Regra de Chio

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Regra de Chió 
 
Essa regra permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n usando uma matriz de ordem 1n − . Ela é 
aplicada quanto o elemento 11a for igual a 1. 
 
O emprego da regra de Chio se processa da seguinte forma: 
 
− Sendo 11 1a = , suprime-se a 1
a
 linha e a 1
a
 coluna da matriz. 
− De cada elemento restante, subtrai-se o produto dos dois elementos suprimidos, na linha e na coluna desse 
elemento restante. 
− Com os resultados das subtrações acima, obtém-se uma matriz uma ordem menor que a anterior, porém com 
mesmo determinante. 
 
Exemplo: 
 
1 2 0 1
3 2 1 6 0 1 9 ( 1) 1 1 6 10
1 3 6 9
1 2 4 2 0 4 0 ( 1) 4 7 2 4
4 1 2 0
2 2 ( 2) 3 0 ( 2) 4 ( 1) ( 2) 6 3 6
2 2 3 4
− 
− ⋅ − ⋅ − − ⋅    
     = − ⋅ − ⋅ − − ⋅ = −    
   − ⋅ − − ⋅ − − − − ⋅ − −     − − 
 
 
A matriz 
1 6 10
7 2 4
6 3 6
 
 − 
 − 
 tem o mesmo determinante (-462) que a matriz 
1 2 0 1
1 3 6 9
4 1 2 0
2 2 3 4
− 
 
 
 
 
− − 
. A diferença é que o 
determinante da matriz de ordem 3 pode ser calculado facilmente pela regra de Sarrus. 
 
Observações: 
 
1) Se o elemento 11a não for 1, porém existir algum elemento 1 em algum lugar da matriz, é possível obter uma matriz 
com determinante equivalente usando no máximo duas vezes a propriedade VII, ou seja, trocando-se a posição de linhas 
e colunas. Deve-se observar que, ao promover a troca o sinal do determinante muda. 
 
No exemplo a seguir, primeiro troca-se a 1
a
 linha com a 3
a
 linha; depois troca-se a 2
a
 coluna com a 1
a
. 
 
3 2 0 1 4 1 2 0 1 4 2 0
2 3 6 9 2 3 6 9 3 2 6 9
465
4 1 2 0 3 2 0 1 2 3 0 1
2 2 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4
−
= − = = −
− −
− − − − − −
 
 
O sinal do determinante variou a cada troca realizada, sendo igual a –465. Vale como exercício aplicar a regra de Chió 
para calculá-lo a partir de uma matriz de ordem 3. 
 
2) Se o elemento 11a não for 1, e não houver nenhum elemento igual a 1 na matriz, pode-se usar a propriedade X 
(teorema de Jacobi) para criar elementos iguais a 1 na matriz. 
 
Note que existem muitas maneiras de criar “1” na matriz. Por exemplo, multiplicando a 2
a
 linha por ( 1)− e somando 
esse resultado à 1
a
 linha, conforme abaixo: 
 
1 1 2
( 1)
3 2 0 1 1 1 6 10
2 3 6 9 2 3 6 9
219
4 5 2 0 4 5 2 0
2 2 3 4 2 2 3 4
L L L= + −
− − − −
→ =
− − − −
 
 
3) Outra propriedade que também pode ser útil para criar elemento “1” na matriz é a VIII (colocar um número em 
evidência). Por exemplo, na matriz abaixo, verifica-se que a 1
a
 linha é toda de múltiplos de 2. Logo, podemos admitir 
que essa linha está toda multiplicada por dois. Conforme a propriedade VIII, se uma linha (ou coluna) de uma matriz 
foi multiplicada por um escalar, seu determinante fica multiplicado por esse escalar. Assim, colocamos o 2 “para fora”, 
multiplicando o determinante. Em seguida, torçamos a 1
a
 e a 3
a
 coluna, observando a troca de sinais. 
 
 
4 6 2 0 2 3 1 0 1 3 2 0
3 3 5 2 3 3 5 2 5 3 3 2
2 2 1486
4 5 3 3 4 5 3 3 3 5 4 3
6 7 2 4 6 7 2 4 2 7 6 4
− − −
= ⋅ = − ⋅ = −
− − − − − −
− − −
 
 
Exemplo: 
 
Vamos encontrar o valor do determinante: 
2 1 0 3 2
2 3 2 0 2
3 2 1 5 4
1 3 2 2 0
0 4 2 1 3
−
− −
− − −
− −
− −
. 
 
Usando a propriedade X, podemos multiplicar a 2
a
 coluna por 1 e somar o resultado à 1
a
 coluna 1 1 2( )L L L= + . 
Depois, podemos usar a regra de Chio. 
 
1 1 0 3 2
4 2 3 4
1 3 2 0 2
1 1 2 6
1 2 1 5 4
5 2 8 4
2 3 2 2 0
8 2 13 5
4 4 2 1 3
Chió
−
− −
−
− −
→− − −
− −
−
− − −
− −
 
 
Agora, trocando as posições da linha 1 com a linha 2 (propriedade VII), podemos novamente aplicar Chió: 
 
1 1 2 6
6 5 28
4 2 3 4
7 2 34 559
5 2 8 4
6 3 53
8 2 13 5
Chió
− −
−
− −
− →− − = −
− −
−
− − −
 
 
Exercício: 
 
1) Calcular os determinantes usando a regra de Chio: 
 
a) 
2 1 3 1
1 2 5 1
4 1 3 4
0 0 2 1
−
− −
 b) 
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 3 4
 c) 
1 2 0 0
2 3 0 0
0 0 3 1
0 0 1 1
 
 
d) 
2 1 3 2
3 0 0 0
4 1 5 1
10 3 2 2
−
−
 e) 
0 1 0
1 1 1
2 0 1
0 1 0
a
b
c
d
−
−
 f) 
1 1 0 0
1 0
1 0
1 0 1
x x
x x
x
 
 
2) Calcular o determinante: 
 
0 1 0 7 6
0 2 5 2 1
0 3 0 7 2
2 2 3 1 1
0 5 0 3 2
− −
−
−
−
−
 
 
3) Seja a equação: 
0 0 0
1 1 2
16
2 0 3
0 0 0 2
x
x
x
= . Determine o valor de x . 
 
Respostas: 
 
1) a) 28 b) 1 c) –2 d) 75 e) 3d – 3a f) 1-x 
 
2) –3120 3) 2