exerc_sep_variaveis

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Instituto de Matem�atica - IM/UFRJ
C�alculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Lista de exerc��cios do M�etodo de Separa�c~ao de Vari�aveis
Modelos de exerc��cios de separa�c~ao de vari�aveis que dever~ao nortear o t�opico de Separa�c~ao de Vari�aveis
no C�alculo IV. Como exemplo, a nona quest~ao cont�em a solu�c~ao.
Consideremos nos exerc��cios abaixo que u(x; t) = X(x)T (t) no m�etodo de separa�c~ao das vari�aveis.
Quest~ao 1:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
<
>
:
u
t
(x; t)� 4u
xx
(x; t) = 0; x 2 (0; �); t > 0
u(0; t) = u(�; t) = 0; t > 0
u(x; 0) = x; x 2 (0; �)
(1a)
(1b)
(1c)
(a) Obtenha os autovalores e as suas respectivas autofun�c~oes do problema de autovalor abaixo:
X
00
(x)� �X(x) = 0
X(0) = 0
X(�) = 0
(b) Utilizando os autovalores obtidos no item anterior, encontre as respectivas solu�c~oes T (t)
(c) Utilizando os resultados anteriores obtenha uma candidata a solu�c~ao de (1a) e (1b)
(d) Analisando a condi�c~ao inicial (1c) obtenha a solu�c~ao do problema
Quest~ao 2:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
<
>
:
u
t
(x; t)� 4u
xx
(x; t) = 0; x 2 (0; �); t > 0
u
x
(0; t) = u
x
(�; t) = 0; t > 0
u(x; 0) = x; x 2 (0; �)
(2a)
(2b)
(2c)
(a) Obtenha os autovalores e as suas respectivas autofun�c~oes do problema de autovalor abaixo:
X
00
(x)� �X(x) = 0
X
0
(0) = 0
X0(�) = 0
(b) Utilizando os autovalores obtidos no item anterior, encontre as respectivas solu�c~oes T (t)
(c) Utilizando os resultados anteriores obtenha uma candidata a solu�c~ao de (2a) e (2b)
(d) Analisando a condi�c~ao inicial (2c) obtenha a solu�c~ao do problema
Quest~ao 3:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
<
>
:
u
t
(x; t)� 4u
xx
(x; t) = 0; x 2 (0; 1); t > 0
u(0; t) = 20; u(1; t) = 30; t > 0
u(x; 0) = f(x); x 2 (0; 1)
(3a)
(3b)
(3c)
sendo
f(x) =
�
�
�
�
�
�
�
1; 0 � x �
1
2
x+
1
2
;
1
2
< x < 1
P�agina 1 de 7
C�alculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Lista de exerc��cios do M�etodo de Separa�c~ao de Vari�aveis(continua�c~ao)
(a) Encontre v(x) que satisfa�ca as condi�c~oes de fronteira (3b), isto �e v(0) = 20 e v(1) = 30
(b) Seja w(x; t) = u(x; t)� v(x). Encontre o Problema de Valor Inicial e de Fronteira semelhante
�as equa�c~oes (3a), (3b) e (3c) envolvendo a fun�c~ao w(x; t)
(c) Resolva o problema do item anterior seguindo os mesmos passos da quest~ao 1
(d) Encontre a solu�c~ao u(x; t)
Quest~ao 4:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
t
(x; t)� u
xx
(x; t)� 3u(x; t) = 0; x 2 (0; 2); t > 0
u
x
(0; t) = u
x
(2; t) = 0; t > 0
u(x; 0) = 1 + cos
3�x
2
; x 2 (0; 2)
(4a)
(4b)
(4c)
(a) Considerando u(x; t) = X(x)T (t) conclua que
T
0
(t)
T (t)
� 3 =
X
00
(x)
X(x)
= ff
(b) Desprezando o caso em que as ra��zes da equa�c~ao caracter��stica s~ao reais e distintas, obtenha
os autovalores e as suas respectivas autofun�c~oes do problema de autovalor abaixo:
X
00
(x)� ffX(x) = 0
X
0
(0) = 0
X
0
(2) = 0
(c) Utilizando os autovalores obtidos no item anterior, encontre as respectivas solu�c~oes T (t)
(d) Utilizando os resultados anteriores obtenha uma candidata a solu�c~ao de (4a) e (4b)
(e) Analisando a condi�c~ao inicial (4c) obtenha a solu�c~ao do problema
Quest~ao 5:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
t
(x; t)� u
xx
(x; t)� 3u(x; t) = 0; x 2 (0; 2); t > 0
u(0; t) = u(2; t) = 0; t > 0
u(x; 0) = 1 + cos
3�x
2
; x 2 (0; 2)
(5a)
(5b)
(5c)
Use o m�etodo da Separa�c~ao de Vari�aveis para resolver o Problema de Valor Inicial e de Fronteira
acima. Detalhe os passos.
Quest~ao 6:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
tt
(x; t)� 4u
xx
(x; t) = 0; x 2 (0; �); t > 0
u(0; t) = u(�; t) = 0; t > 0
u(x; 0) = 0; x 2 (0; �)
u
t
(x; 0) = x+ 2; x 2 (0; �)
(6a)
(6b)
(6c)
(6d)
P�agina 2 de 7
C�alculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Lista de exerc��cios do M�etodo de Separa�c~ao de Vari�aveis(continua�c~ao)
(a) Obtenha os autovalores e as suas respectivas autofun�c~oes do problema de autovalor abaixo:
X
00
(x)� �X(x) = 0
X(0) = 0
X(�) = 0
(b) Utilizando os autovalores obtidos no item anterior, encontre as respectivas solu�c~oes T (t)
(c) Utilizando os resultados anteriores obtenha uma candidata a solu�c~ao de (6a) e (6b)
(d) Analisando as condi�c~oes iniciais (6c) e (6d) obtenha a solu�c~ao do problema
Quest~ao 7:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
tt
(x; t)� 4u
xx
(x; t) = 0; x 2 (0; �); t > 0
u(0; t) = u(�; t) = 0; t > 0
u(x; 0) = x+ 2; x 2 (0; �)
u
t
(x; 0) = 0; x 2 (0; �)
(7a)
(7b)
(7c)
(7d)
Use o m�etodo da Separa�c~ao de Vari�aveis para resolver o Problema de Valor Inicial e de Fronteira
acima. Detalhe os passos.
Quest~ao 8:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
tt
(x; t)� 4u
xx
(x; t) = 0; x 2 (0; �); t > 0
u
x
(0; t) = 0; u
x
(�; t) = 0; t > 0
u(x; 0) = x+ 2; x 2 (0; �)
u
t
(x; 0) = 2 + 5 cos 96x; x 2 (0; �)
(8a)
(8b)
(8c)
(8d)
(a) Desprezando o caso em que as ra��zes da equa�c~ao caracter��stica s~ao reais e distintas, obtenha
os autovalores e as suas respectivas autofun�c~oes do problema de autovalor abaixo:
X
00
(x)� ffX(x) = 0
X
0
(0) = 0
X
0
(�) = 0
(b) Utilizando os autovalores obtidos no item anterior, encontre as respectivas solu�c~oes T (t)
(c) Utilizando os resultados anteriores obtenha uma candidata a solu�c~ao de (8a) e (8b)
(d) Analisando as condi�c~oes iniciais (8c) e (8d) obtenha a solu�c~ao do problema
Quest~ao 9:
Seja o Problema de Valor Inicial e de Fronteira abaixo:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
tt
(x; t)� 4u
xx
(x; t) = 0; x 2 (0; �); t > 0
u(0; t) = 2; u(�; t) = 2 + 5�t; t > 0
u(x; 0) = 2 + x; x 2 (0; �)
u
t
(x; 0) = 5x+ 12 sin 30x+ 5 sin 42x; x 2 (0; �)
(9a)
(9b)
(9c)
(9d)
Use o m�etodo da Separa�c~ao de Vari�aveis para resolver o Problema de Valor Inicial e de Fronteira
acima. Detalhe os passos.
P�agina 3 de 7
C�alculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Lista de exerc��cios do M�etodo de Separa�c~ao de Vari�aveis(continua�c~ao)
Solu�c~ao:
Vamos seguir um procedimento padr~ao similar ao que foi indicado ao longo dos itens da terceira
quest~ao. Como as condi�c~oes de fronteira n~ao s~ao nulas, procuraremos uma fun�c~ao que varie
linearmente com x (para cada t �xo) que as satisfa�ca. Usando uma interpola�c~ao linear em x,
vemos que v(x; t) = 2+5xt satisfaz as condi�c~oes desejadas, isto �e v(0; t) = 2 e v(�; t) = 2+5�t.
Notemos que v(x; t) satisfaz a equa�c~ao da onda (9a), isto �e, v
tt
(x; t)� 4v
xx
(x; t) = 0.
Seja, ent~ao, w(x; t) := u(x; t)� v(x; t). Temos que
� usando (9a) obtemos w
tt
(x; t)� 4w
xx
(x; t) = 0, x 2 (0; �); t > 0.
� usando (9b) obtemos que w(0; t) = 0, w(�; t) = 0, t > 0,
� usando (9c) obtemos que w(x; 0) = x, x 2 (0; �),
� usando (9d) obtemos que w
t
(x; 0) = 12 sin 30x+ 5 sin 42x; x 2 (0; �).
Em resumo, w(x; t) satisfaz o seguinte Problema de Valor Inicial e de Fronteira:
8
>
>
>
<
>
>
>
:
w
tt
(x; t)� 4w
xx
(x; t) = 0; x 2 (0; �); t > 0
w(0; t) = 0; w(�; t) = 0; t > 0
w(x; 0) = x; x 2 (0; �)
w
t
(x; 0) = 12 sin 30x+ 5 sin 42x; x 2 (0; �)
(9.1a)
(9.1b)
(9.1c)
(9.1d)
Vamos aplicar a t�ecnica de separa�c~ao de vari�aveis para resolver o Problema de Valor Inicial e de
Fronteira dado por (9.1a), (9.1b), (9.1c) e (9.1d). Vamos procurar, por enquanto, fun�c~oes n~ao
nulas que satisfa�cam (9.1a) e que sejam da forma w(x; t) = X(x)T (t). Ent~ao, w
tt
= X(x)T
00
(t)
e w
xx
= X
00
(x)T (t). Substituindo em (9.1a) obtemos XT
00
�4X
00
T = 0. Rearranjando os termos
e dividindo por 4X(x)T (t) obtemos
X
00
(x)
X(x)
=
T
00
(t)
4T (t)
= ��: (9.2)
Notemos que o primeiro termoda equa�c~ao acima s�o depende de x, o segundo termo s�o depende
de t e como desejamos que sejam iguais para todo t > 0 e x 2 (0; �) concluimos que independem
de x e t e, portanto, s~ao uma constante. Denominamos esta constante como sendo ��, sendo
o sinal negativo apenas para seguir a nota�c~ao do livro texto, pois o sinal escolhido n~ao importa
no resultado �nal.
Vamos usar, agora, as condi�c~oes de fronteira, isto �e, (9.1b). Temos que 0 = w(0; t) = X(0)T (t),
para todo t > 0. Como n~ao estamos interessados em solu�c~ao trivial concluimos que X(0) = 0.
Analogamente, obtemos queX(�) = 0. Usando estas condi�c~oes nas EDOs obtidas anteriormente
podemos obter o seguinte problema de autovalores:
8
>
<
>
:
X
00
(x) + �X(x) = 0
X(0) = 0
X(�) = 0
O procedimento a seguir visa obter os autovalores e autofun�c~oes do problema de autovalor acima.
A equa�c~ao caracter��stica �e dada por r
2
+ � = 0. Vamos analisar as tre^s situa�c~oes poss��veis:
P�agina 4 de 7
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Lista de exerc��cios do M�etodo de Separa�c~ao de Vari�aveis(continua�c~ao)
� Ra��zes da equa�c~ao caracter��stica reais e distintas. Isto ocorrer�a quando � < 0 e as ra��zes
ser~ao r
1
=
p
�� e r
2
= �r
1
. A solu�c~ao geral �e dada porX(x) = Ce
�r
1
x
+De
r
1
x
. Aplicando
a restri�c~ao em x = 0 obtemos que D = �C e a solu�c~ao se torna X(x) = Ce
�r
1
x
� Ce
r
1
x
.
Substituindo X(�) = 0 nesta express~ao obtemos que 0 = X(�) = Ce
�r
1
�
� Ce
r
1
�
. Isto
implica que C(e
2r
1
�
� 1) = 0. Como e
2r
1
�
� 1 > 0, pois r
1
> 0 (ra��zes reais e distintas),
concluimos que C = 0 e, portanto, esta situa�c~ao n~ao tem autovalor (a �unica solu�c~ao �e a
trivial).
� Ra��zes da equa�c~ao caracter��stica reais iguais. Isto ocorrer�a quando � = 0 e as ra��zes ser~ao
r
1
= r
2
= 0. A solu�c~ao geral �e dada por X(x) = C + Dx. Aplicando a restri�c~ao em
x = 0 obtemos que C = 0 e a solu�c~ao se torna X(x) = Dx. Substituindo X(�) = 0 nesta
express~ao obtemos que 0 = X(�) = D�. Isto implica que D = 0 e concluimos que esta
situa�c~ao n~ao tem autovalor (a �unica solu�c~ao �e a trivial).
� Ra��zes da equa�c~ao caracter��stica s~ao complexos conjugados. Isto ocorrer�a quando � > 0
e as ra��zes ser~ao r
1
=
p
�
p
�1 e r
2
= �
p
�
p
�1. Seja 
 =
p
� > 0. A solu�c~ao geral �e
dada por X(x) = C cos 
x+D sin 
x. Aplicando a restri�c~ao em x = 0 obtemos que C = 0
e a solu�c~ao se torna X(x) = D sin 
x. Substituindo X(�) = 0 nesta express~ao obtemos
que 0 = X(�) = D sin 
�. Isto implica que ou D = 0 (que n~ao nos interessa pois fornece
solu�c~ao trivial) ou sin 
� = 0. Sabemos que o seno se anula nos pontos da forma n�, com
n 2 Z. Ent~ao 
� = n�. Como 
 > 0, conclu��mos que os autovalores s~ao da forma �
n
= n
2
,
com n 2 N
�
. As autofun�c~oes correspondentes a estes autovalores ser~ao X
n
(x) = sinnx.
Com os autovalores, podemos usar a EDO em (9.2) para obter T
n
(t).
Temos, ent~ao, que T
00
n
+ 4n
2
T
n
(t) = 0. De forma an�aloga ao que j�a �zemos, obtemos que a
solu�c~ao geral �e dada por T
n
(t) = C
n
sin 2nt + D
n
cos 2nt. Concluimos que, para cada n 2
N temos uma solu�c~ao da EDP (9.1a) satisfazendo as condi�c~oes de fronteira (9.1b) dada por
w
n
(x; t) = sinnx (C
n
sin 2nt+D
n
cos 2nt).
Finalmente, a s�erie de fun�c~oes que �e candidata a solu�c~ao do PVIF �e da forma
w(x; t) =
1
X
n=1
sinnx (C
n
sin 2nt+D
n
cos 2nt) : (9.3)
Resta, agora, utilizar as condi�c~oes iniciais para obter todos os coe�cientes C
n
e D
n
.
Tomando t = 0 em (9.3) vemos que
w(x; 0) =
1
X
n=1
D
n
sinnx: (9.4)
Mas esta s�erie trigonom�etrica �e uma s�erie de Fourier correspondente a uma fun�c~ao ��mpar e
peri�odica de per��odo 2� (basta comparar com a express~ao para os termos em seno da S�erie
de Fourier). Como, por (9.1c), desejamos que w(x; 0) = x para x 2 (0; �), vamos considerar
a extens~ao ��mpar e peri�odica de per��odo 2� da fun�c~ao w
0
(x) = x, com x 2 (0; �). Como esta
extens~ao �e seccionalmente cont��nua com derivada seccionalmente cont��nua e peri�odica de per��odo
2� temos, pelo Teorema de Fourier, que a sua s�erie de Fourier converge para w
0
(x) nos pontos
em que esta for cont��nua. A S�erie de Fourier desta extens~ao �e dada por
P
1
n=1
b
n
sinnx, sendo
b
n
dado por
b
n
=
2
�
Z
�
0
x sinnxdx =
2
n
(� cosn�) =
2
n
(�1)
n+1
(9.5)
P�agina 5 de 7
C�alculo Diferencial e Integral IV - MAC248
Lista de exerc��cios do M�etodo de Separa�c~ao de Vari�aveis(continua�c~ao)
Comparando (9.4) com a S�erie de Fourier para a extens~ao de w
0
(x) e usando (9.5) concluimos
que D
n
=
2
n
(�1)
n+1
, para todo n 2 N
�
.
Ainda n~ao utilizamos a condi�c~ao da velocidade inicial (9.1d). Assumindo que a a derivada de
w(x; t) existe e �e dada pela deriva�c~ao termo a termo da s�erie temos que
w
t
(x; t) =
1
X
n=1
2n sinnx (C
n
cos 2nt�D
n
sin 2nt) : (9.6)
Aplicando em t = 0 obtemos que
w
t
(x; 0) =
1
X
n=1
2nC
n
sinnx: (9.7)
Para satisfazer a equa�c~ao (9.1d), basta comparar (9.7) com (9.1d). Vemos, ent~ao que 60C
30
= 12,
84C
42
= 5 e C
n
= 0 para n 6= 30 e n 6= 42.
Com os coe�cientes obtidos temos que a solu�c~ao para (9.1a), (9.1b), (9.1c) e (9.1d) �e dada por
w(x; t) =
1
5
sin 30x sin 60t+
5
84
sin 42x sin 84t+
1
X
n=1
2
n
(�1)
n+1
sinnx cos 2nt:
Finalmente, temos que u(x; t) = v(x; t) + w(x; t) implicando que a solu�c~ao do exerc��cio �e dada
por
u(x; t) = 2 + 5xt+
1
5
sin 30x sin 60t+
5
84
sin 42x sin 84t+
1
X
n=1
2
n
(�1)
n+1
sinnx cos 2nt:
Consideremos nos exerc��cios abaixo que u(r; �) = R(r)T (�) no m�etodo de separa�c~ao das vari�aveis.
Quest~ao 10:
Seja o Problema de Valor de Fronteira abaixo:
(
r
2
u
rr
+ ru
r
+ u
��
= 0; r 2 [0; 2); � 2 (0; 2�]
u(2; �) = sen(2�); � 2 (0; 2�)
(10a)
(10b)
Procure solu�c~oes que satisfa�cam u(r; �) = u(r; � + 2�) para r 2 [0; 2]:
(a) Desprezando o caso em que as ra��zes da equa�c~ao caracter��stica s~ao reais distintas, obtenha os
autovalores e as suas respectivas autofun�c~oes do problema de autovalor abaixo:
T
00
(�)� ffT (�) = 0
T (�) = T (� + 2�); � 2 [0; 2�]
(b) Utilizando os autovalores obtidos no item anterior, encontre as respectivas solu�c~oes R(r). S�o
considere R(r) se esta for limitada ( ou cont��nua )
P�agina 6 de 7
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Lista de exerc��cios do M�etodo de Separa�c~ao de Vari�aveis(continua�c~ao)
(c) Utilizando os resultados anteriores obtenha uma candidata a solu�c~ao de (10a)
(d) Analisando a condi�c~ao de fronteira (10b) obtenha a solu�c~ao do problema
Quest~ao 11:
Seja o Problema de Valor de Fronteira abaixo:
(
r
2
u
rr
+ ru
r
+ u
��
= 0; r > 2; � 2 (0; 2�]
u(2; �) = 1 + �; � 2 (0; 2�)
(11a)
(11b)
Suponha que u(r; �) est�a bem de�nida e �e limitada para r > 2. Procure solu�c~oes que satisfa�cam
u(r; �) = u(r; � + 2�) para r > 2:
Use o m�etodo da Separa�c~ao de Vari�aveis para resolver o Problema de Valor de Fronteira acima.
Detalhe os passos.
Quest~ao 12:
Seja o Problema de Valor de Fronteira abaixo:
8
>
<
>
:
r
2
u
rr
+ ru
r
+ u
��
= 0; 0 6 r < 3; 0 < � < �=2
u(r; 0) = u(r; �=2) = 0; 0 6 r 6 3
u(3; �) = 2 sin 36�; 0 6 � < �=2
(12a)
(12b)
(12c)
Suponha que u(r; �) est�a bem de�nida e �e limitada para 0 6 r 6 3.
Use o m�etodo da Separa�c~ao de Vari�aveis para resolver o Problema de Valor de Fronteira acima.
Detalhe os passos.
Quest~ao 13:
Seja o Problema de Valor de Fronteira abaixo:
8
>
<
>
:
r
2
u
rr
+ ru
r
+ u
��
= 0; 1 < r < 2; 0 6 � 6 2�
u(1; �) = 0; 0 6 � 6 2�
u(2; �) = 2 cos 3� � 3 sin 4�; 0 6 � < 2�
(13a)
(13b)
(13c)
Suponha que u(r; �) est�a bem de�nida e �e limitada para 1 6 r 6 2. Procure solu�c~oes que satisfa�cam
u(r; �) = u(r; � + 2�).
Use o m�etodo da Separa�c~ao de Vari�aveis para resolver o Problema de Valor de Fronteira acima.
Detalhe os passos.
P�agina 7 de7 Bons estudos!