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Fundamentos da Matemática

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Resumo
Existem fundamentos de Matemática que são imprescindíveis nas diversas 
formações profissionais. Médicos, arquitetos, engenheiros, administradores, 
gestores e tantos outros profissionais utilizam a Matemática para resolver, 
diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula tratará, dessa 
forma, dos principais conceitos de matemática básica que são fundamentais 
para a sua formação.
Fundamentos da Matemática
Eduardo Araújo* 
Equação do 1.º grau
Chamamos de equação do 1.º grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma 
ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero. 
Vamos entender a definição?
Equação: é toda sentença composta por uma (ou mais) incógnita(s) e uma igualdade.
Incógnita: é o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).
Grau: é dado pelo maior expoente da incógnita.
O valor da incógnita, que torna uma equação verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equação.
 Mestre em Ensino de Ciências e Matemática – Ulbra. Especialista em Educação a Distância – Senac. Graduado em Matemática – Ulbra.
8 Matemática para Negócios e Finanças
Em igualdades matemáticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos 
iguais aos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantém. É claro, se fizermos as mesmas 
operações, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para 
resolvermos equações do primeiro grau, utilizaremos operações matemáticas de ambos os lados da 
igualdade até que a incógnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:
2x + 10 = 18
Para isolarmos o termo “2x”, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja:
2x + 10 - 10 = 18 - 10
2x + 0 = 8
2x = 8
Para eliminarmos o valor “2” que multiplica nossa incógnita, dividiremos ambos os lados da 
igualdade por “2”, e ficamos com:
2x
2
=
8
2
x = 4
Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operações em ambos os membros da igualdade 
com os mesmos valores, a igualdade permanecerá verdadeira.
Como nosso objetivo sempre é isolar a incógnita, podemos eliminar esses termos conforme nossa 
necessidade. Veja outro exemplo:
y
3
+
y
2
=15
2y+3y
6
=
90
6
5y=90
5y
5
=
90
5
y=18 
(nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2)
Uma maneira simplificada de resolver equações dessa forma é passando termos semelhantes 
de um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operação matemática que está sendo 
realizada (lembre-se: adição é o inverso de subtração e multiplicação é o inverso de divisão). Observe:
Se 3x + 4 =19, qual é o valor de “x” que resolve essa equação?
Solução:
 3x = 19 - 4 (enviando o elemento 4 e invertendo a operação de adição)
 3x = 15 (resolvendo 19 - 4)
 x = 
15
3
 (enviando o elemento 3 e invertendo a operação de multiplicação)
 x = 5 
Fundamentos da Matemática 9
Veja outros exemplos:
Ex: -3x + 5 = -7
Solução:
 -3x = -7 -5
 -3x = -12
 x = 
-12
-3
 x = +4 
Testando a resposta encontrada:
 -3 . 4 + 5 = -7
 -12 + 5 = -7
 -7 = -7
 Ok!
Ex: 4 - 2k = 4k - 8
Solução:
 -2k - 4k = -8 - 4
 -6k = -12
 k=
-12
-6
 k = +2
Como você pode perceber, resolver equações do primeiro grau é bastante simples. O método 
simplificado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operação 
que estamos realizando, até que tenhamos nossa incógnita isolada.
Razão
A palavra razão é derivada do latim ratio e significa divisão. Ou seja, para obtermos a razão entre 
dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomínio com 40 
apartamentos, 12 sejam de 3 dormitórios, 18 sejam de 2 dormitórios e 10 de 1 dormitório. Qual será a 
razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios?
Razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios
12: 6
18: 6
2
3
= 
10 Matemática para Negócios e Finanças
Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitórios, há 3 apartamentos de 2 
dormitórios.
Razão entre o número de apartamentos de 3 dormitórios e o total de apartamentos:
12
40
=
3
10
:
:
4
4 
Portanto, essa razão será: para cada 10 apartamentos do edifício, 3 são de 3 dormitórios.
Esse conceito de razão, que nada mais é do que a divisão entre dois elementos, será fundamental 
para que possamos entender o conceito de proporção que veremos a seguir.
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo, 
formam uma proporção, pois representam uma mesma quantidade. Então, quando falamos que duas 
coisas são proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporção entre si. Veja um outro 
exemplo:
2
8
e
3
12 
representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.
Propriedade:
 Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja:
 Se a
b
=
c
d
 (ou ainda, a ÷ b = c ÷ d), sempre será verdadeiro que:
a
b
=
c
d
a . d = b . c 
Vamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores?
Se 
2
8
e
3
12
 formam uma proporção, então 2 . 12 tem de ser igual a 8 . 3, e são, pois ambos
geram o mesmo resultado, que é 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma proporção, 
veja:
Se x
4
=
3
2
 então:
 2x = 3 . 4
 2x = 12
 x =
12
2
=6
O conceito de razão foi importante para entendermos o de proporção. O conceito de proporção, que 
agora estudamos, será a base para compreendermos o conceito de regra de três, nosso próximo tema.
Fundamentos da Matemática 11
Regra de três
A regra de três é, possivelmente, um dos conceitos básicos de Matemática mais utilizados hoje 
em dia. Ela trata de uma simples relação linear na qual conhecemos três elementos, relacionados entre 
si, e queremos descobrir o quarto elemento dessa proporção. Como você pode notar, regra de três e 
proporções são conceitos totalmente relacionados. Na verdade, uma regra de três nada mais é do que 
uma proporção, que pode ser direta ou inversa. Vamos ver como devem ficar dispostos os dados em 
uma regra de três:
:: os dados devem ficar dispostos como em uma tabela, cujos valores de mesmo tipo ficam na 
mesma coluna;
:: para analisarmos se a proporção é direta ou inversa, seguiremos os seguintes critérios:
:: se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra também aumentar seu valor (ou vice-
versa), a relação será direta e resolvemos o problema como em uma proporção: trata-se de 
uma regra de três direta;
:: se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra diminuir (ou vice-versa), a relação será 
inversa. Nesse caso, invertemos a posição dos elementos de uma das razões e resolvemos o 
problema como em uma proporção: trata-se de uma regra de três inversa.
Para podermos aplicar as definições vistas, vamos ver alguns exemplos em que a regra de três 
é utilizada?
Ex: Se um corretor de imóveis roda em média 60 quilômetros em 3 horas de trabalho, quanto, em 
média, ele deverá ter rodado em 8 horas trabalhando?
Solução:
Quanto mais horas de trabalho, mais quilometragem o corretor rodará, portanto, a regra é 
direta:
km h
60 3
x 8
3x = 60 . 8
x = 
480
3
= 160 km
Ex: Imagine agora que, esse mesmo corretor, dirigindo a uma velocidade média de 60 km/h, 
consiga percorrer certa distância em 20 minutos. Caso ele tenha apenas 15 minutos, com que velocidade 
ele deverá dirigir?
Solução:
 Quanto mais velocidade, menos tempo, portanto a relação é inversa.
 Dados do problema:
Vel. t
60 20
x 15
12 Matemática para Negócios e Finanças
Invertendo uma das razões (já que a regra é inversa):
60
x
=
15
20
15x = 60 . 20
15x = 1200
x =
1200
15
= 80 km/h
Como você pode perceber, realizar cálculos com regra de três é bastante simples: basta 
identificarmos os elementos envolvidos, montarmos a tabela e verificarmos se a relação é direta ou 
inversa. No caso da direta, tratamos como uma proporção; no caso da inversa, invertemos uma das 
razões e tratamos, novamente, como uma proporção normal.
Função do 1.º grau
Veremos agora algumas noções defunção do primeiro grau. Para tanto, partiremos da definição 
e, em seguida, entenderemos cada um de seus elementos. 
Chama-se função polinomial do 1.º grau qualquer função f de IR em IR, dada por uma lei da forma 
f(x) = ax + b, em que a e b são números reais quaisquer e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, “a” é chamado de coeficiente de x e o “b” é chamado termo constante.
Uma função, dessa forma, pode ser entendida simplificadamente como uma relação entre dois 
valores.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1.º grau:
f(x) = 5x em que = 5 e b = 0
f(x) = -2x -7 em que = -2 e b = -7
As funções do primeiro grau são separadas em três tipos: linear, afim e constante. Veja qual a 
definição de cada uma delas:
Função linear
É um tipo de função do 1.º grau em que o termo b é nulo (y = ax). Um exemplo de função linear é 
a primeira das duas anteriores, (f(x) = 5x).
Função afim
É um tipo de função do 1.º grau na qual o termo b não é nulo (y = ax + b).
Um exemplo de função afim é a segunda das anteriores – f(x) = -2x - 7.
Fundamentos da Matemática 13
De uma maneira simplificada, podemos representar graficamente funções do primeiro grau 
arbitrando valores para a variável “x” e calculando os correspondentes valores de “y”. Veja:
y = 3x - 6
Construindo uma tabela e arbitrando valores para “x”:
x y = f(x)
-2
-1
0
1
2
A partir dos valores arbitrados para “x” (falamos em arbitrados porque podem ser quaisquer 
valores), podemos obter os valores de “y”. Veja:
x y = f(x)
-2 y = 3 . (-2) - 6 = -6 - 6 = -12
-1 y = 3 . (-1) - 6 = -3 - 6 = -9
0 y = 3 . (0) - 6 = 0 - 6 = -6
1 y = 3 . (1) - 6 = 3 - 6 = -3
2 y = 3 . (2) - 6 = 6 - 6 = 0
A tabela fica com o seguinte formato:
x y = f(x)
-2 -12
-1 -9
0 -6
1 -3
2 0
E a representação gráfica fica:
14 Matemática para Negócios e Finanças
Podemos, ainda, arbitrar o valor “zero” para “x” e calcular “y”, arbitrar “zero” para “y” e calcular “x”, 
unindo esses pontos em uma reta. Veja:
y = 3x - 6
Quando x = 0, teremos: Quando y = 0, teremos:
 y = 3 . 0 - 6 0 = 3x - 6
 y = 0 - 6 -3x = -6
 y = -6 
 x = 2
E, portanto, o ponto (0, -6) E, portanto, o ponto (2,0)
 
-6
 
2
E, unindo estes pontos, teremos:
 
É a mesma representação gráfica anterior, uma vez que podemos prolongar infinitamente a reta 
em ambas as direções.
Fundamentos da Matemática 15
Atividades
1. Uma secretária precisa digitar 26 páginas de um arquivo. Se, em duas horas de serviço ela digitou 
8 páginas, quanto tempo deverá levar para concluir sua tarefa?
 
2. Para se produzir 60 kg de uma certa liga metálica são necessários 16 kg de cobre. Se você tiver 
disponível 20 kg de cobre, quantos kg dessa mesma liga conseguirá produzir?
 
3. Para produzir 20 estribos, um certo ferreiro leva, em média, 16 minutos. Continuando nesse 
mesmo ritmo, em 20 minutos, ele deverá produzir quantos estribos?
 
4. Para construir uma ponte, 16 operários trabalham durante 120 dias. Se o prazo de entrega fosse de 
80 dias, quantos operários seriam necessários?
 
5. Em um certo supermercado, o pacote de 2 kg de açúcar custa R$ 3,24. Quanto deverá custar, no 
máximo, o pacote de 5 kg?
 
6. Em geral, uma família de três pessoas consome, por dia, 300 g de gás de cozinha. Considerando 
um botijão com 13 kg, podemos escrever: (obs.: 300 g = 0,3 kg):
Dias consumindo gás (x) Quantidade de gás no botijão (y)
0 dia 13 kg 
1 dia 12,7 kg
2 dias 12,4 kg
3 dias 12,1 kg
4 dias 11,8 kg
5 dias 11,5 kg
 Considerando “x” como a quantidade de dias consumindo gás e “y” a quantidade de gás no 
botijão, responda às questões que seguem:
a) A função matemática que explica essa situação é:
 
b) No 12.º dia de consumo, quantos kg de gás há no botijão?
 
16 Matemática para Negócios e Finanças
c) Após quantos dias consumindo gás a quantidade no botijão será de 7 kg?
 
d) A partir da instalação do botijão, aproximadamente quantos dias o gás deverá durar?
 
Ampliando conhecimentos
Os conceitos vistos nesta unidade são fundamentais para sua formação. Dessa forma, procure retomar 
todos os conceitos estudados e só avançar após dirimir todas as suas dúvidas. É importante entender, 
por exemplo, que o valor encontrado em uma equação do primeiro grau significa o único número real 
que, ao ser substituído na equação, torna a igualdade verdadeira e que, em uma regra de três, se a 
relação for direta tratamos como uma proporção e se for inversa, precisa ter a proporção invertida.
Auto-avaliação 
1. Caminhando a “passos largos”, uma pessoa leva, em média, 20 minutos para percorrer 2,5 km. 
Para percorrer 4 km, quanto tempo deverá levar?
 
2. Um automóvel, andando a uma velocidade média de 80 km/h, leva 12 minutos para percorrer uma 
certa distância. Se ele andasse a 60 km/h, que tempo levaria para percorrer a mesma distância?
 
3. Um representante comercial vendeu 520 exemplares de seu produto e com isso lucrou R$ 546,00. 
Se em uma nova venda do mesmo produto ele lucrou R$ 420,00, quantos exemplares ele vendeu?
 
4. Um médico leva, em média, 20 minutos para atender um paciente em sua clínica. Em um dia 
inteiro de trabalho, esse médico consegue atender, no máximo, 24 pessoas. Para aumentar sua 
renda, ele pretende atender 30 pessoas por dia. Dessa forma, ele precisa que suas consultas 
durem quanto tempo?
 
5. Em um hemocentro foi constatado que, para coletar 200 ml de sangue, uma máquina leva, em 
média, 24 minutos. Quanto tempo essa mesma máquina levará para coletar 150 ml de sangue?
 
Fundamentos da Matemática 17
6. Associe cada função com sua possível representação gráfica:
a) y = 4x - 4 b) y = 4x + 4 c) y = -4x - 4 d) y = -4x + 4 
e) y = 4x f) y = -4x g) y = 4 h) y = -4
( ) ( )
 
( ) ( )
 
( ) ( )
 
( ) ( )
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x
2
4
y
-2
-4
-6 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x
2
y
-2
-4
-6
4
18 Matemática para Negócios e Finanças
7. Suponha que a quantidade de gasolina média (y) em um tanque cheio de combustível com relação 
à quantidade de quilômetros rodados (x) de um automóvel popular seja dado pela equação:
y = 35 - 0,0625x
a) Após percorrer 200 km, quanto haverá de gasolina no tanque?
 
 
 
b) Estando com o tanque cheio, esse automóvel conseguirá percorrer 600 km? Por quê?
 
 
 
 
 
c) Com que quilometragem deverá acabar o combustível?
 
 
 
 
Referências
ARAÚJO, Eduardo Muller; BERLIKOWSK, Márcia Elisa. Matemática: 6.ª série. Canoas: Editora da Ulbra, 2003.
_____. Matemática: 8.ª série. Canoas: Editora da Ulbra, 2003.
BIGODE, Antônio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 1989.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, contexto e aplicações. Livro 1. São Paulo: Ática, 1999.
Fundamentos da Matemática 19
Gabarito
Atividades
1. 6,5h ou 6h 30min.
2. 75 kg.
3. 25 estribos.
4. 24 operários.
5. R$ 8,10.
6. a) y = 13 - 0,3x.
b) 9,4 kg.
c) 20 dias.
d) 43 dias.
Auto-avaliação
1. 32 minutos.
2. 16 minutos.
3. 400 exemplares.
4. 16 minutos.
5. 18 minutos.
6. ( c ) ( e )
 
20 Matemática para Negócios e Finanças
( h ) ( a )
 
( b ) ( f )
 
( d ) ( g ) 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x
2
4
y
-2
-4
-6 
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x
2
y
-2
-4
-6
4
7. a) 22,5 l.
b) Não, pois ao substituirmos de “x” pelo valor 600, chegaríamos em uma quantidade negativa de gasolina, ou seja, 
faltaria gasolina.
c) 560 km, que é quando o valor de “y”, gasolina, é zero.

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