ENG1007_G2_12.1E

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Primeira prova – turma E 10/05/2012 
1a Questão (2,5 pontos) 
O eixo representado abaixo tem um trecho de seção maciça AB com raio de 15 mm, acoplado a um 
tubo BD com raio interno de 12,5 mm e externo de 25 mm. O eixo é feito de aço, com módulo de 
elasticidade transversal G = 75 GPa. 
 
a) Traçar o gráfico de torques que ocorrem ao longo do eixo. 
b) Determinar a máxima tensão de cisalhamento que ocorre no eixo. 
c) Determinar a máxima rotação relativa entre seções que pode ocorrer. Observe que há vários casos 
a considerar. 
 
 
 
 
 
 
a) 
 
 
b) 
( )4
40 15 7,55 ;
15
2
AB
Nm mm MPa
mm
τ
pi
×
= =
 
( )4 4 4
30 25 1,30
25 12,5
2
CD
Nm mm MPa
mm
τ
pi
×
= =
−
7,55
máx MPaτ⇒ = 
c) 
( )4
40 300 0,0020
75 15
2
AB
Nm mm
rad
GPa mm
ϕ
pi
×∆ = =
×
 
( )4 4 4
20 200 0,000093
75 25 12,5
2
BC
Nm mm
rad
GPa mm
ϕ
pi
×∆ = =
× −
 
( )4 4 4
30 300
-0,00021
75 25 12,5
2
CD
Nm mm
rad
GPa mm
ϕ
pi
− ×∆ = =
× −
 
( )0,0021 entre as seções A e C, no sentido do vetor em Amáx AB BC radϕ ϕ ϕ⇒ ∆ = ∆ + ∆ = 
 
 
 
 
 
 
4 4( )
2 e i
AB AB
B A
T
J
J r r
T L
GJ
ρ
τ
pi
ϕ ϕ
=
= −
− =
A CB
D
40 Nm
20 Nm
30 Nm−
2a Questão (2,5 pontos) 
a) Calcular as três reações de apoio da viga abaixo, sujeita ao carregamento indicado (2,0). 
b) Usar uma equação de equilíbrio suplementar para verificar a correção das contas do item a (0,5). 
 
 
 
 
Resposta: As reações de apoio estão representadas na figura. Pode-se verificar que o somatório de 
momentos em relação a qualquer ponto é sempre igual a zero. 
 
 
 
14
3
kNm−
0
32
3
kN
3a Questão (2,5 pontos) 
Para a viga abaixo, submetida ao carregamento indicado, já foram calculadas as reações de apoio. 
Determine os diagramas de esforço cortante e momento fletor, assim como as expressões dos 
esforços em cada trecho. 
 
 
 
 
 
 
3 kN 
8 kN 
B 
3 kN/m 
1,0 m 1,0 m 5,0 m A 
VB =16,5 kN VA =9,5 kN 
)()( xq
dx
xdV
−=
)()( xV
dx
xdM
=
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
4a Questão (2,5 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de 
esforço cortante (V) e momento fletor (M) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
 
)()( xq
dx
xdV
−= 
 
)()( xV
dx
xdM
= 
 
 
 
 
 
 
0 1x< ≤ : ( ) 30V x = , 
1 3x≤ ≤ : ( ) 45 15V x x= − 
 
0 0,5x≤ < : ( ) 45 30M x x= − + , 
0,5 1x< ≤ : ( ) 60 30M x x= − + , 
1 3x≤ ≤ : 2( ) 67,5 45 7,5M x x x= − + − 
 
 
 
 
 
 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
-45 
30 
- 
(V) 
(M) 
-30 
 + 
45 kNm 
30 kN 
q = 15 kN/m 
0,5 m 2,0 m 
M = 15 kNm 
x 
0,5 m 
-45 
-30