ENG1007_P3_12.1F

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ENG 1007 – INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
Terceira prova (P3) – turma F 15/06/2012 
1a Questão (3,0 pontos) 
A viga da figura está submetida a um determinado carregamento, apresentando os diagramas de esforço 
cortante (kN) e momento fletor (kNm) abaixo. Não há esforço normal. Determine: 
a) As reações de apoio 
b) As distâncias marcadas 
c) O carregamento (cargas concentradas e distribuídas) 
d) As expressões algébricas para o esforço cortante e o momento fletor 
 
)()( xq
dx
xdV
−=
 
)()( xV
dx
xdM
=
 
 
 
 
 
Resposta: a), b) e c) marcadas na figura 
 
d) 
0 1x< ≤ : ( ) 85V x = , ( ) 85 315M x x= − 
1 3x≤ ≤ : ( ) 100 15V x x= − , 2( ) 100 7,5 322,5M x x x= − − 
3 5x≤ ≤ : ( ) 95 15V x x= − , 2( ) 95 7,5 307,5M x x x= − − 
5 6x≤ ≤ : ( ) 20V x = , ( ) 20 120M x x= − 
85 kN 
315 kNm 
x
qM
V
dx
V dV+
M dM+
2a Questão (3,5 pontos) 
Determine para a viga abaixo, de seção retangular b=10 cm e h=45 cm, e para a qual já são fornecidos 
os diagramas e reações de apoio: 
1-as máximas tensões normais (trativa e compressiva), dando as coordenadas de onde ocorrem; 
2- a máxima tensão cisalhante, dando as coordenadas de onde ocorre. 
 
 
 
 






−==
==
2
y
8
hbQ
bI
VQ
12
bhI;
I
My
22
z
z
z
3
z
z
x
τ
σ
 
 
 DEC 
 
 
 
 DMF 
 
 
 
 
Ay = 20 kN 
MA = 10 kNm 
x 
1m 1m 2m 
q2=2 kN/m 
q1=4 kN/m 
Ay 
MA 
M=20 kN.m 
3a Questão (3,5 pontos) 
Para a viga abaixo, submetida ao carregamento indicado, tem-se a expressão analítica do momento 
fletor: 
23
4 2
q x qxM = −l , 0 / 2x≤ < l ; 
2 23
4 2 4
q x qx qM = − −l l , / 2 x< ≤l l 
 
 
Calcular a expressão da deflexão transversal ( )v x da viga, dada pela fórmula 
2
2
( ) ( )z
d v xEI M x
dx
= . 
Gabarito: 
Serão realizadas integrações em dois trechos, com as seguintes condições de contorno, para a 
determinação das constantes de integração: 1 2(0) 0, ( ) 0v v= =l , 1 2( / 2) ( / 2),v v=l l
2 1( / 2) ( / 2)dv dv
dx dx
=
l l
. 
Primeiro trecho: 
2 2 2 3 3 4
1 1
1 1 1 22
( ) ( )3 3 ( )
4 2 8 6 8 24z z z
d v x dv xq x qx q x qx q x qxEI EI C EI v x C x C
dx dx
= − ⇒ = − + ⇒ = − + +
l l l
 
Segundo trecho: 
2 2 2 2 3 2 3 4 2 2
2 2
3 2 3 42
( ) ( )3 3 ( )
4 2 4 8 6 4 8 24 8z z z
d v x dv xq x qx q q x qx q x q x qx q xEI EI C EI v x C x C
dx dx
= − − ⇒ = − − + ⇒ = − − + +
l l l l l l
 
 
De 1(0) 0v = , obtém-se 2 0C = . 
De 1 2( / 2) ( / 2)v v=l l , obtém-se¨ 
( )3/ 2
8
ql l ( )4/ 2
24
q
−
l ( ) ( )
3
1 2
/ 2
/ 2
8
q
C C+ + =
l l
l
( )4/ 2
24
q
−
l ( ) ( )
22
3 4
3
1 3 4
/ 2
/ 2
8
2
16
q
C C
qC C C
− + +
⇒ = − + +
l l
l
l
l
 
De 2 1( / 2) ( / 2)dv dv
dx dx
=
l l
, obtém-se 
( )23 / 2
8
ql l ( )3/ 2
6
q
−
l ( )2
1
3 / 2
8
q
C+ =
l l ( )3/ 2
6
q
−
l ( )2 3
3 1 3
/ 2
4 8
q qC C C− + ⇒ = − +
l l l
 
Tem-se destas duas equações, portanto, que 
4
4 32
qC = − l . 
De 2 ( ) 0v =l , obtém-se 
4 4 4 4 3
3 3
70
8 24 8 32 96
q q q qC C− − + − = ⇒ =l l l l ll 
Finalmente, 
3 3
1 3
5
8 96
q qC C= − + = −l l 
Resposta: 
3 4 3
1
5( )
8 24 96z
q x qx q xEI v x = − −l l
 
3 4 2 2 3 4
2
7( )
8 24 8 96 32z
q x qx q x x qEI v x = − − + −l l l l
 
A B 
x 
2
4
ql q
/ 2l/ 2l