ENG1007_G3_11_1D

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Segunda prova (G3) – turma D 16/06/2011 
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Matrícula: 
Turma: 
 
1a Questão (2,5 pontos) 
Calcule as reações nos apoios A e B da estrutura esquematizada abaixo. Faça um esboço do 
resultado obtido, indicando módulo, direção e sentido das reações que atuam sobre a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a 2a 3a 4a Nota 
 
1,5 m 2 m 
A 
q = 0,5 k N/m 
2 m 
2 m 
4 k N 
B 
3 kN.m 
1,5 m 
2a Questão (2,5 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de 
esforço cortante (V) e momento fletor (M) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
 
 
)()( xq
dx
xdV
−= 
 
)()( xV
dx
xdM
= 
 
 
 
 
 
 
 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
x 
0 
-10kN 
-20kN 
-30kN 
-40kN 
30kNm 
10 kNm 
0 
-60kNm 
V 
M 
1m
 
3a Questão (2,5 pontos) 
Considere a viga formada por duas peças, de mesmo material e altura h1 = 10 cm e h2 = 20 cm, 
coladas como indicado na figura. Sabendo que a tensão cisalhante admissível do material é τadm = 
500 kPa e a tensão cisalhante máxima suportada pela cola é τcola = 300 kPa, pede-se o mínimo valor 
da base b para suportar o carregamento indicado. São dadas as reações de apoio e esquematizados 
os diagramas de esforço cortante (kN) e momento fletor (kN.m). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
2 2
 ; 
12
 
8 2
x z
z
xy
z
M bhy I
I
V h y
I
σ
τ
= =
 
= − 
 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
y
4a Questão (2,5 pontos) 
Para a viga ao lado, submetida ao carregamento 
indicado, já foram calculadas as reações de apoio 
(em kN e m). Tem-se também a expressão 
analítica do momento fletor, observando-se a 
existência de uma rótula em 1x m= : 
2 5 4M x x kNm= − + −
 ( 20 << x ) 
2 5 6M x x kNm= − + −
 ( 32 ≤< x ) 
Calcular a expressão da deflexão transversal 
( )v x
 da viga, dada pela fórmula 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
= . 
Embora não seja necessário para os cálculos, as 
contas ficam facilitadas pela informação de que, 
no trecho 2 3x≤ ≤ , 
4
3 2
3
5 45 45( ) 3
12 6 8 8z
xEI v x x x x= − + − + −
 
 
 
 
x 
M=2 kNm 
1m 1m 1m 
q =2 kN/m 
1=BR
5=AR
4=AM
5
1−
V
M
4-
2
0,25
( )v x
ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Segunda prova (G3) – turma D 16/06/2011 
1a Questão (2,5 pontos) 
Calcule as reações nos apoios A e B da estrutura esquematizada abaixo. Faça um esboço do 
resultado obtido, indicando módulo, direção e sentido das reações que atuam sobre a estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a Questão (2,5 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de 
esforço cortante (V) e momento fletor (M) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
 
 
)()( xq
dx
xdV
−= 
 
)()( xV
dx
xdM
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reações de apoio: AV = 40kN, MA = 60kNm. Distâncias e carregamento indicados. 
 
V = 0 0 < x < 1m M = 30 0 < x< 1m 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
AM
M2=20 kNm 
1m 1m 2m 
10 kN 
 q=10 kN/m 
10 kN 
M1 = 30 kNm 
yAx 
0 
-10kN 
-20kN 
-30kN 
-40kN 30kNm 
10 kNm 
0 
-60kNm 
1,4 kN 3,6 kN 3 m 2 m 
A 
q = 0,5 k N/m 
2 m 
2 m 
4 k N 
B 
3 kN.m 
1 kN 
V = -10 1m < x < 2m M = -10x + 20 1m < x < 2m 
V = -10x 2m < x < 4m M = -5x2 + 20 2m < x < 4m 
 
3a Questão (2,5 pontos) 
Considere a viga formada por duas peças, de mesmo material e altura h1 = 10 cm e h2 = 20 cm, 
coladas como indicado na figura. Sabendo que a tensão cisalhante admissível do material é τadm = 
500 kPa e a tensão cisalhante máxima suportada pela cola é τcola = 300 kPa, pede-se o mínimo valor 
da base b para suportar o carregamento indicado. São dadas as reações de apoio e esquematizados 
os diagramas de esforço cortante (kN) e momento fletor (kN.m). 
 
 
|Vmax| = 9,6 kN em x = 10+ m 
A = 0,3 b m2 
Cisalhamento máximo 
(x, y, z) = (10+; 0; qualquer z) 
bb
48Pa
3,0
 10 6,95,1
3
max =
⋅
=τ
 kPa 
50048 =< cadmb
τ kPa => b> 9,6 cm 
 
Cisalhamento na cola 
(x, y, z) = (10+; -0,05; qualquer z) 
bb
67,42Pa05,0
4
3,0
3,0
 10 6,96 2
2
3
3
=





−
⋅
⋅
=τ kPa 
30067,42 =< colab
τ kPa => b> 14,2 cm 
 
R: b = 14,2 cm 
4a Questão (2,5 pontos) 
Para a viga ao lado, submetida ao 
carregamento indicado, já foram calculadas 
as reações de apoio (em kN e m). Tem-se 
também a expressão analítica do momento 
fletor, observando-se a existência de uma 
rótula em 1x m= : 
2 5 4M x x kNm= − + −
 ( 20 << x ) 
2 5 6M x x kNm= − + −
 ( 32 ≤< x ) 
Calcular a expressão da deflexão transversal 
( )v x
 da viga, dada pela fórmula 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
= . 
Embora não seja necessário para os 
cálculos, as contas ficam facilitadas pela 
informação de que, no trecho 2 3x≤ ≤ , 
4
3 2
3
5 45 45( ) 3
12 6 8 8z
xEI v x x x x= − + − + −
 
 
Gabarito: 
Serão, em princípio, realizadas integrações em três trechos, com as seguintes condições de 
contorno, para a determinação das constantes de integração: 11
(0)(0) 0, 0dvv
dx
= = , 
32
2 1 3 2
(2)(2)(1) (1), (2) (2), dvdvv v v v
dx dx
= = = , 3 (3) 0v = . Mas as contas ficam facilitadas pela 
informação da equação de ( )v x no trecho 2 3x≤ ≤ . 
Primeiro trecho, 0 1x≤ ≤ : 
2 3 4
2 2 3 21 1
1 1 1 22
( ) ( ) 5 55 4 4 ( ) 2
3 2 12 6z z z
d v x dv x x xEI x x EI x x C EI v x x x C x C
dx dx
= − + − ⇒ = − + − + ⇒ = − + − + +
Mas 11 1 2
(0)(0) 0, 0 0dvv C C
dx
= = ⇒ = =
4
3 2
1
5( ) 2
12 6z
xEI v x x x∴ = − + −
 
Segundo trecho, 1 2x≤ ≤ : 
2 3 4
2 2 3 22 2
5 2 5 62
( ) ( ) 5 55 6 6 ( ) 3
3 2 12 6z z z
d v x dv x x xEI x x EI x x C EI v x x x C x C
dx dx
= − + − ⇒ = − + − + ⇒ = − + − + +
Mas 2 1 2 3 3 4
13 13(1) (1), (2) (2) ;
8 8
v v v v C C= = ⇒ = = −
4
3 2
2
5 13 13( ) 2
12 6 8 8z
xEI v x x x x∴ = − + − + −
 Verificação: 32 (2)(2) dvdv
dx dx
=
 
 
 
x 
M=2 kNm 
1m 1m 1m 
q =2 kN/m 
1=BR
5=AR
4=AM
5
1−
V
M
4-
2
0,25
( )v x