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Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
• Compensador derivativo ideal (Proporcional Derivativo – PD)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• Compensador por Avanço de Fase:
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Formas de se fazer isto:
( ) cc zssG +=
( )
c
c
c ps
zs
sG
+
+
=
Função de Transferência do controlador: 
Gc(s) = K2.s+ K1 = K2(s+K1 / K2)
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0,504
Plano s
120,26°
1,205
43,35
2,064
7,59
Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação Proporcional Derivativo - PD 
Para o exemplo 9.3. Projetar um compensador derivativo ideal para o sistema abaixo, de forma a 
produzir uma ultrapassagem de 16%, com uma redução de três vezes no tempo de assentamento.
Sistema não-compensado:
UP = 16% → ζ = 0,504 → ζ = cos θ → θ = 180o-120, 26o = 59,74o
Pólo dominante: -1,205 ± j2,064 , com K = 43,35
T
s
 = 4/ζω
n
 = 4/1,205 = 3,320 seg
Terceiro pólo: -7,59 (K=43,35) →
→ permite aproximação para 
sistema de segunda ordem.
Sistema não-compensado
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0,504
3,613 6,193
Posição
desejada
do pólo
dominante
do sistema
compensado
Pólo dominante do
sistema não-compensado
1,205 2,064
Plano s
 120,26° 
7,59
Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação Proporcional Derivativo - PD 
Para o exemplo 9.3. Projetar um compensador 
derivativo ideal para o sistema abaixo, de forma a 
produzir uma ultrapassagem de 16%, com uma 
redução de três vezes no tempo de assentamento.
- Nova localização dos pólos dominantes:
- Parte real: 
 T
s
/3 = 3,320/3 = 1,107 seg → 
 σ = 4/T
s
 = 4/1,107 = 3,613 seg
- Parte imaginária: 
 ω
d
 = 3,613.tg(180o-120,26o) = 6,193
Pólo Dominante Desejado
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0,504
1,205
3,613 6,193
Posição desejada
do pólo
dominante do
 sistema 
compensado
Plano s
Pólo dominante
do sistema 
não-compensado
95,6°
2,064
120,26°
Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação Proporcional Derivativo - PD 
Localização do Zero do Compensador:
- Entrar com os pólos e zeros do sistema 
não-compensado no “RootLocus”;
- Ponto de projeto: -3,613 ± j6,193
- A diferença entre o o ângulo obtido e 180o 
é a contribuição angular necessária do zero 
do compensador;
- Soma dos ângulos: -275,6o;
- A contribuição angular requerida do zero 
do compensador no ponto de teste para que 
este esteja sobre o lugar das raízes é:
 +275,6o – 180o = 95,6o.
- Da geometria da figura ao lado é possível 
determinar a localização do zero do 
compensador: -σ
6,193 / (3,613 −σ) = tg(180o−95,6o)
σ = 3,006
Zero do Compensador
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Posição desejada 
do pólo dominante 
do sistema 
compensado
Plano s
120,26°
Pólo a malha fechada
0,504
Pólo a malha aberta
47,45
3,613 6,193
2,775
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação Proporcional Derivativo - PD 
Lugar das Raízes 
Compensado
Compensado Não-compensado
Tempo(s)
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
Resposta ao Degrau do Sistema Não-compensado 
e do Sistema compensado 
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação Proporcional Derivativo - PD 
Características previstas para os Sistemas: Não-Compensado e Compensado
Não-compensado Simulação SimulaçãoCompensado
3,006
1,205 2,064 3,613 6,193
47,4543,35
0,504 0,504
2,39
14,816 16 11,8
3,320
1,522
1,806
0,554
7,591
Nenhum
Aprox. de 
2a ordem OK
Não há cancelamento
de pólo com zero
1,2
7,17
1,107
0,507
5,94
0,5
0,168
3,006
2,775
Processo e compensador
Pólos dominantes
%UP
Terceiro pólo
Comentários
3,6
1,7
Zero
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação por Avanço de Fase 
- Do mesmo modo que um compensador integral ideal pode ser aproximado por uma estrutura 
passiva de atraso de fase, um compensador derivativo ideal pode ser aproximado por um 
compensador por avanço de fase passivo;
- Quando se utilizam estruras passivas, não é possível produzir um zero simples; em vez disso, 
resultam um zero e um pólo do compensador;
- Se o pólo estiver situado muito longe do eixo imaginário do que o zero, a contribuição angular 
do compensador é ainda positiva e portanto aproxima de um zero simples equivalente;
- A contribuição angular do pólo do compensador é subtraída da contribuição angular do zero 
mas não impede o uso do compensador para melhorar a resposta transitória, uma vez que a 
contribuição angular líquida é positiva, exatamente como faz o zero de um controlador PD 
simples.
Vantagens:
- Não há necessidade de fontes de alimentação adicionais;
- O ruído devido à derivação é reduzido.
Desvantagem:
- O pólo adicional não reduz o número de ramos do lugar das raízes que cruzam o eixo 
imaginário para o semiplano da direita; enquanto a inclusão de um zero simples do controlador 
PD tende a reduzir o número de ramos do lugar das raízes que passam para o semiplano da 
direita.
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Plano s
Localização
desejada
para o pólo
para o pólo
Plano s
Localização desejada
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação por Avanço de Fase 
- 
Geometria da Compensação 
por Avanço de Fase
Três dentre uma infinidade de 
possíveis soluções de 
compensador por avanço de 
fase
- Em que diferem os possíveis compensadores por avanço de 
fase? As diferenças estão:
- Nos valores das constantes de erro estático;
- No ganho necessário para alcançar o ponto de projeto no 
lugar das raízes compensado;
- Na dificuldade em justificar uma aproximação de 2a ordem 
quando o projeto estiver pronto;
- Na resposta transitória
resultante.
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Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
110,98°
Plano s
63,21
1,007 2,627
2,014 5,252
0,358
Posição desejada
para o pólo dominante
do sistema compensado
Pólo dominante do 
sistema não-compensado
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação por Avanço de Fase 
Exemplo 9.4. Projetar três compensadores por avanço de fase para o sistema abaixo, visando reduzir o 
tempo de assentamento à metade, mantendo a ultrapassagem percentual em 30%.
- Sistema não-compensado:
UP = 30% → ζ = 0,358 → ζ = cos θ → 
θ = 180o-110, 98o = 69,02o
Pólo dominante: -1,007 ± j2,627 , com K = 63,21
T
s
 = 4/ζω
n
 = 4/1,007 = 3,972 seg
Sistema não-compensado
-Nova localização dos pólos dominantes:
- Parte real: 
 T
s
/2 =3,972/2 = 1,986 seg → 
 -σ = −4/T
s
 =−4/1,986 = −2,014
- Parte imaginária: 
 ω
d
 = −2,014.tg(110,98o) = 5,252
- Ganho: K = 1423
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Nota: Esta figura não está desenhada em escala
Pólo a malha fechada
Pólo a malha aberta
2,014
7,31°
Plano s
 j5,252
Localização
desejada para o
pólo dominante do 
sistema compensado
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação por Avanço de Fase 
Exemplo 9.4.Projetar três compensadores por avanço de fase para o sistema abaixo, visando reduzir o 
tempo de assentamento à metade, mantendo a ultrapassagem percentual em 30%.
Localização do Ponto de Projeto
Projetando o Compensador por Avanço de 
Fase:
- Considerar: um zero do compensador em -5, 
como uma solução possível;
- Entrar com os pólos e zeros do sistema não 
compensado, mais o zero -5, no “RootLocus”;
- Ponto de projeto: -2,014 ± j5,252
- A diferença entre o ângulo obtido no 
“RootLocus” e 180o é a contribuição angular 
requerida pelo pólo do compensador;
- Soma dos ângulos: -172,69o ;
- A contribuição angular requerida do pólo do 
compensador no ponto de teste para que este 
esteja sobre o lugar das raízes é:
 -172,69o – 180o = - 352,69o = 7,31o
- Da geometria da figura ao lado é possível 
determinar a localização do pólo do 
compensador:
5,252 / (p
C
 −2,014) = tg(7,31o)
p
C
 = 42,96
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação por Avanço de Fase 
Exemplo 9.4. Projetar três compensadores por avanço de fase para o sistema abaixo, visando reduzir o 
tempo de assentamento à metade, mantendo a ultrapassagem percentual em 30%.
Lugar das Raízes do Sistema 
Compensado
Pólo a malha fechada
Plano s
42,96
Nota: Esta figura não está desenhada em escala
Pólo a malha aberta
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
Tempo (s)
Não-compensado
Compensação, c
Compensação, a, b
Respostas dos Sistemas não-compensado e 
com Compensação por Avanço de Fase
Nota: esta figura não está desenhada em escala.
A aproximação de 2a ordem é válida? (SIM)
- 3o e 4o pólos (K=1423): −43,8 e −5,134
- O polo −43,8 é 20 vezes maior que a parte real do pólo dominante −2,014 (OK!)
- O pólo −5,134 está próximo do zero −5 → cancelamento de pólo e zero é possível (OK!)
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando a Resposta Transitória – Compensação em Cascata
Compensação por Avanço de Fase 
- Resultados para três projetos por avanço de fase, os quais posicionam arbitrariamente o zero do 
compensador em -5, -4 e -2.
- Cada projeto depois de pronto deve ser verificado por uma simulação (em MatLab, por exemplo).
Não-compensado Compensação a Compensação b Compensação c
Processo e
compensador
Pólos dominantes
%UP
Outros pólos
Comentários
1,007 2,627
63,21
0,358
2,813
30(28)
3,972(4)
1,196(1,3)
2,634
0,380
7,986
Nenhum
Aprox. de
2a ordem OK
Aprox. de
2a ordem OK
Aprox. de
2a ordem OK
Não há cancelamento
de pólo com zero
Nenhum
0,358
5,625
30(30,7)
42,96
2,014 5,252
1,986(2)
0,598(0,6)
6,9
0,145
43,8, 5,134
20,09
2,014 5,252
698,1
0,358
5,625
30(28,2)
1,986(2)
0,598(0,6)
5,791
0,173
22,06
2,014 5,252
8,971
345,6
0,358
5,625
30(14,5)
1,986(1,7)
0,598(0,7)
3,21
0,312
13,3, 1,642
Nota: Os resultados de simulação estão mostrados entre parênteses
Zero 5
1423
2
Comparação dos Projetos de Avanço de Fase – Exemplo 9.4
(Objetivo)
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória –
Compensação em Cascata
Projeto do Controlador PID:
Função de Transferência do controlador PID: 
Gc(s) = K1 + K2/s +K3s = [K1 s+ K2 +K3s
2] / s
[K3(s
2+ K1s/K3 +K2/K3 )] / s
- Tem dois zeros mais um pólo na origem;
- Um zero e o pólo na origem podem ser projetados como o compensador integral ideal (PI);
- O outro zero pode ser projetado como o compensador derivativo idela (PD).
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória –
Compensação em Cascata
Projeto do Controlador PID – Passos:
1 – Calcular o desempenho do sistema não-compensado para determinar quanto de 
melhoria é requerido na resposta transitória;
2 – Projetar o controlador PD para atender as especificações da resposta transitória. O 
projeto inclui a localização do zero e a determinação do ganho de malha;
3 – Simular o sistema para se certificar de que todos os requisitos tenham sido atendidos;
4 – Reprojetar se a simulação mostrar que os requisitos não foram atendidos;
5 – Projetar o contolador PI para produzir o erro de estado estacionário desejado;
6 – Determinar os ganhos K
1
, K
2
 e K
3
 da figura do slide anterior;
7 – Simular o sistema para se certificar de que todos os requisitos foram atendidos;
8 – Reprojetar se a simulação mostrar que as exigências não foram atendidas.
(ESTUDAR EXEMPLO 9.5 DO LIVRO TEXTO - NISE)
Sistemas de Controle 2010-1
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Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória – 
Compensação em Cascata
Projeto do Compensador por Atraso e Avanço de Fase – Passos:
1 – Calcular o desempenho do sistema não-compensado para determinar quanto de 
melhoria é requerido na resposta transitória;
2 – Projetar o o compensador de avanço de fase para atender as especificações da 
resposta transitória. O projeto inclui a localização do zero, a localização do pólo e o ganho 
de malha;
3 – Simular o sistema para se certificar de que todas as exigências foram atendidas;
4 – Reprojetar se a simulação mostrar que as exigências não foram atendidas;
5 – Calcular o desempenho do erro de estado estacionário relativo ao sistema compensado 
por avanço de fase, para determinar qual a melhoria adicional necessária no erro de estado 
estacionário;
6 – Projetar o compensador por atraso de fase para produzir o erro de estado estacionário 
requerido;
7 – Simular o sistema para se certificar de que todas as exigências foram atendidas;
8 – Reprojetar se a simulação mostrar que as exigências não foram atendidas.
(ESTUDAR EXEMPLO 9.6 DO LIVRO TEXTO – NISE)
Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Projeto Através do Lugar das Raizes – Parte III
Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória – Cascata
(Capítulo 09 - NISE)
Atividades para os alunos:
- Fazer os exercícios de avaliação: 9.2 e 9.3
- Fazer os problemas: 6, 7(MatLab), 9, 11, 14, 16, 18, 19, 22, 23, 25 e 26 e 27 (MatLab).
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