Determine se a sequencia converge ou diverge

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Determine se a sequência converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite. 
a) 𝒂𝒏 = 𝟏 − (𝟎, 𝟐)
𝒏 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1 − (0,2)𝑛 = 1 − 0 = 1 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 1. 
b) 𝒂𝒏 =
𝒏𝟑
𝒏𝟑+𝟏
 
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛3
𝑛3 + 1
= 
lim 𝑛 → ∞
1
1 +
1
𝑛3
=
1
1 + 0
= 1 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 1. 
c) 𝒂𝒏 =
𝟑+𝟓²
𝒏+𝒏²
 
 
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
3 + 52
𝑛 + 𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
3
𝑛2
+ 5
1
𝑛 + 1
 
0 + 5
0 + 1
= 5 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 5. 
d) 𝒂𝒏 =
𝒏𝟑
𝒏+𝟏
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛3
𝑛 + 1
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛3
𝑛
𝑛
𝑛 +
1
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2
1 +
1
𝑛
 
No numerador 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2 = ∞ e no denominador 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1 +
1
𝑛
= 1. Então a sequência diverge, 
já que ∞ não é um número determinado. 
Resposta: Divergente 
e) 𝒂𝒏 = ⅇ
𝟏
𝒏⁄ 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
= 𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
ⅇ
1
𝑛⁄ = ⅇ0 = 1 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 1. 
f) 𝒂𝒏 =
𝟑𝒏+𝟐
𝟓𝒏
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
3𝑛+2
5𝑛
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
9 (
3
5
)
𝑛
= 9 ⋅ 0 = 0 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 0. 
g) 𝒂𝒏 =
𝒏+(−𝟏)𝒏
𝒏
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛
𝑛
+
(−1)𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1 +
(−1)𝑛
𝑛
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1 + 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
(−1)𝑛
𝑛
) = 1 + 0 = 1 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 1. 
h) 𝒂𝒏 =
𝟏−𝟐𝒏
𝟏+𝟐𝒏
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
−
2𝑛
𝑛
1
𝑛 +
2𝑛
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
− 2
1
𝑛 + 2
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
− 2
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛 + 2
=
−2
2
= −1 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para -1. 
i) 𝒂𝒏 =
𝟐𝒏+𝟏
𝟏−𝟑√𝒏
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
2𝑛 + 1
1 − 3√𝑛
= lim 𝑛 → ∞
2𝑛
√𝑛
+
1
√𝑛
1
√𝑛
−
3√𝑛
√𝑛
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(2√𝑛 +
1
√𝑛
)
(
1
√𝑛
− 3)
=
∞
−3
= −∞ 
Resposta: a sequência diverge 
j) 𝒂𝒏 =
𝒏𝟐−𝟐𝐧 +𝟏
𝒏−𝟏
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛2 − 2𝑛 + 1
𝑛 − 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
 𝑛 − 1 = ∞ 
Resposta: a sequência diverge 
k) 𝒂𝒏 =
𝟏−𝒏𝟑
𝟕𝟎−𝟒𝒏𝟐
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1 − 𝑛3
70 − 4𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛2
−
𝑛3
4𝑛2
70
𝑛2
−
4𝑛2
𝑛2
 
−
∞
−4
= ∞ 
Resposta: a sequência diverge 
l) 𝒂𝒏 = 𝟏 + (−𝟏)
𝒏 
Aplicando o critério de divergência de limite: 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1 + (−1)𝑛 
Se existem duas sequências, {𝑥𝑛}
∞
𝑛=1
 ⅇ {𝑦𝑛}
∞
𝑛=1
com 
𝑥𝑛 ≠ 𝑐 e 𝑦𝑛 ≠ 𝑐 
lim 𝑥𝑛 = lim 𝑦𝑛 = 𝑐 
lim 𝑓(𝑥𝑛) = lim(𝑦𝑛) 
Então 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) não existe. 
𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
(2𝑘) = ∞ 
𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
(2𝑘 + 1) = ∞ 
𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
(1 + (−1)2𝑘) = 2 
𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
(1 + (−1)2𝑘) = 2 
𝑙𝑖𝑚
𝑘→∞
(1 + (−1)2𝑘+1) = 0 
Como lim 𝑓(𝑥𝑛) ≠ lim(𝑦𝑛) então é divergente. 
m) 𝒂𝒏 = (−
𝟏
𝟐
)
𝒏
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−
1
2
)
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(−1)𝑛
2𝑛
= 0 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 0. 
n) 𝒂𝒏 =
𝒏
𝟐𝒏
 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑛
2𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
2𝑛𝑙𝑛2
= 0 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 0. 
o) 𝒂𝒏 = 𝟖
𝟏
𝒏 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
81/𝑛 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
ⅇ
1
𝑛
ln(8) 
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
1
𝑛
ln(8) = 0 e, pela regra da cadeira temos 𝑙𝑖𝑚
𝑢→0
(ⅇ𝑢) = 1 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para 1. 
p) 𝒂𝒏 = (𝟏 +
𝟕
𝒏
)
𝒏
 
lim
𝑛→∞
(1 +
7
𝑛
)
𝑛
= ⅇ7 
Foi encontrado um número finito, então a sequência é convergente e converge para ⅇ7.