prova_p2_calc3_2009_1_eng

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M
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Universidade Federal do Rio de Janeiro
2a Prova Unificada de Ca´lculo III
Engenharia e Engenharia Qu´ımica
23/06/2009
1a Questa˜o: (2.5 pontos)
Considere a curva C obtida como intersec¸a˜o do plano z = 1 com a superf´ıcie dada por
x2
3
+ y2 +
z2
4
= 1; y ≥ 0.
Considere C orientada no sentido crescente de x e calcule
∫
C
F · dr , onde F e´ o campo
definido por
F (x, y, z) =
(
2xy cos(x2) + zex, sen(x2) +
2y
y2 + 1
, ex
)
.
2a Questa˜o: (2.5 pontos)
Seja C o segmento de reta de R3 que liga os pontos P1 = (1, 0, 3) e P2 = (2, 0, 1).
a) Parametrize a superf´ıcie S obtida como rotac¸a˜o de C em torno do eixo z.
b) Calcule
∫∫
S
(x + z) dS.
3a Questa˜o: (2.5 pontos)
Considere a curva C obtida como intersec¸a˜o das superf´ıcies definidas pelas equac¸o˜es
z = 1− x2 e z = x2 + y2. Calcule
∮
C
F · dr indicando a orientac¸a˜o escolhida, onde
F (x, y, z) =
(
(2− z)y, sen(y3), −
xy
2
)
.
4a Questa˜o: (2.5 pontos)
Considere o campo
F (x, y, z) =
(
x
(x2 + y2 + z2)3/2
+ 3x,
y
(x2 + y2 + z2)3/2
,
z
(x2 + y2 + z2)3/2
)
.
Calcule o fluxo de F atrave´s das faces do cubo
W =
{
(x, y, z) ∈ R3 | − 2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2, −2 ≤ z ≤ 2
}
,
com vetores normais apontando para dentro.
Justifique suas respostas Boa prova!