀ 
1)( aZE t = 
2)( σ=tZV 
 
Exemplos de realizações do modelo: Zt = 5 + εt, onde εt ~ N(0,1) 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
 
1) Previsões: 
 
A previsão será dada pelo valor esperado condicional da série no instante desejado: 
)|(ˆ | TkTTkT ZEZ Z++ = 
)(ˆ)|(ˆ 11| TaaEZ TkTTkT =+= ++ Zε (5.2.2) 
 
onde 
â1(T) : valor estimador para a constante â1, no instante T 
 
 
2) Estimadores de a1: 
 
2.1) Previsor “naive” (ingênuo): (texto p.205) 
TTkT ZTaZ ==+ )(ˆˆ 1| 
 
2.2) Previsor por média “global” 
T
ZZZTaZ TTTkT 111|
...)(ˆˆ +++== −+ 
 
2.3) por médias móveis de tamanho N (texto p.205) 
N
ZZZMTaZ NTTTTTkT
11
1|
...)(ˆˆ +−−+
+++
=== (5.2.3) 
 
 
3) Medidas do erro de previsão 
 
 
Definição: Erro de previsão k-passos à frente: (Barros) 
ktttktt ZZe −− −= || ˆ (compare com def. 5.1.3) 
 
 onde 
 et|t-k : erro da previsão de Zt, feita em t-k (i.e., previsão k-passos à frente) 
 Zt : valor observado no instante t 
 Zt|t-k : valor previsto para Zt, a partir do instante t-k 
 (i.e., previsão k-passos à frente) 
 
 outra forma de escrever esta expressão é: 
 tktkttkt ZZe || ˆ +++ −= 
 
Caso particular - na maioria das vezes, faremos previsões um-passo-à-frente, 
1|1| ˆ −− −= ttttt ZZe 
 
e usaremos uma notação simplificada: 
 ttt ZZe ˆ−= 
 
 
Medidas usuais de erro: 
 
- erro médio ME (Mean Error): 
∑
=
=
N
t
teN
ME
1
1
 
 
- erro absoluto médio MAE (Mean Absolute Error): 
∑
=
=
N
t
teN
MAE
1
1
 
 
- erro percentual médio MPE (Mean Percent Error): 






=
t
t
t Z
ePE .100
 
∑
=
=
N
t
tPEN
MPE
1
1
 
 
- erro absoluto percentual médio MAPE (Mean Absolute Percent Error): 
t
t
t Z
eAPE .100=
 
∑
=
=
N
t
tAPEN
MAPE
1
1
 
 
- erro médio quadrático MSE (Mean |Square Error): 
∑
=
=
N
t
teN
MSE
1
21
 
 
 
 
Exercício: tente implementar em R, os métodos de previsão baseados em média global, e em 
médias móveis de tamanhos 3, 6 e 10. Faça previsões da série ZT, e compare seus resultados 
com os mostrados abaixo. 
 
t observações previsões 
 Zt media 
total 
MM3 MM6 MM10 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 
31 
 1.9668 
 5.3654 
 1.6105 
 5.6186 
 3.4975 
 2.0157 
 3.6685 
 3.8224 
 2.0038 
 3.6437 
 2.9857 
 3.4064 
 3.1905 
 2.3801 
 1.2319 
 3.3564 
 3.1296 
 2.1226 
 2.9489 
 2.5925 
 2.2663 
 4.0707 
 3.0408 
 3.3074 
 3.3165 
 4.6021 
 3.3201 
 4.4165 
 4.8237 
 2.9700 
- 
- 
1.9668 
3.6661 
2.9809 
3.6403 
3.6118 
3.3457 
3.3919 
3.4457 
3.2855 
3.3213 
3.2908 
3.3004 
3.2920 
3.2268 
3.0938 
3.1102 
3.1114 
3.0564 
3.0508 
3.0279 
2.9916 
3.0407 
3.0407 
3.0518 
3.0624 
3.1216 
3.1289 
3.1749 
3.2318 
3.2231 
- 
- 
- 
2.9809 
4.1982 
3.5755 
3.7106 
3.0606 
3.1689 
3.1649 
3.1566 
2.8777 
3.3453 
3.1942 
2.9923 
2.2675 
2.3228 
2.5726 
2.8695 
2.7337 
2.5547 
2.6026 
2.9765 
3.1259 
3.4730 
3.2216 
3.7420 
3.7462 
4.1129 
4.1868 
4.0701 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
3.3457 
3.6294 
3.3722 
3.4377 
3.1086 
3.0233 
3.2551 
3.1754 
2.9350 
2.8064 
2.7585 
2.7825 
2.5685 
2.5282 
2.5637 
2.7361 
2.8551 
2.8403 
3.0378 
3.0990 
3.4340 
3.6096 
3.6672 
3.9644 
3.9081 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
3.3213 
3.4232 
3.2273 
3.3853 
3.0614 
2.8349 
2.9689 
2.9150 
2.7451 
2.8396 
2.7345 
2.6625 
2.7290 
2.7140 
2.8067 
3.0152 
3.1397 
3.1588 
3.3882 
3.5757 
3.6134