Capítulo_2-Curso_de_Matemática

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Introdução à Estatística
Capítulo 2
Medidas de Posição
	O estudo que fizemos sobre distribuições de freqüências, até agora, permite-nos descrever, de modo geral o comportamento de uma variável. Ocorre, todavia que trabalhar com uma distribuição de freqüências completa, muitas vezes, é difícil, razão pela qual costuma-se lançar mão de determinadas medidas. Essas medidas sumarizam certas características importantes da distribuição de freqüências. Há diversas medidas que possibilitam condensar as informações dentro da fase analítica da Estatística Descritiva. Dentre as medidas de posição mais importantes estão as medidas de tendência central.
2.1 Medidas de Tendência Central
Definição
As medidas de tendência central recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais.
	Dentre as medidas de tendência central, destacamos:
média aritmética 
;
moda (mo);
mediana (md).
Obs: A média aritmética é, de modo geral, a mais importante e mais comum de todas as mensurações numéricas descritivas.
	Estas medidas podem ser calculadas, tanto para dados não agrupados em classes, quanto para dados agrupados em classes.
2.1.1 Dados Não Agrupados em Classes
2.1.1.1 Média Aritmética 
Definição
A média aritmética de um conjunto de dados é o valor obtido quando soma-se todos eles e divide-se o total pela quantidade de dados. 
 
Assim, para calcularmos a média aritmética de um conjunto de dados, usaremos a fórmula abaixo:
Exemplo 2.1: Calcule a média aritmética para os seguintes dados: 10, 15, 12, 15, 16, 12, 18 e 12.
2.1.1.2 Moda (mo)
Definição
A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior freqüência, isto é, é o valor que mais se repete. 
Exemplo 2.2: Determinar a moda para os seguintes valores: 10, 9, 12, 10, 13, 12, 15, 10, 7, 8, 7, 11, 12, 13, 10 e 9.
2.1.1.3 Mediana (md)
Definição
A mediana de um conjunto de dados é o valor central desse conjunto, quando os dados estão dispostos em ordem crescente.
Exemplo 2.3: Determinar a mediana para os seguintes dados: 5, 13, 10, 2, 5, 18, 15, 6, 17, 16 e 9.
2.1.2 Dados Agrupados em Classes
2.1.2.1 Média Aritmética 
Se estivermos trabalhando com uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, para calcularmos a média aritmética dessa distribuição, utilizaremos a seguinte fórmula:
2.1.2.2 Moda (mo)
Se estivermos trabalhando com uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, para calcularmos a moda dessa distribuição, utilizaremos a seguinte fórmula:
2.1.2.3 Mediana (md)
Se estivermos trabalhando com uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, para calcularmos a mediana dessa distribuição, utilizaremos a seguinte fórmula:
, onde 
2.2 Separatrizes
Definição
São medidas que dividem uma seqüência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos.
	As separartizes, por sua vez, se dividem em:
quartis;
decis;
percentis.
Obs: Trabalharemos apenas com os percentis, pois esses englobam os outros dois.
2.2.1 Percentis (pj)
Definição
Os percentis são medidas que dividem uma distribuição ordenada em cem partes iguais. Os percentis variam de p1 até p99.
	Para calcularmos um determinado percentil, em uma distribuição de freqüências com intervalos de classes, usaremos a fórmula abaixo:
, onde 
Exercício 2.4: Calcule a média aritmética, a moda, a mediana e os percenits 25 e 75.
Classes
fi
xi
xi(fi
Fi
 80 |----- 84
 84 |----- 88
 88 |----- 92
 92 |----- 96
 96 |----- 100
100 |----- 104
3
11
13
8
5
2
Total (n)
42
2.3 Representação Gráfica da Moda, da Mediana e das Separatrizes
Gráfico da Moda (Exercício 2.4)
 
Gráfico da Mediana e dos Percentis 25 e 75 (Exercício 2.4)
Exercícios
O conjunto abaixo representa o percentual de água em cérebro de cobaias machos com 90 dias de idade. Pede-se:
80
79
80
69
79
81
77
79
72
70
 Fonte: Hossne et al (1990)
média aritmética
moda
mediana
A tabela abaixo representa as taxas de colesterol (mg/dl) de 90 indivíduos da Cidade de Framingham, EUA em 1998. Pede-se:
Classes
fi
 100 |----- 150
 150 |----- 200
 200 |----- 250
 250 |----- 300
 300 |----- 350
 350 |----- 400
 400 |----- 450
 450 |----- 500
2
24
35
14
10
3
1
1
Total (n)
90
 Fonte: National Health Survey 
média aritmética
moda
mediana
acima de qual taxa encontram-se 30% dos indivíduos?
gráfico da moda
gráfico da mediana e do perccentil 20
Bibliografia Suplementar
[1] TRIOLA, M. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro, LTC, 1999.
[2]	TOLEDO, G.L. e OVALLE, I.I. Estatística Básica. São Paulo, Atlas, 1995.
[3] FONSECA, J.S. e MARTINS, G.A. Curso de Estatística. Atlas, 1996.
[4] BUSSAB, W. O. e Morettin, P. A. Estatística Básica. São Paulo, Atual, 1987.
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Capítulo 2: Medidas de Posição
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