Capítulo_6-noções_de_probabili

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Introdução à Estatística Prof.: Anderson Novanta e Prof.: Angelo Siqueira 37
CAPÍTULO 6
NOÇÕES DE PROBABILIDADE
6.1 EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS
Definição
Experimentos Aleatórios (E) são aquelas que, mesmo repetidos várias vezes, sob
condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
Ex:
E1: Lançar uma moeda e observar a face de cima.
E2: Lançar um dado e observar o número da face de cima.
E3: Um casal pretende ter dois filhos. Observam-se as seqüências dos sexos.
E4: De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 brancas, selecionar uma bola e
observar sua cor.
E5: Numa cidade onde 10% dos habitantes possuem determinada moléstia,
selecionar 20 pessoas e observar o número de portadores desta moléstia.
6.2 ESPAÇO AMOSTRAL
Definição
Espaço Amostral (S) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
Ex: E1: Lançar uma moeda e observar a face de cima.
S1 = {k, c}, onde k – cara e c – coroa
E2: Lançar um dado e observar o número da face de cima.
S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E3: Um casal pretende ter dois filhos. Observa-se as seqüências dos sexos.Easy PDF Creator is professional software to create PDF. If you wish to remove this line, buy it now.
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6.3 EVENTO
Definição
Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral.
Exercício 6.1:
a) E1: Um dado é lançado e observa-se a face de cima.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Determine os eventos:
A: ocorrência de número ímpar. A =
B: ocorrência de número primo. B =
C: ocorrência de número maior do que 4. C =
D: ocorrência de número maior do que 6. D =
b) E2: Um casal pretende ter três filhos, e observa-se as seqüências dos sexos.
Determine os eventos:
A: ocorrência de sexo masculino (m) no 1º nascimento.
A =
B: ocorrência de exatamente um filho do sexo feminino (f).
B =
C: ocorrência de, no máximo, dois filhos do sexo feminino (f).
C =
D: ocorrência de pelo menos dois filhos do sexo masculino (m).
D =
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6.5 PROBABILIDADE EM ESPAÇOS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
Definição
Dada uma experiência aleatória uniforme E, definida num espaço amostral finito
equiprovável S, define-se probabilidade de um evento A, contido em S, como sendo o
quociente entre o número de elementos do evento A e o número de elementos do
espaço amostral S, isto é, é o número de casos favoráveis ao evento, dividido pelo
número total de casos.
número de casos favoráveis n(A)P(A)
número de casos possíveis n(S)
= =
onde:
n(A) é o número de elementos do evento A.
n(S) é o número de elementos do espaço amostral S.
6.5.1 Propriedades
i) Para todo evento A, 0£ P(A) £ 1;
ii) P(S) =1;
iii) Se A Ç B ¹ Æ então P(A È B) = P(A) + P(B).
Obs: Se A e B forem eventos quaisquer, então
P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)
Exercício 6.2: Determinar as probabilidades dos eventos do exercício 6.1.
6.6 PROBABILIDADE CONDICIONADA
Definição
Dados dois eventos, A e B, denotaremos por P(A|B) a probabilidade condicionada do
evento A, quando o evento B tiver ocorrido, por:
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Ex: Seja o seguinte experimento E: Lançar um dado e observar a face de cima e sejam
os seguintes eventos A: sair o número 5 e B: sair um número ímpar.
P(A) = 1
6
(probabilidade de ocorrer o número 5)
P(A|B) = 1
3
(probabilidade de ocorrer o número 5, dado que ocorreu um
número ímpar)
6.7 TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO
Definição
Dados dois eventos, A e B, a probabilidade da ocorrência simultânea desses
dois eventos, do mesmo espaço amostral, é dada por
P(A Ç B) = P(A) ×P(B), se A e B forem independentes.
P(A Ç B) = P(A) ×P(B|A), se A e B não forem independentes.
Obs: Dois eventos são ditos independentes, quando a realização de um dos eventos não
afeta a realização do outro.
Exercício 6.3
a) Uma moeda será lançada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas
duas jogadas?
b) Uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas bolas da
urna ao acaso, uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido
recolocada. Qual é a probabilidade das duas bolas serem brancas?
Obs: Dado um evento A, com probabilidade P(A), a probabilidade de que esse evento
se repita n vezes é dada por
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Exercício 6.4
a) Em uma farmácia temos 12 frascos do medicamento “Y”, dos quais 4 estão com
a validade vencida. Se um freguês vai comprar dois desses frascos, qual a
probabilidade de levar os dois com validade vencida ?
b) A probabilidade de determinado teste para a AIDS dar resultado negativo em
portadores de anticorpos contra o vírus (falso negativo) é 10%. Supondo que
falsos negativos ocorrem independentemente, qual é a probabilidade de um
portador de anticorpos contra o vírus da AIDS, que se apresentou três vezes para
o teste, ter tido, nas três vezes resultado negativo ?
6.8 ÁRVORE DAS PROBABILIDADES
Na solução de alguns problemas onde entram dois ou mais estágios, é
conveniente utilizarmos métodos sistemáticos para o cálculo de eventos compostos. Um
método gráfico que se mostrou muito útil, neste caso, é a árvore das probabilidades.
Tais métodos são indicados sempre que o experimento diversos estágios. Com o intuito
de mostrar como se constrói esta árvore, observe os exercícios abaixo.
Exercício 6.5: Em uma urna temos três bolas azuis, duas bolas brancas e uma bola
vermelha. Duas bolas serão retiradas sem reposição.
Exercício 6.6: Uma clínica especializada trata de 3 tipos de moléstias; X, Y e Z. 50%
dos que procuram a clínica são portadores de X, 40% são portadores de Y e 10% de Z.
As probabilidades de cura, nesta clínica, são:
moléstia X: 0,8
moléstia Y: 0,9
moléstia Z: 0,95
Um enfermo saiu curado desta clínica. Qual a probabilidade de que ele tenha sofrido a
moléstia Y?
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EXERCÍCIOS
1) Um casal pretende ter três filhos. Construa o espaço amostral e determine a
probabilidade de:
a) os três filhos serem do sexo feminino ?
b) exatamente dois desses filhos serem do sexo masculino ?
c) pelo menos um desses filhos ser do sexo masculino ?
2) No cruzamento de ervilhas amarelas homozigotas (AA) com ervilhas verdes
homozigotas (aa) ocorrem ervilhas amarelas heterozigotas (Aa). Se estas ervilhas
forem cruzadas entre si, ocorrem ervilhas amarelas e verdes, na proporção de três
para uma. Suponha que foram pegas ao acaso, três ervilhas resultantes do
cruzamento de ervilhas amarelas heterozigotas. Qual a probabilidade das três serem
verdes ?
3) Suponha que a probabilidade de uma pessoa ser do tipo sangüíneo O é 40%, ser A é
30% e ser B é 20%. Suponha ainda que a probabilidade de Rh+ é de 90% e que o
fator Rh independe do tipo sangüíneo. Nestas condições, qual é a probabilidade de
uma pessoa tomada ao acaso da população ser:
a) O e Rh+
b) AB e Rh–
4) Numa cidade, 400 pessoas foram classificadas, segundo sexo e estado civil, de
acordo com a tabela
Solteiro
(S)
Casado
(C)
Desquitado
(D)
Viúvo
(V)
Masculino (M) 50 60 40 30
Feminino (F) 150 40 10 20
Uma pessoa é escolhida ao acaso, determine:
a) P(S) b) P(S|M) c) P(F Ç V) d) P(F È D) e) P(M|C)
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7) Sabe-se que um homem e uma mulher são heterozigotos para um gene recessivo que
causa o albinismo. Se eles tiverem dois filhos (não importa o sexo), a probabilidadede os dois serem normais é:
8) O albinismo (ausência de pigmentação da epiderme) é condicionado por gene
recessivo. O alelo dominante condiciona pigmentação normal. Dois indivíduos
normais, netos de uma mesma avó albina e, portanto, primos em primeiro grau,
tiveram um filho albino. Qual a probabilidade de ser albina uma outra criança que
esse casal venha a ter?
9) Observe o heredograma abaixo, que representa a ocorrência de uma anomalia numa
família:
A probabilidade de nascer uma menina afetada do cruzamento 3 com 11 é:
10) O heredograma abaixo esquematizado se refere à herança de uma doença
autossômica, transmitida segundo o que determina a primeira lei de Mendel:
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Determine a probabilidade de que o referido casal tenha genótipo que só permita gerar
filhos normais.
11) O heredograma abaixo representa uma família com casos de albinismo, anomalia
herdada como autossômica recessiva.
a) Há probabilidade de o casal III.3 x III.4 ter descendentes albinos? Por quê?
b) O casal III.3 e III.4 tiveram uma criança albina, qual a probabilidade deles terem
uma segunda criança albina?
12) A acondroplasia é uma distrofia osteocartilaginosa de fundo hereditário que implica
no mau desenvolvimento do esqueleto, justificando a manifestação do nanismo
(característica do anão). O heredograma abaixo mostra a transmissão do nanismo
acondroplásico numa família. Veja o gráfico e, depois, responda ao que se pede.
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BIBLIOGRAFIA SUPLEMENTAR
[1] TRIOLA, M. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro, LTC, 1999.
[2] LIPSCHUTZ, S. Probabilidade. São Paulo, Makron Books, 1993.
[3] LEVINE, D.L., et al. Estatística: Teoria e Aplicações. Rio de Janeiro, LTC, 1998.
[4] MEYER, P.L. Probabilidade: Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro, LTC, 1983.
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