ENG1007_G1_11.2AF

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Primeira prova – turmas A e F 13/09/2011 
Nome: 
1a 2a 3a 4a Nota 
 
Matrícula: 
Turma: 
 
1a Questão (2,5 pontos) 
 
x
y
a) Reduza o sistema de forças da figura a uma única 
força que age no ponto O e a um conjugado. 
O
15kNm
kN25
4
5arctancm3
cm4
kN210
cm2
10kN
10kN
054
 
b) Calcule a que distância do ponto O deve passar a 
resultante que, sozinha, corresponda ao sistema de 
forças. 
 
 
 10cm
 
a) 2 510 2 25 29,52
2 41H
R kN= + = (para a direita), 
 2 410 2 25 25,62
2 41V
R kN= + = (para cima) 
 2 2 39,09H VR R R kN= + = 
2 2 415 10 0,02 10 2 0,14 10 2 0,03 25 0,1 11,54
2 2 41O
M kNm= − × − × − × − × = (sentido anti-horário) 
b) 0,45OV h O h
V
MR d M d
R
× = ⇒ = = m 
Portanto, a resultante deve cortar o eixo horizontal a cerca de 0,55 m à direita da origem. A distância 
absoluta ao ponto O vale: 
0, 296OO
MR d M d m
R
× = ⇒ = = 
 
2a Questão (2,5 pontos) 
Calcular as reações de apoio da viga abaixo. Esquematize no desenho o resultado obtido (intensidade, 
direção e sentido). 
 
3 kN/m 
8 kN 1 kN/m 
 
 
 15 kN.m 
 
2 m 2 m 3 m 
3,76 kN 1,76 kN 
0 kN 
 
 
 
 
3a Questão (2,5 pontos) 
Considere a barra de seção transversal circular da figura. A barra é formada por dois materiais, latão e 
alumínio. As propriedades do latão são: E = 100 GPa e tensão de ruptura, σrup = 430 MPa; as 
propriedades do alumínio são: E = 70 GPa e tensão de ruptura, σrup = 250 MPa. Determinar o valor de P 
de modo que as tensões de ruptura não sejam ultrapassadas. Utilizando o valor de P encontrado, calcule 
o comprimento final da barra. 
 
2
4
F LE A d
A L
πσ ε ε Δ= = = = 
 
Latão: 2 430 MPa P 7.6 MN
4
P
dπ ≤ → ≤ 
Alumínio 1: 2 250 MPa P 4.4 MN
4
P
dπ ≤ → ≤ 
Alumínio 2: não é necessário verificar 
Alumínio 3: 2
3 250 MPa P 9.3 MN
4
P
Dπ
+ ≤ → ≤ 
 
P = 4.4 MN 
 
( ) 6 6 6
2 2
9 9 9
7.4 4.4 10 0.4 4.4 10 0.8 4.4 10 0.8
0.25 0.15 0.1570 10 70 10 100 10
4 4
L π π
+ × × × × × ×Δ = + +× ×× × × × × ×
2
4
π × 
ΔL = 6.2 mm 
4a Questão (2,5 pontos) 
 
Calcular o valor máximo do torque T que o eixo circular composto de aço e alumínio pode suportar, 
sabendo que: 
a) a tensão máxima admissível do aço é = 400 MPa, a tensão máxima admissível do alumínio é 
 = 200 MPa 
τadmaço
τadmal
φadm = 0,1 radianos. b) e o ângulo máximo de rotação da extremidade livre é 
Os módulos de elasticidade transversal do aço e do alumínio são, respectivamente, Gaço = 84 GPa e Gal 
= 28 GPa. O eixo consiste em um tubo vazado de aço, acoplado a um segmento de alumínio. r = 12 cm; 
ri = 9 cm; re = 10 cm e L = 1m. 
Obs: Os anéis de reforço indicados não precisam ser considerados nos cálculos. 
 
3T 
L L 
alumínio
seção circular de
diâmetro r 
 
 
anel de reforço 
 seção circular de aço de raio 
interno ri e raio externo re 
anel de reforço 
2 TT/2 
L/2 
4 4( )
2 e i
AB AB
B A
T
J
J r r
T L
GJ
ρτ
π
ϕ ϕ
=
= −
− =
 
 
 
 
 
4 4 8 4 4
1
4 8 4 4
2
2
6
4
2
6
4
9 4
9 4
(10 9 )10 0,54.10
2
(12 )10 3, 26.10
2
1,5 .10.10400.10 144. .
0,54.10
3 .12.10200.10 181. .
3, 26.10
1,5. .0,5 0
84.10 .0,54.10
1. .0,5 1,5.
84.10 .0,54.10
B A A
c
J m
J m
T T kN m
T T kN m
T
T
π
π
ϕ ϕ ϕ
ϕ
− −
− −
−
−
−
−
−
−
= − =
= =
= → =
= → =
− = → =
= + 59 4
5 5
9 4
.0,5 0,0276. .10
84.10 .0,54.10
13. .1 0, 0276. .10 0,17. .10 0,1
28.10 .3, 26.10
58,8. .
C
D D
T T
T T T
T KN m
ϕ
ϕ ϕ
−
−
− −
−
→ =
= + =→ =
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 =
 
 
RESPOSTA: mKNT ..8,58=