Aula_14__Processos_AR_1__e_AR_2__ho

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Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
Bacharelado em Estatística – 2011.3 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 14 – Processos AR(1) e AR(2) 
 
 
1. Processo AR de primeira ordem (Markov) 
 
O modelo AR mais simples é o de primeira ordem (usualmente chamado de processo 
de Markov), que pode ser descrito como: 
ttt azz ++= −11φξ (1) 
 
Ou, em termos dos valores centrados: 
ttt azz += −11φ (2) 
tt azB =− )1( φ (3) 
 
Como foi dito antes, um modelo AR é um caso especial do filtro linear: 
tt aBz )(Ψ= 
 
É fácil verificar isto para o caso do AR(1). A forma em (3) pode ser reescrita como 
tt aB
z )1(
1
1φ−
= 
 
Lembrando que o operador B pode ser tratado como uma variável algébrica, e da propriedade 
de uma série de potências: 
...1
1
1 2 +++=
−
aa
a
, se a<1 (4) 
 
podemos reescrever o modelo como 
ttt aBBaB
z ...)1()1(
1 22
11
1
+++=
−
= φφφ 
 
Portanto, o modelo AR(1) em (2) pode ser escrito como um filtro linear (isto é, como uma 
combinação linear de choques at): 
tt aBBz ...)1( 2211 +++= φφ (5) 
 
onde a função de transferência é 
...)1()()( 22111 +++=Φ=Ψ − BBBB φφ 
 
 
1.1. Condições de estacionariedade 
 
Como visto anteriormente, um modelo AR será estacionário se as raízes de sua equação 
característica estiverem fora do círculo unitário. Para o modelo em (2), a equação 
característica será dada por: 
01 1 =− Bφ 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
cuja raíz é: 
1
1
φ=B 
 
Logo, para que a raiz esteja fora do círculo unitário 
|B| > 1 
 
é preciso que 
|φ1|<1 
 
Isto é fácil de compreender, intuitivamente, pois se |φ1|>1, Zt iria crescer indefinidamente, e o 
processo não teria uma média constante. [Se |φ1| = 1, obtemos um processo não-estacionário 
particular, o passeio aleatório, que será estudado mais tarde]. 
 
 
1.2. Média e variância 
 
Para obtermos a média do processo AR(1), tomamos o valor esperado de ambos os membros 
em (1): 
ttt azz ++= −11φξ 
)()( 11 −+= tt zEzE φξ 
 
Uma vez que E(zt) = E(zt-1) (já que a série é estacionária), 
ξφ =− )()1( 1 tzE 
11
)( φ
ξµ
−
== tzE 
 
Se o modelo for escrito em termos dos valores centrados como em (2), 
ξ=0 → µ=0 
 
Se o processo AR(1) for escrito na forma de um filtro linear como em (5): 
...2
2
111 −− ++= tttt aaaz φφ 
 
sua variância será 
...)var()var( 22111 −− ++= tttt aaaz φφ 
24
1
2
1
2
...)1( aZ σφφσ +++= (6) 
 
Usando a propriedade das séries de potências em (4), podemos também reescrever a variância 
na forma 
2
1
2
2
1 φ
σ
σ
−
=
a
z (7) 
 
Note que, para que esta série (5) em φi seja convergente, e a variância 2Zσ em (7) tenha um 
valor finito, será preciso que |φ1|<1. Isto confirma a condição de estacionariedade vista no 
item anterior. 
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1.3. Função de autocorrelação 
 
Da expressão da FAC para um processo AR qualquer: 
pkpkkk −−− +++= ρφρφρφρ ...2211 
 
No processo AR(1), φk = 0 para k>; resta portanto apenas o termo em φ1: 
11 −= kk ρφρ 
 
Como ρ0 = 1, 
1011 φρφρ == 
2
1112 φρφρ == 
... 
k
k 1φρ = 
 
A série de autocorrelações será portanto constituída de potências sucessivas de φ1. Se φ1 > 0, 
os valores das autocorrelações decairão de forma exponencial; se φ1<0, na forma de uma 
senóide amortecida. Note que, para o AR(1), a autocorrelação de defasamento 1 é igual ao 
coeficiente φ1 do modelo: 
11 φρ = 
 
 
 
FAC de um modelo AR com φφφφ1 = 0,7 FAC de um modelo AR com φφφφ1 = - 0,7 
 
 
1.4. Função de autocorrelação parcial 
 
Das expressões, acima, podemos determinar φ11: 
110111 φρφρ == 
 
Como 11 φρ = , temos 
111 φφ = 
 
Para determinar φ22, escrevemos um sistema de duas equações de Yule-Walker: 
112111 ρφφρ += 
221212 φρφρ += 
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A solução deste sistema é dada por: 
2
1
2
12
1
1
21
1
22 1
1
1
1
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
φ
−
−
=












= 
Como 
k
k 1φρ = 
2
12 φρ = 
0
11 21
2
1
2
1
2
1
2
12
22 =
−
−
=
−
−
= φ
φφ
ρ
ρρφ 
 
Portanto, só há um valor válido para a FACP; todos os φkk serão nulos para k>1. Isto nos 
permitirá identificar facilmente o processo gerador de uma série, a partir de suas FAC e 
FACP. 
 
 
2. Processo AR de segunda ordem – AR(2) 
 
O processo AR de segunda ordem é representado por 
tttt azzz ++= −− 2211 φφ 
tt azBB =−− )1( 221 φφ 
 
 
2.1. Condições de estacionariedade 
 
Para que o processo seja estacionário, é preciso que as raízes da equação característica 
01 221 =−− BB φφ 
 
estejam fora do círculo unitário; para um AR(2), isto vai implicar em: 
112 <+φφ 
112 <−φφ 
11 2 <<− φ 
 
Estas três condições equivalema a dizer que os parâmetros devem estar contidos na área 
sombreada abaixo: 
 
 
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2.2. Função de autocorrelação 
 
Para um processo AR(2), as equações de Yule-Walker se resumem a: 
1211 ρφφρ += 
2112 φρφρ += 
 
A partir delas, obtemos as relações abaixo entre as autocorrelações ρ e os parâmetros φ do 
modelo: 
2
1
21
1 1
)1(
ρ
ρρφ
−
−
= 
2
1
2
12
2 1 ρ
ρρφ
−
−
= 
Ou: 
2
1
1 1 φ
φρ
−
= (8) 
2
2
1
22 1 φ
φφρ
−
+= (9) 
 
Analogamente ao observado para os processos AR(1), as FACs de processos AR(2) 
assumirão também a forma de uma mistura de exponenciais ou de senóides amortecidas. 
Os valores seguintes de ρ podem ser obtidos por equações auto-regressivas: 
12213 ρφρφρ += 
22314 ρφρφρ += 
pkpkkk −−− +++= ρφρφρφρ ...2211 
 
 
2.3. Média e variância 
 
Da expressões para a média e a variância de um processo AR(p), podemos obter expressões 
para a média e a variância no caso particular do processo AR(2): 
 
Média: 
- caso geral AR(p) 
pφφφ
ξµ
−−−−
=
...1 21
 
 
- caso particular AR(2) 
211 φφ
ξµ
−−
= 
 
Variância: 
- caso geral AR(p): 
pp
a
z ρφρφρφ
σ
σ
−−−−
=
...1 2211
2
2
 
 
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- caso particular AR(2): 
2211
2
2
1 ρφρφ
σ
σ
−−
=
a
z 
 
Substituindo ρ1 e ρ2 por seus valores dados em (8) e (9), obtemos 
2
1
2
2
2
2
22
)1(1
1
φφ
σ
φ
φ
σ
−+






+
−
=
a
z 
 
2.4. FACP 
 
Usando os resultados da aula passada, válidos para os processos AR de qualquer 
ordem, podemos calcular os valores φkk da FACP, em função dos valores ρk da FAC: 
111 ρφ = 
2
1
2
12
22 1 ρ
ρρφ
−
−
= 
2
2
2
21
2
1
3
1
2
213
2
1213
33 221
2
ρρρρ
ρρρρρρρρφ
−+−
++−−
= 
 
Substituindo nestas expressões os valores de ρ1 e de ρ2 pelas suas expressões em termos dos 
coeficientes φ1 e φ2 do modelo, dadas em (8) e (9), obtemos 
2
1
11 1 φ
φφ
−
= 
2
1
2
22
2
2
1
3
2
2
22
22 21
2
φφφ
φφφφφφ
−+−
−+−
= 
033 =φ 
 
Serão nulos todos os φkk, para k>2. Para um processo AR(2), portanto, só os dois primeiros 
valores da FACP são diferentes de zero.