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Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Resposta em Frequência – Parte I (Cap. 10, NISE)
- Relaciona a Estabilidade de um sistema de Malha Fechada com a Resposta em 
Frequência de Malha Aberta e também com a posição dos Pólos e Zeros de Malha 
Aberta;
- O critério é basicamente para a Análise de Estabilidade, mas seus conceitos podem ser 
estendidos para as análises da Resposta Transitória e dos Erros de Estado 
Estacionário;
O Critério de Nyquist é baseado nos seguintes conceitos:
- Relação entre os Pólos de 1+G(s)H(s) (FTMF) e os Pólos de G(s)H(s) (FTMA);
- Relação entre os Zeros de 1+G(s)H(s) e os Pólos da função de transferência de 
malha fechada T(S);
- O conceito de mapeamento de pontos em uma função F(s);
- O conceito de mapeamento de contornos em uma função F(s).
O Critério de Nyquist baseia-se no mapeamento de contornos no plano complexo de F(s)
onde são conhecidos seus Pólos e Zeros;
Critério de Estabilidade de NYQUIST:
- O mapeamento de um Contorno no sentido horário que envolve um Zero de F(s) resulta em um 
contorno que circunda a origem do plano complexo também no sentido horário.
- O mapeamento de um Contorno no sentido horário que envolve um Pólo de F(s) resulta em um 
contorno que circunda a origem do plano complexo no sentido anti-horário.
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Resposta em Frequência – Parte I 
- Se F(s) possui “P” Pólos e “Z” Zeros envolvidos por um determinado contorno, o 
mapeamento deste contorno através de F(s) irá produzir um contorno que envolverá a 
origem “N” vezes, com N=P-Z. 
- Um resultado para “N” positivo significa que “P” é maior do “Z” e o contorno 
resultante está no sentido anti-horário;
- Por convenção, contornos positivos são aqueles no sentido anti-horário. 
Lembrando: um sistema típico de controle com realimentação negativa unitária é dado por:
Onde F.T.M.A=
e F.T.M.F=
Critério de Estabilidade de NYQUIST:
)()( sHsG
)()(1
)(
sHsG
sG
+
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Resposta em Frequência – Parte I 
- Para a Estabilidade é necessário saber se existem ou não Pólos de Malha Fechada do lado 
direito do plano “s”.
- Se for considerado um contorno que engloba todo o lado direito do plano “s” e mapear este 
contorno através de 1+G(s)H(s) pode-se, através do conceito desenvolvido anteriormente, saber 
se existem ou não Pólos instáveis.
- No entanto, para fazer o mapeamento é preciso conhecer os Pólos de 1+G(s)H(s). Em geral 
são conhecidos, pois são os Pólos de malha aberta.
- Também, para fazer o mapeamento, é preciso conhecer os Zeros de 1+G(s)H(s), que são os 
Pólos de malha fechada. No entanto, se estes Zeros forem conhecidos o problema da 
estabilidade já esta resolvido e não existe necessidade de aplicar nenhum critério.
- A idéia é utilizar não o mapeamento de 1+G(s)H(s), mas sim de G(s)H(s) para a qual em geral 
são conhecidos os Pólos e os Zeros.
- Para efeito de saber o número de Pólos dentro do contorno escolhido que engloba todo o lado 
direito do plano “s”, não se pode considerar os envolvimentos da origem, mas sim do ponto -1, 
pois, na teoria do mapeamento de contornos, somar uma constante a qualquer F(s) desloca o 
contorno mapeado para a direita desta mesma constante.
Critério de Estabilidade de NYQUIST:
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Resposta em Frequência – Parte I 
- Desta forma, se um contorno, A, que envolve todo o semiplano da direita for mapeado através 
de G(s)H(s), então o número de Pólos a malha fechada, Z, no semiplano da direita é igual ao 
número de Pólos a malha aberta, P, que estão no semiplano da direita menos o número de 
rotações no sentido anti-horário, N, em torno de -1 do mapeamento; 
- Isto é: Z=P-N
- Este mapeamento é chamado de Diagrama de Nyquist, ou Gráfico de Nyquist, de G(s)H(s).
Critério de Estabilidade de NYQUIST:
Plano s
Contorno A
Plano F
Contorno B
Mapeando o contorno A através da função F(s) no contorno B:
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Resposta em 
Frequência – Parte I 
(Exemplos de mapeamentos)
-O mapeamento de cada ponto é definido 
por meio de operações aritméticas com 
números complexos, onde o número 
resultante, R, é calculado a partir dos 
números complexos representados por V. 
Onde:
- (Caso 1) Ao se admitir o sentido horário 
para mapeamento dos pontos do Contorno 
A, então o Contorno B será mapeado no 
sentido horário se F(s) possuir unicamente 
Zeros ou possuir apenas Pólos que não 
estejam envolvidos pelo contorno.
- (Caso 2) O Contorno B será mapeado no 
sentido anti-horário se F(s) possuir apenas 
Pólos que estejam envolvidos pelo contorno.
- (Caso 3) Se o Pólo ou Zero de F(s) estiver 
envolvido pelo Contorno A, o mapeamento 
envolverá a origem.
- (Caso 4) A rotação do Pólo e do Zero se 
cancelam, e o mapeamento não envolve a 
origem.
Plano s
Contorno
Contorno
Plano s
Plano s
Contorno
Contorno
Plano s
Plano s
Contorno
Contorno
Plano F
Contorno
Plano F
Contorno
Plano F Contorno
Plano F Contorno
Plano F
Contorno
(Caso 1)
(Caso 2)
(Caso 3)
(Caso 4)
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Resposta em Frequência – Parte I 
- Existe uma única relação entre: o número de Pólos de F(s) contidos no interior do Contorno A, 
o número de Zeros contidos também no interior do Contorno A, e o número de envolvimentos da 
origem no sentido anti-horário do mapeamento do Contorno A no Contorno B. 
- Este inter-relacionamento pode ser usado para determinar a Estabilidade de sistemas a malha 
fechada → Este método de determinação da estabilidade é chamado de Critério de Nyquist.
- Considere F(s) = 1 + G(s)H(s), com distribuição dos Pólos e dos Zeros de 1 + G(s)H(s), 
conforme figura abaixo, próximo do Contorno A;
- Cada ponto Q do Contorno A é substituído em 1 + G(s)H(s) e resulta um ponto mapeado no 
Contorno B;
Representação de Mapeamento por Vetor:
Plano s
Contorno A Contorno B
Plano 1 + GH
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Resposta em Frequência – Parte I 
- À medida que se desloca ao longo do Contorno A na direção horária, cada vetor que se 
encontre no interior do Contorno A parecerá ser submetido a uma rotação completa, ou uma 
mudança de 360o;
- Por outro lado, cada vetor desenhado a partir dos Pólos e dos Zeros de 1 + G(s)H(s) que 
exista fora do Contorno A parecerá oscilar e retornar à sua posição anterior, sofrendo uma 
variação angular líquida de 0o.
- Se os pontos do Contorno A forem percorridos em sentido horário, cada Zero dentro do 
Contorno A produzirá uma rotação completa no sentido horário, enquanto cada Pólo dentro do 
contorno A produzirá uma rotação completa no sentido anti-horário, uma vez que os pólos estão 
no denominador da função F(s).
Representação de Mapeamento por Vetor:
Plano s
Contorno A Contorno B
Plano 1 + GH
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- Logo: N = P – Z
Onde:
N = número de rotações no sentido anti-horário sobre o Contorno B em torno da origem;
P = número de Pólos de 1 + G(s)H(s) no interior do Contorno A
Z = número de Zeros de 1 + G(s)H(s) no interior do mesmo Contorno A 
- Os Pólos de 1 + G(s)H(s) também são os Pólos de G(s)H(s), e são conhecidos;
- Os Zeros de 1 + G(s)H(s) também são os Pólos do sistema a malha fechada, e não são 
conhecidos.
- Portanto, P = número de pólos a malha aberta envolvidos e Z= número de pólos a malha 
fechada envolvidos.
Representação de Mapeamento por Vetor:
Plano s
Contorno A Contorno B
Plano 1 + GH
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- Portanto, N = P-Z, ou, alternativamente, Z=P-N, estabelece que o número de Pólos a malha 
fechada no interior do contorno (que é idêntico ao número de Zeros dentro do contorno) é igual 
ao número de Pólos em malha aberta de G(s)H(s) no interior do contorno menos o númerode 
rotações no sentido anti-horário do mapeamento em torno da origem.
Representação de Mapeamento por Vetor:
Plano s
Contorno A Contorno B
Plano 1 + GH
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- Se o contorno for estendido para incluir todo o semiplano da direita, conforme figura 
abaixo, pode-se contar o número de Pólos a malha fechada no interior do Contorno A que 
estão no semiplano da direita e determinar a Estabilidade do Sistema.
- Uma vez que se pode contar o número de Pólos a malha aberta, P, dentro do contorno, 
que são os mesmos Pólos de G(s)H(s) no semiplano da direita, o único problema que resta 
é como obter o mapeamento e determinar N na expressão: Z=P-N.
Representação de Mapeamento por Vetor:
Plano s
- Contorno envolvendo todo o semiplano da direita para determinar a Estabilidade:
- Por que este método é classificado como uma 
técnica de resposta em frequência?
- Ao longo do Contorno A, mapear os pontos sobre 
o eixo jω, através da função G(s)H(s), é o mesmo 
que substituir s = jω em G(s)H(s) para formar a 
função Resposta em Frequência G(jω)H(jω).
-Desta forma, determina-se a resposta em 
frequência de G(s)H(s) sobre a parte do Contorno A 
no eixo positivo jω.
- Em outras palavras, parte do Diagrama de Nyquist
representa o gráfico polar da resposta em 
frequência de G(s)H(s).
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Resposta em Frequência – Parte I 
- Se um Contorno, A, que envolve todo o semi-plano da direita 
for mapeado através de G(s)H(s), então o número de Pólos a 
malha fechada, Z, no semi-plano da direita é igual ao número 
de Pólos a malha aberta, P, que estão no semi-plano da direita 
menos o número de rotações no sentido anti-horário, N, em 
torno do ponto -1 do mapeamento.
- Ou seja: Z=P-N. 
- O mapeamento gerado é conhecido como Diagrama de 
Nyquist, ou Gráfico de Nyquist, de G(s)H(s);
- N é positivo quando está no sentido anti-horário em torno do 
ponto -1.
Critério de Nyquist:
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Plano s Plano GH
Plano GHPlano s
Raio de teste
Zeros de 1 + G(s)H(s)
(Localização não conhecida)
Pólos do sistema a malha fechada
(Localização é conhecida)
Pólos de 1 + G(s)H(s)
Pólos de G(s)H(s)
Resposta em Frequência – Parte I 
Exemplos de Mapeamento:
P = 0 N = 0 Z=P-N = 0
(Estável)
P = 0 N = -2 Z=P-N = 2
(Instável)
Portanto, o problema é obter o Diagrama 
de Nyquist, para se ter o valor de N !
- (Caso 1) O contorno não envolve os Pólos em malha fechada, isto é, os Zeros de 1+G(s)H(s):
- (Caso 2) O contorno envolve os Pólos a malha fechada, isto é, os Zeros de 1+G(s)H(s):
- Os dois Pólos em malha fechada são mostrados 
no interior do Contorno A como Zeros de 
1+G(s)H(s). 
- Lembrar que a existência destes Pólos não é
conhecida a priori.)
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Esboçando o Diagrama de Nyquist - Exemplo:
Sistema de Controle 
de Velocidade:
Aplicação: Controle da 
frequência de saída de um 
sistema de energia elétrica 
formado por um par 
turbina-gerador.
Funcionamento: 
1 – Regulando a 
velocidade, o sistema de 
controle assegura que a 
frequência gerada se 
mantém dentro da 
tolerância.
2 – Os desvios em relação 
à velocidade desejada são 
captados por sensores, e 
uma válvula age sobre o 
vapor para compensar o 
erro de velocidade.
TurbinaVapor Gerador
Atuador de
Controlador
Velocidade (ou freqüência) desejada
Medidas de freqüência
ou de velocidade
Velocidade
desejada
GeradorTurbina
Pressão
de vapor
Amplificador,
atuador de válvula
e válvula
de vapor
válvula
Velocidade
real
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Plano s Plano s
Plano GH
0,874
8,36
Z=P-N
Z=0-0=0
(Estável)
MatLab:
G=zpk([], [-1,-3,-10], 500)
nyquist(G)
( ) ( ) ( )( ) ( )2322
32
433014
433014
500
ωωω
ωωω
ω
−++−
−−+−
=
j
jG
( ) ( )( )( )1031
500
+++
=
sss
sG
- O diagrama de Nyquist é traçado 
substituindo-se os pontos do 
contorno ao lado, na função:
- Eixo Imaginário: substituir s → jω e 
multiplicar o numerador e o denominador 
pelo conjugado complexo do 
denominador:
- Este processo é equivalente a efetuar 
operações aritméticas com números 
complexos usando vetores de G(s)
traçados aos pontos do Contorno.
Resposta em Frequência – Parte I 
Esboçando o Diagrama de Nyquist - Exemplo:
--Conferir o procedimento de construção do Diagrama de Nyquist em: Nise, 5ª Ed., pág. 440--
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Esboçando o Diagrama de Nyquist - Exemplo:
- A magnitude da resultante é o produto dos comprimentos dos vetores devidos aos Zeros 
dividido pelo produto dos comprimentos dos vetores devidos aos Pólos;
- O ângulo da resultante é a soma dos ângulos devidos aos Zeros menos a soma dos 
ângulos devidos aos Pólos;
- No exemplo anterior não havia Pólos a malha aberta situados sobre o contorno que 
envolve o semiplano da direita. Se houver Pólos sobre o contorno, torna-se necessário fazer 
um desvio ao redor dos Pólos de malha aberta;
- Caso contrário, o mapeamento tenderia para o infinito de uma forma indeterminada, sem 
informação angular.
- Consequentemente, um esboço completo do diagrama de Nyquist não poderia ser feito, e o 
número de envolvimentos do ponto -1 não poderia ser determinado.
Exemplo de sistema com Pólos de malha aberta sobre o contorno:
Plano s Plano s Plano s
Desvio de 
+180o
Desvio de 
-180o
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Outro Exemplo:
Esboçar o Diagrama de Nyquist para um sistema com realimentação
unitária onde: Ponto A':
- Ângulo = 0o–2.(90o) = –180o
- Magnitude = ∞
Ponto B':
- Ângulo = +90o–2.[90o]= –90o
- Magnitude = 0
- Rotação A'-B': anti-horária
=+90o (o Zero apenas)
Ponto D':
- Ângulo = –90o–2[–90o] = 90o
- Magnitude = 0
- Rotação B'-C'-D': anti-horária 
= –180o –2.[–180o] = +180o
Trecho D'-E':
- Imagem espetacular de A'-B'
Ponto A':
- Ângulo = 0o–180o = –180o
- Magnitude = ∞
- Rotação E'-F'-A': horária 
= 0o –2.[180o] = –360o
--Conferir o procedimento de construção do Diagrama de Nyquist em: Nise, 5ª Ed., pág. 441--
2
)2(
)(
s
s
sG
+
=
Plano GH
Plano s
Dois pólos
Raio de teste
Z = P – N = 0 – 0 = 0 
(Sistema Estável)
N=0 (uma volta no sentido anti-horário e 
uma volta no sentido horário)
MatLab:
G=zpk([-2], [0,0], 1)
nyquist(G)
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Resposta em Frequência – Parte I 
Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist
Pergunta:
- E se o sistema a malha fechada tiver um ganho de malha, K, variável? Para que faixa de 
ganho o sistema é estável?
Resposta:
- A abordagem geral consiste em ajustar o ganho de malha, K, com Valor Unitário e esboçar o 
Diagrama de Nyquist. 
- Uma vez que o ganho é simplesmente um fator de multiplicação, o efeito do ganho é o de 
multiplicar a resultante por uma constante em qualquer ponto do Diagrama de Nyquist. 
Exemplo:
- À medida que o ganho varia, pode-se 
visualizar o Diagrama de Nyquist
expandindo (aumentando o ganho) ou 
encolhendo (diminuindo o ganho);
- Esta ação pode mover o Diagrama de 
Nyquist para além do ponto -1, alterando a 
Estabilidade.
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Resposta em Frequência – Parte I 
Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist
Exemplo:
Plano s Plano GH
1,33
- Neste sistema tem-se P = 2→ para atingir a estabilidade → o ponto crítico (-1) deve ser envolvido pelo 
Diagrama de Nyquist para se obter N = 2.
- Uma redução do ganho colocaria o ponto crítico fora do Diagrama de Nyquist onde N=0→ Z=2→ Sistema 
Instável.
- Outra forma de fazer isto: pensar no Diagrama de Nyquist como permanecendo estacionário e o ponto -1 se 
movendo ao longo do eixo real. Para fazer isto, ajusta-se o ganho unitário e posiciona-se o ponto crítico em 
-1/Kem vez de -1. Assim, o ponto crítico se deslocará para mais perto da origem à medida que K aumentar.
- Agora, se o Diagrama de Nyquist cruza o eixo real em -1, então G(jωωωω)G(jωωωω) = -1. 
- Com base no conceito de lugar geométrico das raízes, quando G(s)H(s)= -1, a variável s é um pólo a malha 
fechada do sistema → a frequência na qual o Diagrama de Nyquist cruza -1 é a mesma frequência em que o 
lugar das raízes cruza o eixo jωωωω→ Portanto, o sistema é marginalmente estável se o Diagrama de Nyquist
interceptar o eixo real em -1.
MatLab:
G=zpk([-3,-5], [2,4], 1)
nyquist(G)
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Resposta em Frequência – Parte I 
Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist
- Exemplo 10.6 (Nise, 5ª Ed., pág. 443-444): Para um sistema com realimentação unitária onde G(s) é
dada pela função abaixo, determine: a faixa de ganho K para a Estabilidade, o valor do ganho K para a 
estabilidade marginal e a frequência de oscilação. Use o Critério de Nyquist.
1 – Fazer K =1 e esboçar o Diagrama de Nyquist do sistema.
2 – Para todos os pontos do eixo imaginário tem-se:
Em
3 – Ponto onde o Diagrama de Nyquist intercepta o eixo real negativo: fazendo parte imaginária igual a zero, encontra-se 
Substituindo este valor de ω na equação acima resulta a parte real de -0,0083.
4 – Em ω=∞→ G(jω)H(jω)=G(s)H(s)|s→∞= 1/(jω)
3 = 0∠-270o.
5 – Com base no contorno, P = 0; para estabilidade → N deve ser igual a zero→ O sistema é estável se o ponto crítico ficar situado 
fora do contorno (N=0) → Z=P-N=0-0=0.
6 – Portanto, K pode ser aumentado de 1/0,0083 = 120,5 antes do Diagrama de Nyquist envolver o ponto -1.
7 – Estabilidade: K < 120,5.
8 – Estabilidade marginal:K=120,5 (neste ganho o Diagrama de Nyquist intercepta -1 e a frequência de oscilação é ωωωω
n
= 3,873 rad/s.
Plano s Plano GH 
0,0083
( ) ( )( )53 ++= sss
K
sG
( ) ( )( )2224
32
1564
158
ωωω
ωωω
ω
−+
−−−
=
j
jG
∞−== jjHjG 0356,0)()( ,0 ωωω
15=ω
MatLab:
G=zpk([], [0,-3,-5], 1)
nyquist(G)
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Plano s
Lugar das raízes
Plano GHContorno
Resposta em Frequência – Parte I 
Análise da Estabilidade pelo Mapeamento Exclusivo do eixo jωωωω Positivo
Caso 1: Nenhum Pólo de malha aberta no semi-plano da direita
– Estabilidade: P=0 → N=0→ Valores baixos para o ganho K
– Como o contorno não envolve os pólos a malha aberta, o Critério de Nyquist diz que não se deve ter 
nenhum envolvimento de -1 para que o sistema seja estável.
– Instabilidade: P=0 → N≠0 → Valores altos para o ganho K
Pode-se ver a partir do Diagrama de Nyquist que o envolvimento do ponto crítico (-1) pode ser determinado 
apenas com base no mapeamento do eixo jω positivo:
- Se o ganho for pequeno, o mapeamento passará à direita de -1, e o sistema será estável
- Se o ganho for alto, o mapeamento passará à esquerda de -1, e o sistema será instável
- Portanto, este sistema é estável para a faixa de valores de ganho de malha, K, que garante que a magnitude 
a malha aberta é menor que um (a unidade) na frequência onde o ângulo de fase é 180o (ou, de forma 
equivalente, -180o)
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Estabilidade por Intermédio do Mapeamento do Eixo jωωωω Positivo
Plano s
Lugar das raízes
Contorno Plano GH
Caso 2: Pólos de malha aberta no semi-plano da direita
Resposta em Frequência – Parte I 
– Estabilidade: P=2 → N=2 → Valores altos para o ganho K
– Como o contorno inclui dois pólos a malha aberta, é necessário haver dois envolvimentos 
do ponto crítico (-1) no sentido anti-horário para se ter estabilidade.
– Instabilidade: P=2 → N≠2→ Valores baixos para o ganho K
Para este caso, o sistema é estável se a magnitude a malha aberta for maior que um (a unidade) na 
frequência onde o ângulo de fase é 180o (ou, de modo equivalente, -180o)
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Plano s
Contorno
Plano GH
Resposta em Frequência – Parte I 
Estabilidade por Intermédio do Mapeamento do Eixo jωωωω Positivo
Exemplo 10.7: Determine a faixa de valores de ganho K para a estabilidade e instabilidade, e o ganho 
para a estabilidade marginal para um sistema com realimentação unitária onde G(s) é dada pela função 
indicada abaixo. Para estabilidade marginal, determine a frequência de oscilação em rad/s.
- Como os pólos a malha aberta estão somente no semiplano da esquerda, o Critério de Nyquist diz que 
não se pode ter nenhum envolvimento de -1 para a Estabilidade.
- Portanto, é necessário um ganho menor que um (a unidade) em ±180o.
- Fazer K=1 e desenhar o trecho do contorno ao longo do eixo imaginário jω positivo.
- Interseção com o eixo real negativo: é obtida fazendo s = jωωωω em G(s)H(s), ajustando a parte imaginária 
igual a zero para determinar a frequência, e então substituindo a frequência na parte real de G(jωωωω)H(jωωωω):
- Igualando a zero a parte imaginária, encontra-se rad/s. Substituindo este valor na equação, obtém-
se a parte real igual a -(1/20) = (1/20)∠∠∠∠180o.
- Este sistema a malha fechada é estável se a magnitude da resposta em frequência for menor que um (a 
unidade) em 180o: 
- Sistema estável: para K<20 - Sistema instável: para K>20
- Sistema marginalmente estável: K=20 - Frequência angular de oscilação: 2,45 rad/s.
( ) ( )
( ) ( )2322
32
644
644
)(
ωωω
ωωω
ω
−+−
−−−
=
j
jG
( )2)22()( 2 +++= sss
K
sG
MatLab:
G=zpk([],[-1+1i,-1-1i,-2],1)
nyquist(G)
6=ω