Apostila_ternario_2008

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NOTAS DE AULA 
 
DEPARTAMENTO DE METALURGIA 
ESCOLA DE MINAS 
 
 
FÍSICO-QUÍMICA METALÚRGICA II 
 
Sistemas ternários 
 
 
Prof. Carlos Antonio da Silva 
Prof. Itavahn Alves da Silva 
Prof. Danton Heleno Gameiro 
Março 2008(revisão) 
 2 
INTRODUÇÃO 
 
Especificar a composição de um sistema ternário exige relatar no mínimo dois valores de 
concentração, o terceiro resultando por diferença. A apresentação completa das relações 
fásicas (número e natureza das fases presentes a pressão e temperatura determina-
das) requer, portanto, um espaço a quatro dimensões, duas para concentração e duas para 
temperatura e pressão. 
 
Dada a impraticabilidade desta opção, é costume apresentar as relações de fase obtidas a 
pressão constante (usualmente 1 atm), de modo a permitir sua representação gráfica em 
três dimensões. Quando da aplicação da regra das fases, é importante lembrar que, neste 
caso, um grau de liberdade já foi exercido ao se fixar a pressão. 
 
Os diagramas tridimensionais são usualmente traçados de modo que a composição esteja 
representada no plano horizontal e a temperatura verticalmente, e mesmo esta representa-
ção costuma não ser eficiente, desde que o traçado em perspectiva distorce e não mostra 
os dados de maneira clara. Para evitar esta dificuldade é norma a representação de seções 
horizontais (isotérmicas) ou verticais (isoplete), dos diagramas tridimensionais. Em alguns 
casos, a simples projeção de algumas características geométricas, sobre o plano basal, 
consegue ser suficiente para uma boa compreensão das transformações de fases que ocor-
rem no sistema. 
 
TRIÂNGULO DE GIBBS 
 
Das várias maneiras de se apresentar composições ternárias, a mais simples é a que utiliza 
o triângulo eqüilátero. Nesta representação, conhecida por Triângulo de Gibbs, os compo-
nentes puros são representados nos vértices do triângulo e os sistemas binários nos lados 
do mesmo, enquanto que os pontos dentro do triângulo são representativos das composi-
ções ternárias. A figura 01 é um resumo desta proposição. 
 
Pelo ponto P, interno ao Triângulo de Gibbs, foram traçadas paralelas a cada um dos lados 
do triângulo eqüilátero, as quais definem três outros triângulos eqüiláteros menores, de la-
dos iguais 
_
a , 
_
b e 
_
c , respectivamente. A soma dos lados destes triângulos menores é igual 
à soma dos lados do Triângulo de Gibbs, isto é, 
___
ABcba =++ . Se cada um dos lados do 
Triângulo de Gibbs for divido em 100 partes iguais, representado 100% em uma escala 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Triângulo de Gibbs 
 
binária de composição, então, os segmentos 
_
a , 
_
b e 
_
c , medidos nas mesmas unidades, 
podem ser utilizados para definir a composição representada pelo ponto P. Especificamente, 
 4 
se o segmento 
_
a for tomado como porcentagem de A, 
_
b como a porcentagem B e 
_
c como 
a porcentagem C, então, total coerência será mantida com a representação já consagrada 
para sistemas binários. De fato, se o ponto P se desloca em direção ao vértice A, o segmen-
to 
_
a progressivamente se expande, e, no limite, quando P atinge A, passa a valer 100% (do 
componente A). Por outro lado, se P se desloca no sentido do lado 
____
BC , o triângulo de lado 
_
a tem suas dimensões reduzidas e, no limite, quando P atinge 
____
BC , o sistema ternário se 
reduz ao binário 
____
BC , a porcentagem de B sendo indicada pelo segmento oposto ao vértice 
B, como de praxe. Se for admitido o esquema proposto, fica claro, que os valores dos seg-
mentos 
_
a , 
_
b e 
_
c poderão ser lidos em quaisquer dos lados 
____
AB , 
____
BC e 
____
CA , e a figura 01 
torna-se auto-explicativa da representação de composições ternárias. O ponto P correspon-
deria a 40% de A, 20% de C e 40% de B, onde o símbolo % pode representar porcentagem 
atômica, porcentagem em peso, porcentagem volumétrica, ou qualquer outra unidade alter-
nativa de concentração. 
 
A representação tridimensional que corresponde à representação das composições em um 
Triângulo de Gibbs horizontal e da temperatura na direção vertical será, por suposto, aque-
la a ser utilizada daqui em diante. 
 
CONÓDIOS – REGRA DA ALAVANCA – REGRA TRIANGULAR DA ALAVANCA 
 
Um conódio (ou tie-line), por definição, é um segmento de reta que liga os pontos re-
presentativos das composições de duas fases em equilíbrio. Isto implica que um conó-
dio é um segmento isobárico e isotérmico e, como tal, sua projeção vertical se apresen-
ta em verdadeira grandeza sobre o Triângulo de Gibbs. 
 
Pode ser mostrado que, se dois sistemas ternários são misturados, a composição resultante 
ficará sobre o segmento de reta ligando as duas composições originais, desde que a mistura 
seja levada a termo sem perda (ou ganho) de matéria para o restante do universo. Inver-
samente, se um sistema se desdobra em dois outros, as composições dos dois novos sis-
temas gerados se situam nas extremidades de um segmento de reta, que passa pela com-
posição do sistema original. Estas afirmações são verdadeiras, quaisquer que sejam as pro-
porções em que os sistemas são misturados (ou gerados) e decorrem de uma relação geo-
métrica simples que, por sua vez, é resultado da aplicação do princípio de conservação de 
matéria. Esta relação é conhecida como Regra da Alavanca e estabelece que, ao misturar 
 5 
quantidades definidas dos sistemas de composição S e L, a composição resultante será P, 
figura 02-a, situada sobre o segmento 
___
SL , e tal que: 
 
100
%
___
___
x
SL
PL
LStotalaorelaçãoem
Scomposiçãodesistemado
=
+
 
e 
100
%
___
___
x
SL
SP
LStotalaorelaçãoem
Lcomposiçãodesistemado
=
+
 
 
Estas assertivas podem ser confirmadas algebricamente ou, com o auxílio da figura 2-b; 
geometricamente, 02-b é um excerto de 02-a, no qual não está representado o vértice C. O 
segmento 
___
AL é a porcentagem de A no sistema de composição L; enquanto que o segmen-
to 
___
CS é a porcentagem de C no sistema de composição S. 
___
CL e 
___
AS têm significados aná-
logos. Se for admitido que QS e QL são as quantidades (em unidades compatíveis com a 
natureza da unidade de concentração) de S e L, respectivamente, a serem misturadas, en-
tão a composição do sistema resultante, P, será: 
 
 
Figura 2 – Ilustração da regra da alavanca 
 6 
 






−−=





−
+
−=
+
+
=
__________________
______
___
ASALALASAL
QLQS
QSAL
QLQS
ALxQLASxQSAP α 
E, analogamente, 






−−=
____________
CSCLCLCP α 
onde α é a fração do sistema de composição S em relação ao total, S+ L. Note que as ex-
pressões de cálculo de 
___
AP e 
___
CP dadas acima são expressões da equação paramétrica de 
uma reta, onde α (fração do sistema de composição S em relação ao total S+ L), represen-
ta tal parâmetro. Se a quantidade QS é nula então α também é nulo, o que resulta em 
______
ALAP = e em 
______
CLCP = ; tal resultado é obviamente esperado. Por outro lado, se a quanti-
dade QL é nula então α é igual a 1, o que resulta em 
______
ASAP = e em 
______
CSCP = , também 
como esperado. A reta descrita pelas equações paramétricas passa pelos pontos S e L e 
valores intermediários de α definem pontos situados sobre o segmento 
___
SL ; o ponto P é um 
desses pontos. 
Observe-se ainda que, de 






−−=
____________
ASALALAP α 
se pode escrever 
=
−
−
=
______
______
ASAL
APAL
α a’/a. 
Semelhança de triângulos indica que a razão a’/a deve ser idêntica à razão 
______
/ SLPL , de 
modo que se encontra 
___
___
SL
PL
=α , fração de S no sistema S+L ; 
___
___
1
SL
SP
=−α , fração de L no sistema S+L, 
expressões geométricas da Regra da Alavanca. Tal como no caso de sistemas binários “a 
proporção de uma dada fase é dada pela razão entre o segmento oposto (definido pelos 
pontos que representam a composição média do sistema e a composição da outra fase) e o 
segmento total (definido pelas composições das duas fases)”. De fato a Regra da Ala-7 
vanca, comumente empregada em sistemas binários, é somente caso particular desta, co-
mo se pode facilmente comprovar. 
 
Exercício: Mostre que Regra da Alavanca aqui deduzida mantém aplicabilidade nos casos 
extremos, de sistemas binários. 
 
Exercício: Comprove graficamente a interpretação geométrica da Regra da Alavanca, con-
siderando os sistemas S e L, tal que QS = 25 mols , SAX = 0,1 , SCX = 0,15 e QL = 75 mols 
, 
L
AX = 0,5 , 
L
CX = 0,4. 
 
A regra da alavanca, demonstrada no parágrafo anterior, permite que se façam injunções a 
respeito da mistura de três sistemas ternários, resultando na Regra Triangular da Alavan-
ca. De acordo com esta regra, se misturarmos as quantidades QReQLQS ,, dos siste-
mas cujas composições estão representadas pelos pontos S, L e R, figura 03, respectiva-
mente, então o ponto P, representativo da composição do sistema resultante, estará situado 
no interior do triângulo SLR, tal que: 
___
___
LN
PN
QRQLQS
QL
=
++
 
 
Figura 3 : Ilustração para dedução da Regra da Alavanca Triangular 
 
Este princípio pode ser demonstrado se admitirmos que a mistura se faz em etapas, primei-
ro pela conjunção de R e S e depois pela adição de L ao subsistema anteriormente gerado. 
 8 
QPQLQSQR =++ )( 
O ponto 'N , situado sobre 
___
SR , não poderia representar o resultado da primeira etapa, pois 
que, neste caso, estaria definindo, para a segunda etapa, o segmento 
___
'LN , sobre o qual 
deveria estar locada a composição final. Como P é, admitidamente, a composição final, e 
não se situa sobre 
___
'LN , fica claro que o único ponto representativo da primeira etapa é o 
ponto N, situado sobre o prolongamento de 
___
LP . Esquematicamente tem-se: 
 
1ª etapa 
Ncomposiçãode
QRQSQNsistemafornece
ScomposiçãodeQSsistema
RcomposiçãodeQRsistema
+=⇒
+
 
e 
2ª etapa 
Pcomposiçãode
QLQRQSsistemaou
QLQNQPsistemaresulta
LcomposiçãodeQLsistema
NcomposiçãodeQNsistema
++
+=
⇒
+
 
e a regra da alavanca aplicada à segunda etapa resultará em: 
___
___
___
LN
PN
QSQRQL
QL
QNQL
QL
=
++
=
+
 
 
como se quis demonstrar. 
 
Exercício: Comprove graficamente a interpretação geométrica da Regra da Alavanca Tri-
angular, considerando os sistemas S, R e L, tal que QS = 20 mols , SAX = 0,1 , SCX = 0,15, 
QR = 30 mols , RAX = 0,3 , RCX = 0,5 , e QL = 75 mols , LAX = 0,7 , LCX = 0,2 . 
 
As mesmas considerações são válidas para o problema reverso, isto é, se um sistema de 
composição P se desdobra em de três outros, cujas composições são representadas por R, 
S e L, então, o ponto P deve se situar dentro do triângulo RSL e a proporção de L gerado 
será: 
 9 
___
___
LN
PN
QLQRQS
QL
=
++
 
 
As regras anteriores permanecem válidas, quaisquer que sejam as posições dos pontos R, 
S e L. Por exemplo, se R, S e L coincidem com os vértices do Triângulo de Gibbs, figura 
03-b, a proporção de L, isto é, a proporção correspondente a A puro, necessária para formar 
o sistema de composição P, é dada por
______
/ AMPM . É claro que esta é uma maneira alter-
nativa de se fazer a leitura da porcentagem de A presente no sistema de composição P, em 
contraponto ao segmento 
___
AP . A figura 03-b mostra ainda que, ao se adicionar quantidades 
crescentes do componente A a um sistema binário BC, de composição representada pelo 
ponto M, o ponto representativo das composições se desloca ao longo do segmento 
_______
APM , 
de M para A. 
 
Como é de se esperar, e pode ser verificado pela aplicação da Regra da Alavanca Trian-
gular, a simples adição de A não altera a proporção de B e C, e o segmento 
_______
AM é o lugar 
geométrico das composições apresentando proporção fixa de B e C, a saber: 
______
_____
BM
MC
CdeQuantidade
BdeQuantidade
= 
Quando da exposição dos princípios constantes deste item, foi feita a referência ao desdo-
bramento de um sistema ternário em dois ou três outros e ao misturamento de sistemas ter-
nários. Como a Regra da Alavanca é uma expressão da lei de conservação de massa, 
não foi preciso exigir que os sistemas estivessem em equilíbrio, mas evidentemente, as re-
gras se aplicam para transformações de fases em equilíbrio. Neste caso, os segmentos li-
gando as composições são os conódios definidos anteriormente. 
 
Exemplo: 
a) Determine em que quantidades os sistemas R e S, cujas composições, em termos 
de frações molares, são: R (0,6 de B; 0,2 de C) e S ( 0,5 de A; 0,1 de B) devem ser 
misturados de modo a formar 200 mols de um sistema M(0,4 de A; 0,2 de B). Deter-
mine também que quantidades de R e S devem ser misturadas de modo a se formar 
50 mols de um sistema de fração molar de B igual a 0,3. 
b) Se 40 mols de um sistema ternário L, cuja composição é definida por apresentar ra-
zão molar A/C = 7/3 e a fração molar de B igual a 0,3, se desdobra em dois outros, N 
 10 
e P, determine a composição de P se neste processo são gerados 10 mols de N, de 
composição N (0,4 de A; 0,1 de C) 
 
Resolução 
a – 1ª parte) Os pontos R, S e M estão locados no Triângulo de Gibbs, figura 04, 
 
Figura 4: Representação de composições no Triângulo de Gibbs 
 
onde, para não congestionar o desenho, apenas as paralelas referentes à determinação de 
R foram traçadas. Observa-se que o ponto M não se situa sobre o segmento 
_____
RS , e que, 
portanto, M não pode resultar do misturamento de R e S. A proposição não pode ser levada 
a efeito. 
 
Umas das possibilidades de se obter M é misturar R, S e, por exemplo, o componente C. A 
aplicação da Regra Triangular da Alavanca ao triângulo definido por estas três composi-
ções resulta: 
Sdemols
S1
M1
x200ou
S1
M1SdeProporção
______
_____
______
_____
= 
Rdemols
R2
M2
x200ou
R2
M2RdeProporção
______
_____
______
_____
= 
 11 
______
_____
______
_____
R2
M2
S1
M11CdeProporção −−= 
 
a – 2ª parte) A linha tracejada bb’ é o lugar geométrico dos pontos correspondentes aos sis-
temas com fração molar de B igual a 0,3. Como a composição de um sistema resultante de 
R e S deve estar localizada sobre 
_____
RS , a composição que atende a estas duas condições é 
definida pelo ponto 3. Então, 
Rdemols
RS
3S
x50ou
RS
3SRdeProporção
______
_____
______
_____
= 
Sdemols
RS
R3
x50ou
RS
R3SdeProporção
______
_____
______
_____
= 
b) O ponto L, figura 04, é a intersecção da linha bb’ com a linha 
___________
37C AB, , esta última sendo 
o lugar dos pontos em que a razão A/C é igual a 7/3. De acordo com a Regra da Alavanca, 
se L se decompõe em N e P, então estes três pontos devem estar alinhados, sendo L o pon-
to de apoio da alavanca. Isto implica em que P deve se situar no prolongamento de 
_____
NL , 
oposto ao ponto N, e, desde que são formados 40 -10 = 30 mols de P, sua posição deve ser 
tal que: 
_______
_____
____
NL
3
4NP
NP
NL
40
30PdeProporção =⇒== 
 
Os princípios envolvidos na dedução e aplicação da Regra da Alavanca são decorrentes 
apenas do principio de conservação de massa, não pressupondo equilíbrio termodinâmico. 
Não obstante, verificar a observância deste princípio é de extrema utilidade quando se ana-
lisam as transformações a que um sistema está sujeito. 
 
SISTEMA TERNÁRIO ISOMORFO 
 
Quando as condições necessárias para que um par de componentes apresente solubilidade 
ilimitada no estado sólido se estende aos outros dois pares, é possível a existência de um 
sistema ternário isomorfo, tal como esquematizado na figura 05. Em concordância com a 
convenção assumida, as composições estão representadas em um Triângulo de Gibbs 
horizontal e a temperatura em eixos verticais. As relações de fases nos sistemas binários 
 12 
estão representadas nas faces verticais deste poliedro. O sistema binário BC, por exemplo, 
se apresenta no plano definido pelo lado 
______
BC do Triângulo de Gibbs e pelo eixo vertical, 
de temperatura. As relações de fases no sistema ternário se apresentam, naturalmente, no 
interior do poliedro. 
 
Figura 5 – Diagrama espacial temperatura – composiçãopara o Sistema Ternário Isomorfo 
 
Em contraponto com a linha Liquidus, de sistema binário, fica definida uma superfície Li-
quidus, tal que, se o ponto definido pela temperatura e composição do sistema se coloca 
acima da mesma, o sistema estará, em condições de equilíbrio, totalmente liquefeito. De 
modo análogo, se este ponto se localiza abaixo da superfície denominada Solidus, o estado 
físico do sistema será sólido e, para os pontos situados no interior do volume delimitado pe-
las faces do poliedro e estas duas superfícies (Liquidus e Solidus), o sistema compor-se-á 
de uma fase sólida e uma fase líquida, em regime de equilíbrio. 
 
A figura 06 mostra cortes isotérmicos e projeção dos cortes isotérmicos sobre o plano hori-
zontal, conforme apresentado na figura 05. A região de duas fases é definida pelos conódios 
ligando as composições do sólido, α , e do líquido, L. A direção destes conódios, medida 
em relação a uma das faces verticais do poliedro, é variável, e para sua melhor visualização 
costuma-se fazer uso de seções isotérmicas do diagrama espacial. O desenvolvimento de 
 13 
tais seções pode ser visto em perspectiva na figura 06-a e como projeção, em verdadeira 
grandeza, na figura 6-b. 
 
Figura 6 – Isotermas do diagrama apresentado na figura 5: a) definição dos cortes isotérmi-
cos; b) projeção dos cortes isotérmicos sobre o plano horizontal – Triângulo de Gibbs. 
 
O corte isotérmico à temperatura T1, por exemplo, destaca uma linha Solidus (intersecção 
do plano isotérmico com a superfície Solidus) à direita da qual o sistema se encontra no 
estado sólido, e uma linha Liquidus (intersecção do plano isotérmico com a superfície Li-
quidus) à esquerda da qual o estado físico do sistema é líquido. Entre elas, uma região de 
equilíbrio entre L e α , composta pelos conódios. Estes são as linhas tracejadas que ligam 
uma determinada composição de α sobre a linha Solidus a uma composição de L sobre a 
Liquidus. Nota-se a diferente orientação dos vários conódios. 
 
A figura 07, um corte isotérmico genérico, permite algumas informações adicionais sobre os 
conódios. A direção dos conódios varia entre a direção do conódio 11αL , conódio do sis-
tema AB, e a direção do conódio 66αL , do binário CB., 
 14 
 
Figura 7 – Algumas características dos conódios, corte à temperatura T1 
 
Apenas os conódios 11αL e 66αL passam, obrigatoriamente pelo vértice B e, portanto, a 
direção dos conódios restantes tem que ser determinada experimentalmente. Um sistema 
de composição média igual a X é, à temperatura 1T , constituído pela fase líquida, de compo-
sição L3, e sólida de composição 3α . Isto atende às exigências da Regra da Alavanca, de 
que a composição média do sistema e as composições das duas fases devem se situar so-
bre uma reta, e implica que: 
______
33
______
3
αL
XαLíquido% = e 
______
33
______
3
αL
XLSólido% = 
 
Outro princípio importante é que dois conódios não podem se cruzar. Caso contrário seria 
possível encontrar uma situação tal como exposta na figura 07, em que um sistema de com-
posição Y seria composto por duas fases L5 e 5α , em equilíbrio, ao mesmo tempo que 5α 
estaria em equilíbrio com '5L . Isto configuraria um equilíbrio de três fases em uma região 
que é, por hipótese, região de estabilidade de duas fases – uma sólida e uma líquida. 
 15 
 
De acordo com a Regra das Fases, num sistema ternário e para um equilíbrio bifásico, o 
número de graus de liberdade seria dado por 
V = C – F +2 = 3 -2 +2 =3 
implicando em equilíbrio tri-variante. Entretanto, como na figura 7 se apresenta o resultado 
de um corte isobárico e isotérmico, efetivamente só resta um grau de liberdade. Se este 
grau de liberdade for exercido, por exemplo, especificando a fração molar do componente C 
na fase α , αCX , então devem restar definidas todas as outras variáveis de composição da 
fase α e todas aquelas referentes a, uma única, fase líquida. Como sugere a construção 
apresentada, estariam presentes neste esquema, duas fases líquidas. Daí a Regra das Fa-
ses seria violada. 
 
Solidificação em equilíbrio num ternário isomorfo 
 
A figura 08 mostra, esquematicamente, como variam as composições de duas fases L e α , 
presentes no processo de solidificação de um sistema de composição média X . 
 16 
 
Figura 8 – Trajetória de cristalização no sistema ternário. 
 
A curva L1L2L3L4, contida na superfície Liquidus, é o lugar geométrico dos pontos represen-
tando a composição do líquido que coexiste com o sólido, no decorrer da solidificação. A 
curva 4321 αααα , contida na Solidus, tem significado análogo, e os segmentos 11αL , 22αL , 
33αL , 44αL são os conódios. A interpretação que se segue é simples. O líquido é estável 
até a temperatura T1, onde se atinge a superfície Liquidus, em que o líquido L1 está em 
equilíbrio com o sólido 1α . A esta temperatura, a solidificação está apenas começando, e a 
quantidade de sólido α pode ser considerada infinitesimal, como se verifica pela aplicação 
da regra da alavanca. À medida que a temperatura diminui, a quantidade de sólido aumenta 
e a composição do líquido segue a curva L1L2L3L4, enquanto que a composição do sólido 
segue a curva 4321 αααα . Finalmente, a T4, a composição do sólido se iguala à composição 
média do sistema, e o líquido não está presente, senão se em quantidades infinitesimais. 
 
 17 
Abaixo de T4 apenas a fase α é estável. As trajetórias de composição do líquido e do sólido, 
bem como os conódios, estão projetadas no plano basal, onde se pode notar como a dire-
ção dos conódios varia durante a solidificação. Uma percepção quantitativa mais exata se 
consegue através das isotermas, figura 09, onde os conódios se apresentam em verdadei-
ra grandeza, permitindo a aplicação da regra da alavanca. 
 
Figura 9 – Seções isotérmicas do diagrama apresentado na figura 08. 
 
O parágrafo anterior confirma que esquemas tridimensionais, embora capazes de mostrar a 
forma geral do diagrama, são insuficientes para expor os dados de modo quantitativo. Por 
outro lado, se seções isotérmicas cumprem bem este papel, um sem número delas pode ser 
necessário para revelar a estrutura do diagrama espacial. Outra alternativa é apresentar as 
seções verticais do diagrama, tais como esquematizado na figura 10, onde a seção (a) re-
presenta uma razão fixa entre A e C e a seção (b), fração constante de A. A dificuldade des-
tas seções é que elas indicam temperaturas de inicio e fim de transformação; indicam 
qual(ais) a(s) fase(s) presente(s), mas não indicam as composições de duas fases que por-
ventura estejam em equilíbrio. Este empecilho se deve a que, a menos de coincidência, o 
conódio não está contido na seção efetuada. 
 18 
 
Figura 10 – Seções verticais através do ternário isomorfo 
A figura 11, na qual a seção abL2L1 foi obtida por meio de um plano vertical à fração cons-
tante de C, ilustra a situação. A linha L1L3L2 é a interseção do mesmo plano com a superfí-
cie Liquidus. Na mesma figura foi traçada uma seção isotérmica que define o ponto L3 so-
bre a linha Liquidus da seção vertical. Nota-se que o conódio L3S3, que indica a composi-
ção do sólido em equilíbrio com o líquido L3 , não pertence à seção abL1L2 e que, portanto, 
a apresentação da seção vertical não permite conhecer as composições do sólido e do lí-
quido em equilíbrio. Esta restrição se aplica não apenas ao equilíbrio sólido-líquido, mas a 
equilíbrio bifásicos, qualquer que seja a natureza das fases. 
 19 
 
Figura 11 - Seção vertical, realizada à porcentagem de C constante 
 
 
 
Variações sobre o diagrama isomorfo 
 
A condição para que haja solubilidade ilimitada no estado sólido, entre os três componentes 
de um sistema, é que sejam observadas as Regras de Hume-Rothery. Embora a discussão 
seja longa, estas regras estabelecem que solubilidade ilimitada pode ser alcançada se os 
componentes puros apresentam valores próximos de raio atômico e se cristalizam no mes-
mo sistema.Estas características garantem que um componente pode substituir os outros, 
em qualquer quantidade, sem provocar distorção significativa da rede cristalina. Além do 
mais a diferença entre eletronegatividades deve ser pequena, de modo a excluir a formação 
de compostos intermediários. Em outras palavras, os componentes devem ser bastante se-
melhantes do ponto de vista químico e estrutural, não devendo apresentar tendência a liga-
ções preferenciais. Estas são claramente as condições requeridas para a formação de solu-
ções ideais. Soluções ideais são raras, senão inexistentes. Soluções reais apresentam des-
 20 
vios em relação à idealidade. Se estes não forem excessivos, a combinação de três compo-
nentes pode render variações ou deformações relativas ao isomorfo ideal. 
 
Por exemplo, sistemas ternários isomorfos podem apresentar máximos ou mínimos na 
temperatura de fusão, seja na parte binária do diagrama, figura 12-a, seja na porção terná-
ria, figura 12-b. 
 
Figura 12 - Sistema ternário isomorfo apresentando: a) Máximo no binário AB; b) Máximo no 
espaço ternário. 
 
Em ambos os casos, as superfícies Liquidus e Solidus devem se tangenciar nestes pontos 
extremos. Pode ocorrer também que um dos sistemas binários, por exemplo, AB, apresente 
uma Lacuna de Miscibilidade ou Região de Imiscibilidade no estado sólido. Neste caso, 
a lacuna deve se extinguir no interior do sistema ternário e poderia ser representada pelo 
volume esquematizado na figura 13-a. 
 21 
 
Figura 13 - Desenvolvimento de Lacuna de Miscibilidade 
 
Neste caso, a curva βCα é a fronteira da Lacuna de Miscibilidade do binário AB, que é 
constituída pelos Conódios, tais como 11βα , que ligam as composições dos sólidos em e-
quilíbrio. O ponto C é o ponto crítico, no qual as composições de βeα tornam-se indistin-
guíveis. A Lacuna de Miscibilidade pode ser visualizada como a superposição de seções 
tais como a seção βCα , da figura 13-c, obtida pela interseção de um plano isotérmico com 
o sólido da figura 13-a. Em 13-c, todos os sistemas situados dentro do contorno αβCα 
são constituídos, à temperatura T6, de duas fases cujas composições estão situadas sobre a 
linha βCα . 
 
Um sistema de composição média X seria composto das fases 11 βeα , isto é, 11βα é um 
conódio. Tal como no caso do equilíbrio bifásico entre líquido e sólido, apenas o conódio 
binário βα tem direção pré-determinada, indicando que a direção dos outros deve ser obti-
da experimentalmente. O ponto C, figura 13-c , é claramente, um ponto crítico, pois nele as 
composições das fases em equilíbrio se igualam e, em conjunto com outros pontos críticos 
forma a linha crítica 54321 CCCCC da figura 13-a. 
 
Outras possibilidades da Lacuna de Miscibilidade são: 
a) a esquematizada na figura 13-b, em que o Máximo da Curva Crítica ocorre em uma 
composição ternária; 
b) aquela que em que a Lacuna de Miscibilidade ocorre integralmente no espaço ter-
nário, não atingindo os binários. 
 
 22 
A figura 14-a mostra como interpretar as transformações de fases que ocorrem em uma La-
cuna de Miscibilidade. Se a composição média do sistema é X, uma única fase será está-
vel até que a temperatura atinja T2, onde se alcança a Superfície da Lacuna. A esta tempe-
ratura (X foi escolhido de modo que a vertical em X intercepte a Curva Crítica), duas fases 
sólidas começam a se separar, tal que suas composições se situam, quando da temperatura 
diminui, sobre as curvas '4
'
32 aaa e 
''
4
''
32 aaa . Estas curvas são geradas pelas extremidades 
dos conódios e, logo, não se situam, necessariamente, sobre o mesmo plano vertical. É 
desnecessário dizer que um conódio tal como ''3
'
3aa deve conter a composição X, e que a 
Regra da Alavanca pode ser utilizada para determinar a quantidade de cada fase. A figura 
14-b mostra as projeções de várias seções isotérmicas, destacando as alterações na dire-
ção dos conódios. A análise do resfriamento ou aquecimento, se a vertical em X não inter-
cepta a Curva Crítica , mantém as mesmas características, só diferindo pelo fato de que, ao 
se atingir a Superfície da Lacuna, as composições das fases são marcantemente diferen-
tes. Todas as considerações anteriores são válidas também para Lacunas de Miscibilida-
de no caso do estado líquido. 
 
Figura 144 - Separação de fases numa Lacuna de Miscibilidade 
 
 
APLICAÇÃO DA REGRA DAS FASES: A MORFOLOGIA DO DIAGRAMA ANTERIOR É 
CORRETA? 
 
A completa compreensão das características de um diagrama de fases ternário requer certa 
dose de visão espacial, de modo a se perceber a geometria dos diversos tipos de regiões de 
estabilidade de fases. Um diagrama de equilíbrio não deve, com certeza, violar os princípios 
 23 
básicos da Termodinâmica e, neste sentido seria útil verificar que restrições a Regra das 
Fases impõe; estas restrições podem ser consideradas regras que tornam mais simples o 
estudo de Diagramas de Fases. Exemplos destas regras incluem a morfologia esperada 
das regiões de equilíbrio, como se vê a seguir. 
 
Regiões de estabilidade de uma única fase de um sistema ternário são quadrivariantes ou 
tetravariantes: 
42132FCV =+−=+−= 
e, portanto, quatro graus de liberdade devem ser exercidos de modo a definir o estado de 
um sistema, nestas condições. Estes graus de liberdade são: pressão, temperatura e duas 
variáveis de concentração. A figura 15-a permite verificar que é correta a representação de 
regiões unifásicas por volumes, no diagrama espacial. Considerando que um grau de liber-
dade já foi exercido quando da construção do diagrama de fases à pressão constante, a 
representação proposta será correta se a escolha independente da temperatura e de duas 
variáveis de concentração definir uma única fase. Admita-se que a condição a ser represen-
tada corresponde a 1 atm, temperatura T1 e composição 20% de A e 40% de B. O plano 
horizontal abc, traçado à T1 , representa a escolha da temperatura. Um plano vertical, para-
lelo ao lado BC e a um quinto da distância entre este lado e o vértice A, representa a condi-
ção de que o sistema contém 20% de A. O intercepto destes dois planos é a reta fg, a qual 
indica que várias ligas 20% de A podem coexistir à temperatura T1 e que, portanto, o estado 
do sistema não está ainda completamente definido. Esta definição é alcançada pela cons-
trução do plano vertical ihkj, paralelo ao lado AC e a dois quintos da distância entre AC e o 
vértice B, de cuja interseção com a reta fg resulta no ponto P. O número de graus de liber-
dade pode ser entendido também como o número de variáveis cujos valores podem ser alte-
rados, independentemente, sem modificar a configuração fásica ( número e natureza das 
fases) do sistema. A alteração nos valores das variáveis que definem o ponto P, temperatu-
ra e concentração de dois constituintes, faz com que este ponto defina um volume no dia-
grama espacial, indicando que a representação de regiões unifásicas através de volumes é 
correta. 
 
A figura 15-b apresenta um corte isotérmico, à temperatura T1, de um diagrama hipotético, 
tal que fica exposta uma região de estabilidade de duas fases, sólida α e líquida L. Estas 
regiões são trivariantes: 
32232FCV =+−=+−= 
e a definição de duas variáveis, além da pressão, deve caracterizar o estado do sistema. O 
corte isotérmico é, por si só, o exercício de um grau de liberdade e outro poderia ser, por 
exemplo, especificar que a fase líquida contém 15% de A. O plano vertical de 15% de A 
 24 
 
Figura 15 – Representação de regiões monofásicas e trifásicas num sistema ternário. 
 
define, sobre a isoterma, o segmento de reta ed, lugar geométrico dos pontos que represen-
tam o sistema com 15% de A. O segmento ed inclui uma única composição de líquido que 
pode estar em equilíbrio com a fase sólida, a saber a composição g, onde a linha tracejada 
corta a Liquidus. Portanto, g é a composição do líquido, e i, situada sobre a Solidus e defi-
nida pelo conódio gi, é a composição do sólido. O estado fica, assim,completamente defini-
do. Se fosse especificado que a fase sólida devesse conter 15% de A, aí então a composi-
ção do líquido seria h, situada sobre a Liquidus e definida pelo conódio hf. Uma das outras 
possibilidades de executar os dois graus de liberdade seria, por exemplo, especificar dois 
valores de concentração. 
 
A figura 16 explora o caso em que os valores de concentração utilizados para relatar a com-
posição do líquido são 5% de B e 10% de C. Os planos verticais traçados a 5% de B e 10% 
de C se encontram na linha vertical PL1, que, por sua vez, intercepta a superfície Liquidus 
no ponto L1. O ponto L1 define o plano isotérmico abdc, que contém o conódio 11αL , o qual 
define a composição 1α , do sólido em equilíbrio com o líquido L1. De novo o estado do sis-
tema fica completamente caracterizado. Com estes dois exemplos, fica evidente que o exer-
cício dos graus de liberdade gera, pelo deslocamento dos conódios, um volume como regi-
ão de estabilidade das duas fases consideradas. Sobre as superfícies geradas pelas extre-
midades dos conódios estão locados os pontos representativos das composições das fases 
em equilíbrio. 
 
 25 
Exercício: Considere conhecidos os valores de temperatura e de entalpia de fusão, em um 
sistema ternário isomorfo formado a partir de soluções ideais. 
 
Componente Temperatura K Entalpia cal/mol 
A 1500 5700 
B 1700 3000 
C 900 4000 
Considere um corte isotérmico a 1100 K e composição de fase sólida α em equilíbrio com a 
fase líquida, tal que αα BA XX / = 0,6. Determine todas as outras coordenadas da tie-line (isto 
é, as composições das fases em equilíbrio). 
 
Figura 156 – Definição do estado de um sistema bifásico por meio de duas variáveis de 
composição. 
 
O equilíbrio de três fases é bivariante 
22332FCV =+−=+−= 
 
 26 
De modo que, além da pressão, apenas uma variável outra pode ser especificada. Se a va-
riável escolhida for a temperatura, as composições das três fases ficam automaticamente 
definidas através de Triângulos Conodiais, como especificado na figura 17. 
 
Figura 17 – Representação espacial do equilíbrio de três fases 
 
Cada um destes triângulos é, naturalmente, isotérmico; seus vértices representam as com-
posições das fases em equilíbrio. Apenas se o ponto definido pela temperatura e composi-
ção média do sistema localiza-se no interior de um destes triângulos, o sistema é constituído 
de três fases, e em quantidades que podem ser avaliadas pela aplicação da Regra Triangu-
lar da Alavanca. A figura 17 indica ainda que, em concordância com a Regra das Fases, 
quando a temperatura varia, as composições das fases também variam, a composição de α 
seguindo a curva 4321 αααα , enquanto que as composições de γβ e seguem as curvas 
4321 ββββ e 4321 γγγγ , respectivamente. Nota-se que o movimento do Triângulo Conodial 
gera um volume delimitado pelas superfícies 1441 ββγγ , 4411 βααβ e 1144 αγγα , que é a região 
de estabilidade das três fases. 
 
Quando quatro fases estão em equilíbrio não resta, além da pressão, nenhum grau de liber-
dade a ser exercido 
12432V =+−=+−= FC 
e , por conseqüência, temperatura e composição ficam perfeitamente definidas. Isto implica 
em que a representação, no diagrama espacial, do equilíbrio de quatro fases, é feita através 
da porção de um plano isotérmico, limitada pelos conódios que interligam suas respectivas 
composições. 
 
 27 
Falta ainda elaborar em como as regiões de estabilidade se relacionam, enquanto vizinhas. 
Considere-se, por exemplo, uma região de estabilidade de duas fases. A fronteira desta re-
gião será atingida quando a combinação de fases, nela existente, deixar de ser estável, e 
esta situação pode ocorrer de duas maneiras. Primeiro, poder-se-ia atingir uma situação de 
composição e temperatura, em que as duas fases se apresentem saturadas de uma tercei-
ra, que se precipita. O sistema entra, então, na região de equilíbrio de três fases, isto é, um 
volume de estabilidade de duas fases tem por vizinho contíguo, um volume de estabilidade 
de três fases. As duas regiões se tocam através de uma superfície. Poderia ocorrer que as 
duas fases se tornassem simultaneamente saturadas de duas outras, um equilíbrio bifásico 
transformando-se em quadrifásico. Em parágrafo precedente chegou-se à conclusão de 
que o equilíbrio de quatro fases deve ser representado por uma porção de plano isotérmico 
e, portanto, a relação de vizinhança entre regiões bi
 
e quadrifásicas não pode ser da mes-
ma natureza que a vizinhança entre regiões bi
 
e trifásicas. De fato, regiões de duas fases 
tocam regiões de quatro fases segundo linhas isotérmicas, que são os conódios limítrofes. 
 
A segunda possibilidade seria o sistema atingir região de estabilidade de uma só fase. Por 
analogia com o raciocínio anterior, tal que uma fase se apresente saturada de uma segunda 
fase, que se precipita, verifica-se que um volume de estabilidade de duas fases pode ter por 
vizinho contíguo um volume de estabilidade de uma só fase, sendo separados por uma su-
perfície. De modo a concluir o raciocínio, admita-se que uma região de duas fases, βeα , 
tenha por vizinha uma outra região bifásica, δeα . Esta situação indicaria que alterações 
em composição e temperatura levam, por exemplo, a que a fase α torne-se saturada em δ 
ao mesmo tempo que β desaparece, enquanto que, na operação inversa, α estaria satura-
da em β ao passo que δ desaparece. Esta situação está em claro desacordo com a Regra 
das fases, pois, na fronteira, α se apresentaria saturada simultaneamente em δeβ , isto é, 
ficaria caracterizado um equilíbrio trifásico, e equilíbrios trifásicos são representados, não 
por superfícies, mas sim por volumes. A Regra das fases justifica, então, o princípio seguin-
te: 
 
“Um campo de diagrama de fases, representando o equilíbrio entre um determinado número 
delas, só pode ter por vizinhos, regiões que apresentam, em equilíbrio, fases em número 
imediatamente superior ou imediatamente inferior àquelas do referido campo. A única 
restrição a ser feita é que o número de fases não pode ultrapassar o máximo permitido 
pela Regra das Fases”. 
 
 28 
Se for admitido que uma região de equilíbrio de quatro fases, que existe em um plano iso-
térmico, pode ser considerado um volume degenerado em plano, o princípio exposto indica 
que os campos de equilíbrio de quatro fases devem ter por vizinhança campos de equilíbrio 
trifásicos. Este princípio é de uso geral e aplica-se também a seções isotérmicas e verticais 
dos diagramas espaciais. 
 
EQUILÍBRIO TERNÁRIO DE TRÊS FASES 
 
Já foi estabelecido que o equilíbrio de três fases é bivariante e pode ser representado por 
um volume gerado pelo deslocamento dos Triângulos Conodiais. A figura 18 contempla 
algumas das possibilidades a partir das quais um Triângulo Conodial pode ter origem ou 
se extinguir. Em (a), o Triângulo Conodial ''' bea ’ se degenera no segmento de reta 
_____
aeb , 
isotérmico, representativo do equilíbrio de três fases num sistema binário. É fato que toda 
reação trifásica, isotérmica, que ocorre em qualquer dos sistemas binários, está associada 
com uma região trifásica do sistema ternário, não isotérmica e descrita pelos Triângulos 
Conodiais. Em (c) o triângulo abc igualmente se degenera num segmento de reta 
____
''ba , 
também um conódio, porém localizado no espaço ternário. O ponto )( '' cb tem característi-
cas de um Ponto Crítico. As figuras b e d representam o término do campo de equilíbrio de 
três fases em um plano isotérmico de equilíbrio de quatro fases, caracterizando as reações 
de Classe I e de Classe II, respectivamente, a serem definidas posteriormente. Os esque-
mas a seguir apresentam algumas possibilidades associadas às letras a e c. 
 
Figura 16 - Origem ou término dos Triângulos Conodiais 
 
Na figura 19, dois binários eutéticos, AB e BC, se combinam com um binário isomorfo, na 
suposição de que existe uma Lacuna de Miscibilidade que se estende entre os dois eutéti-cos. 
 29 
 
Figura 19 - Combinação simples entre dois binários eutéticos e um binário isomorfo 
 
São três as regiões de estabilidade de uma única fase: α ,β e L , e três regiões de estabili-
dade de duas fases: αL + , β L + e β α + . Estas regiões mantêm as mesmas característi-
cas unifásicas e bifásicas apresentadas no estudo do sistema isomorfo. Por exemplo, o 
campo de equilíbrio β α + é gerado pelo movimento de Conódios cujas extremidades estão 
contidas (geram) nas Superfícies Solvus α e Solvus β , enquanto que o campo αL + é 
definido a partir do movimento de Conódios cujas extremidades se apóiam (geram) nas 
Superfícies Solidus de α e Liquidus. A única novidade, embora de fundamentos já co-
nhecidos, é a região de estabilidade simultânea de L .α eβ , formada pelo deslocamento de 
Triângulos Conodiais cujos vértices se situam sobre as curvas 21αα (composição de α ), 
21ee (composição do líquido) e 21ββ (composição de β ). Estes triângulos se degeneram na 
isoterma de reação eutética binária: 
111 βαe +⇒ 
e também na isoterma da reação eutética binária: 
222 βαe +⇒ 
Seções isotérmicas através de modelo espacial, tais como as da figura 20, mostram que o 
esquema é compatível com a Regra das Fases. Nota-se que o princípio, já exposto, dos 
espaços contíguos, é obedecido e, que a definição de 1 grau de liberdade, além da pressão, 
 30 
 
Figura 20 - Projeção das isotermas geradas a partir do modelo da figura 19. 
 
caracteriza totalmente o equilíbrio trifásico. Por exemplo, se a temperatura for fixada em T2, 
as composições das três fases em equilíbrio serão aquelas correspondentes aos pontos 
222 Leβ ;α , vértices do Triângulo Conodial. Se for exigido que, no equilíbrio trifásico, a 
fase α deva conter 35% de B, é fácil verificar que a única temperatura em que tal é atendido 
é a temperatura T3, em que o vértice do Triângulo Conodial toca a paralela ao lado AC, 
traçada a 35% de B. 
 
Com referência à figura 19, é possível verificar que sistemas cujas composições estão à 
esquerda da curva 21αα se transformam de acordo com o esquema 
βαααLL +⇒⇒+⇒ 
ou 
ααLL ⇒+⇒ 
E que sistemas que estão à direita de 21ββ seguem o esquema 
αβββLL +⇒⇒+⇒ 
ou 
ββLL ⇒+⇒ 
Apenas aqueles sistemas de composições situadas entre 21αα e 21ββ apresentam equilíbrio 
de três fases, a saber: 
 31 
βααβLαLL +⇒++⇒+⇒ 
ou 
βααβLβLL +⇒++⇒+⇒ , 
conforme estejam à esquerda ou à direita da curva 21ee , respectivamente. 
 
Estas transformações de fases são melhor acompanhadas através de seções isotérmicas e 
pela aplicação da Regra da Alavanca. 
 
A figura 21, justamente, descreve o processo de solidificação de um sistema de composição 
X, definida pelo ponto X, nas seções isotérmicas. Em T1 o sistema está totalmente liquefeito, 
e a T2 atinge a Liquidus, com a deposição dos primeiros cristais da fase α , de composi-
ção 2α definida pelo conódio 22Lα . Em T3 ainda se apresenta o equilíbrio entre as fases 
líquida e alfa, de composições 33 eL α , respectivamente, e a quantidade de alfa corres-
ponde a 
x100
Lα
XL
______
33
______
3
. 
O equilíbrio entre estas duas fases perdura até a temperatura T4, em que se precipitam os 
primeiros cristais de β , de composição 4β . A T5, três fases, líquido, alfa e beta, coexistem 
em equilíbrio. Suas composições são 555 βeα ,L ,respectivamente, e a quantidade de 
alfa, por exemplo, é 
x100
Sα
XS
______
55
______
5
 
 
A solidificação se completa a T6, onde as composições são 666 βeα ,L , e se verifica, a-
través da Regra Triangular da Alavanca, que o líquido está presente em quantidades ape-
nas infinitesimais . Finalmente, a T7, as composições das fases sólidas remanescentes já 
evoluíram, de modo a alcançar os pontos 77 βeα . 
 
É fato que, se for conhecido o tipo de diagrama ternário, a forma geral de suas superfícies e 
espaços de equilíbrio tornam-se previsíveis. No entanto, sob nenhuma circunstância, o tipo 
ou constituição de sistema ternário pode ser predito pelo conhecimento, apenas, dos siste-
mas binários de que é formado. As figuras 22 e 23 apresentam duas das outras possíveis 
 32 
 
Figura 21 - Análise da solidificação com auxílio de uma seqüência de isotermas 
 
constituições relativas à combinação de dois eutéticos e um isomorfo. A diferença, em 
relação ao caso prévio, é que o Triângulo Conodial se degenera, em algum ponto entre os 
 33 
dois sistemas binários eutéticos, em um Conódio em posição de Máximo, figura 22, ou 
de Mínimo, figura 23. As seções isotérmicas auxiliam a compreensão do problema. 
 
 
 
Figura 172 – Caso em que o triângulo conodial se reduz a um conódio num ponto de Máxi-
mo, e respectivas isotermas 
 
 
 34 
 
Figura 183 – Caso em que o triângulo conodial se reduz a um conódio num ponto de Míni-
mo, e respectivas isotermas 
 
A figura 24 esquematiza uma possível constituição para a combinação de dois sistemas pe-
ritéticos com um isomorfo. São três as regiões de estabilidade de uma só fase, βeα ,L e 
três regiões de equilíbrio de duas fases, βαeβL ,αL +++ . Nenhum comentário adicio-
nal necessita ser feito em relação a estas regiões, desde que suas características constituti-
vas já são conhecidas. 
 35 
 
Figura 194 – Diagrama espacial para a combinação de dois binários peritéticos e um binário 
isomorfo 
 36 
 
A região de equilíbrio trifásico é formada pelo deslocamento de um Triângulo Conodial 
cujos vértices seguem as curvas 212121 ββeαα ,LL , lugar dos pontos indicativos das 
composições do líquido, fase alfa e fase beta, respectivamente. Este Triângulo Conodial 
degenera-se nas isotermas correspondentes à reação peritética, 
111L αβ ⇒+ 
no binário AB, e à reação, também peritética 
222L αβ ⇒+ 
no binário CB. 
 
Sistemas ternários cujas composições estão locadas entre as curvas 21LL e 21β β experi-
mentam, no decorrer da solidificação, uma reação do tipo peritética 
αβL ⇒+ 
Neste caso, quando o ponto definido por temperatura-composição média do sistema atinge 
a fronteira da região de equilíbrio trifásico, duas situações podem ser evidenciadas: 
a) Existia um excesso de β em relação à quantidade de líquido necessária para formar 
α ; a solidificação está completa e o sistema se constitui de βeα ; 
b) Existia um excesso de líquido em relação a β ; atinge-se a região bifásica αL + e 
logo o processo de solidificação deve ter seqüência. 
 
 Os pontos Y e X, na figura 24-C ilustram os casos (a) e (b), respectivamente. À temperatura 
T2 , o início da região de estabilidade de três fases, o sistema se constitui de líquido e β , de 
composições 2L e 2β , e quantidades infinitesimais de α , de composição 2α . As situações 
expostas pelos pontos Y e X só divergem no tocante à quantidade de cada fase: 
x100
βL
YL(Y)%
______
22
______
2
=β x100
βL
XL(X)%
______
22
______
2
=β 
À T3, a Regra Triangular da Alavanca indica que a quantidade de β , para composição 
média Y é, comparativamente, maior que a quantidade correspondente para a composição 
X: 
x100
β
Yn(Y)%
______
3
______
n
=β x100
β
Xm(X)%
______
3
______
m
=β 
 37 
Finalmente, a T4, se o sistema apresenta composição média Y, ele se constitui das fases 
βeα e, se a composição média for X, das fases líquida e α . 
A figura 25 contempla o caso em que a Lacuna de Solubilidade tem caráter eutético num 
sistema binário e caráter peritético no outro, de modo que se passa de um a outro, por uma 
mudança contínua na forma do Triângulo Conodial. Esta mudança fica clara se se observa 
que a composição do líquido segue a curva 21eL , enquanto que as composições dos sóli-
dos seguem as curvas 21αα e 21ββ . 
 
No modelo da figura 26, admite-se que dois sistemas binários apresentam completa solubili-
dade no estado sólido, enquanto que no terceiro existe uma Lacuna de Miscibilidade. A 
Região de Imiscibilidade estende-se e extingue-se dentro do sistema ternário.A única no-
va situação é que a região de equilíbrio trifásico começa na isoterma da reação eutética bi-
nária 
111 βαe +⇒ 
e, com a diminuição de temperatura, as composições de βeα vão se aproximando, de 
modo que no Ponto Crítico C3, βeα igualam-se, e o Triângulo Conodial degenera-se 
em um Conódio. 
 
Os fenômenos de cristalização podem ser acompanhados por seções isotérmicas, figura 
26-b, ou qualitativamente, como mostra a figura 27, onde se expõe o caminho de cristaliza-
ção de um sistema de composição média Y. 
 
Neste caso, a cristalização primária tem início à temperatura de interseção entre a vertical Y 
e a Liquidus, pela deposição dos primeiros cristais de α , de composição correspondente 
ao ponto 4. A cristalização continua à medida que a composição do sólido segue a curva 
46, situada sobre a Solidus enquanto a composição do líquido segue a curva 15 sobre a 
Liquidus. A qualquer temperatura intermediária, o conódio que liga as duas curvas deve 
interceptar a vertical Y, embora sua direção possa variar. Quando se atinge a temperatura 
correspondente ao conódio 
___
65 , o sistema compõe-se de α , L e quantidades infinitesimais 
de uma terceira fase β , de composição correspondente ao ponto 7. A partir desta tempera-
tura, βeα precipitam-se simultaneamente às expensas do líquido. Enquanto a cristalização 
secundária prossegue, as composições de Leβ,α seguem as curva 69, 7.10 e 58, res-
pectivamente. À temperatura correspondente ao Triângulo Conodial 8.9.10, observa-se 
 38 
que todo o líquido foi consumido, e a solidificação está completa. Diminuições posteriores da 
temperatura fazem com que as composições das fases sólidas βeα descrevam as 
 39 
 
 
 
Figura 205 – a) Combinação dos sistemas binários eutético, peritético e isomorfo; b ) isoter-
mas do modelo espacial 
 40 
 
 
Figura 216 – Caso em que o Triângulo Conodial termina num Conódio Crítico; b) Isoter-
mas do modelo espacial. 
 41 
 
. 
 
Figura 227 - Caminho de cristalização* para um ternário exposto na figura 26. 
 * lugar dos pontos que representam as composições das fases formadas pelo resfri-
amento de um sistema, desde a temperatura em que está totalmente liquefeito até a 
completa solidificação. 
 
 42 
as curvas 9.11 e 10.12, geradas por conódios que interceptam a vertical Y. Se os diversos 
conódios e Triângulos Conodiais fossem apresentados em verdadeira grandeza, a apli-
cação da Regra da Alavanca forneceria as proporções das fases presentes, em qualquer 
etapa da solidificação 
. 
A figura 28-a é um esquema do caso em que o Triângulo Conodial dirige-se à isoterma 
eutética binária quando a temperatura diminui. Lacunas de Miscibilidade podem ocorrer 
também no estado líquido, mas, naturalmente, os mesmos princípios expostos para as La-
cunas no estado sólido são válidos para elas. Uma Lacuna de Miscibilidade no estado 
líquido pode estar, figura 28-b, associada a uma reação monotética num dos sistemas bi-
nários. Uma possibilidade a ser aventada é que o campo de equilíbrio trifásico comece na 
isoterma monotética e termine em um conódio crítico, interior ao sistema ternário, no 
qual os dois líquidos tornam-se indistinguíveis. 
 
 
 
Figura 23 a) Alternativa ao caso explicitado na figura 26 
 43 
 
 
 
 
Figura 24 -b) Equilíbrio de três fases gerado por uma Lacuna de Miscibilidade no estado 
líquido. 
 
 
EQUILÍBRIO DE QUATRO FASES – CLASSE I 
 
Uma reação reversível pela qual, por extração de calor, se observa a transformação 
 
γβαL ++=> 
 
é conhecida como equilíbrio de quatro fases de Classe I ou de primeira espécie. Desde que 
o único grau de liberdade já foi utilizado ao definir-se a pressão, este equilíbrio deve ocorrer 
para valores específicos de temperatura e composição das fases. O modelo esquematizado 
na figura 29 atende a esta exigência. 
 
O triângulo hachurado αβγ é um triângulo isotérmico e toca as regiões de estabilidade de 
uma só fase α , β e γ , apenas nos pontos correspondentes a seus vértices. O ponto refe-
rente à composição do líquido, chamado Ponto Eutético Ternário, localiza-se no interior do 
Triângulo Conodial αβγ , na confluência das três superfícies Liquidi, e representa a me-
nor temperatura em que o sistema se apresenta no estado líquido. 
 
 44 
 
 
 
 
Figura 25 –a) modelo espacial ilustrando uma reação de classe I 
 
 45 
 
 
Figura 26–b) seções isotérmicas através de modelo espacial, ilustrando uma reação de clas-
se I 
 46 
São quatro regiões de estabilidade de uma só fase α , β , γ e L e seis regiões de equilíbrio 
bifásico: γβ,γα,βα ,γL ,βL ,αL ++++++ . Por exemplo, a região bifásica 
αL + localiza-se entre as superfícies Liquidus e Solidus, geradas pelos conódios que 
interligam as composições do líquido e do cristal primário. 
 
Regiões tais como a de equilíbrio γα + situam-se entre as superfícies Solvi, também gera-
das por conódios, que interligam as composições dos dois cristais. As regiões de equilíbrio 
trifásico são em número de quatro: γβα ,γL ,L ,αL ++++++++ βγαβ . Aquelas 
que envolvem o líquido começam num dos sistemas binários e terminam à temperatura infe-
rior, no plano eutético ternário. β++ αL , por exemplo, começa na isoterma da reação 
β+<=> αL 
no binário A-B, e termina no triângulo conodial “ βα − - ponto eutético ternário” , parte 
do triângulo conodial αβγ . A região γβα ++ , por sua vez, tem por início o triângulo co-
nodial αβγ , do plano eutético ternário, e se estende a temperaturas inferiores. Seções iso-
térmicas, como a da figura 29-b, deixam em evidência a simplicidade do modelo. 
 
Apenas os sistemas cujas composições estão contidas no interior do triângulo conodial 
αβγ , experimentam parcial ou totalmente, a reação de Classe I. É fácil verificar, por exem-
plo, que sistemas cujas composições se situem dentro da projeção vertical da Solidus α 
podem apresentar, por esquemas de solidificação, as seqüências: 
α=>+⇒ αLL ou βαα +⇒=>+⇒ αLL ou γαα +⇒=>+⇒ αLL ou 
γβαααLL ++⇒⇒+⇒ 
 
No caso de composições situadas no interior do Triângulo Conodial αβγ , são quatro as 
possibilidades: 
a) O sistema de mais baixo ponto de fusão, composição E, solidifica-se, isotermicamen-
te, formando cristais de γeβ,α . Acima da temperatura eutética o sistema apre-
senta-se no estado líquido, e abaixo, no estado sólido; 
 
b) Sistemas cujas composições situam-se sobre as curvas bivariantes (de equilíbrio 
simultâneo entre o líquido e duas fases sólidas), não apresentam cristalização primá-
ria, e exibem precipitação simultânea de duas fases sólidas, até que a temperatura 
atinja o valor de temperatura do eutético ternário. Neste ponto, o líquido remanes-
 47 
cente solidifica-se como ternário eutético. Por exemplo, para composições situa-
das sobre a calha Le1 (ou Ee1 ) , ocorre a precipitação simultânea de βeα ; 
 
c) Pode ocorrer que à cristalização primária siga-se a reação eutética ternária, sem 
que ocorra a precipitação simultânea de duas fases (cristalização secundária); 
 
d) Sistemas de composições situadas dentro dos triângulos αβE , Eαγ e Eβγ apre-
sentam cristalização primária, cristalização secundária e cristalização terciária 
(reação eutética ternária) 
 
Estas particularidades podem ser acompanhadas através de seções isotérmicas, figura 29-
b, ou pelo esquema da figura 30. 
 
Nesta, analisa-se a seqüência de transformações à qual está exposto um sistema de com-
posição média igual a X. A solidificação do sistema começa quando a temperatura atinge o 
valor determinado pela interseção da vertical em X com a superfície Liquidus, com a preci-
pitação dos primeiros cristais de α , de composição 1α . Esta etapa de cristalização primá-
ria continua, com a composição dos cristais seguindo a curva 21αα , enquanto a composi-
ção do líquido segue a curva 21LL . As curvas 21αα e 21LL estão situadas sobre a Solidus 
e a Liquidus, respectivamente, e são descritas pelas extremidades dos conódios que in-
terceptama vertical em X. 
 
À T2, o líquido apresenta-se saturado em uma segunda fase sólida β , de composição 2β . 
Inicia-se, então, a cristalização secundária, deposição simultânea βeα , cujas composições 
situam-se nas curvas αα2 e ββ 2 , respectivamente, enquanto que a composição do líquido 
segue a porção EL2 da calha eutética Ee1 . Justo acima da temperatura do plano eutético, 
o sistema constitui-se das fases Leβ, α , e, como a fração remanescente desta última 
apresenta todas as condições (composição igual a E, temperatura igual a TE., o processo 
de solidificação findar-se-á pela Reação de Classe I: 
 
γβαL ++=> (cristalização terciária) 
 
 48 
 
Figura 27 – Caminho de cristalização para um sistema de composição média igual a X 
 
 
Justo
 
abaixo de TE , apenas três fases, γeβ, α , estão presentes, e a diminuição posteri-
or de temperatura faz com que suas composições sigam as linhas fα , gβ e hγ , respec-
tivamente. Se os conódios e triângulos conodiais fossem fornecidos em verdadeira gran-
deza, seria possível determinar, a cada temperatura, as proporções das fases presentes, 
com a ressalva de que a regra da alavanca triangular não pode ser aplicada quando uma 
transformação de fases envolvendo quatro fases está justamente se processando. No e-
xemplo exposto, a regra da alavanca forneceria, por exemplo, as quantidades de 
 49 
Leβ,α presentes a uma temperatura infinitesimalmente superior a TE e as quantidades 
de γeβ,α presentes a uma temperatura infinitesimalmente inferior a TE. 
 
Uma reação de classe I ocorre não apenas pela combinação de três sistemas eutéticos bi-
nários, desde que o triângulo de equilíbrio de quatro fases pode ser gerado a partir de outras 
fontes. Na figura 31, esquematiza-se um caso em que duas regiões de equilíbrio trifásico 
são geradas a partir de um mesmo sistema binário. A reação, no caso, seria: 
 
βαLL II1 ++<=> 
 
 50 
 
 
Figura 28 Equilíbrio de Classe I envolvendo uma Lacuna de Miscibilidade no estado líquido. 
 51 
 
 
Figura 29 Seções isotérmicas do diagrama da figura 31, que mostra equilíbrio de Classe I 
com Lacuna de Miscibilidade no estado líquido 
 
 52 
 
EQUILÍBRIO DE QUATRO FASES - CLASSE II 
 
Uma reação reversível pela qual se observa, por extração de calor, a transformação 
γβαL +=>+ 
recebe o nome de equilíbrio de quatro fases de Segunda Espécie ou de Classe II. A regra 
das fases indica que, à pressão constante, tal equilíbrio se dá para valores específicos de 
temperatura e composição das fases. 
 
A figura 33 apresenta uma possível combinação que exibe o equilíbrio de Classe II. O 
campo de equilíbrio de quatro fases, Classe II, é um quadrilátero isotérmico, formado pela 
justaposição de dois triângulos conodiais (na figura, representado pelo contorno αβLγ ). 
Quatro são as regiões de equilíbrio trifásico, βαL ++ , γαL ++ , γβα ++ e γβL ++ . 
A região βαL ++ , gerada a partir da reação peritética 
βαL ⇒+ 
do binário AB, tem em comum com a região γαL ++ , formada a partir da reação eutética 
γαL +⇒ 
do binário AC, o conódio αL . 
 
 As duas outras regiões trifásicas são a região γβα ++ , gerada pelo deslocamento do tri-
ângulo conodial αβγ desde a temperatura da reação de Classe II até temperaturas inferio-
res; e a região γβL ++ , que se inicia no triângulo conodial γLβ e se degenera na iso-
terma eutética 
γβL +⇒ 
do binário BC. Os campos γβα ++ e γβL ++ dividem o conódio γβ . Tanto pelo modelo 
como pelas seções isotérmicas, é possível inferir que os triângulos conodiais βLα e γLα 
aproximam-se a partir de temperaturas superiores, se justapõem de acordo com o conódio 
Lα para formar o quadriláteroαβLγ que, por sua vez, divide-se nos triângulos conodiais 
αβγ e γLβ , que se afastam em direção de temperaturas inferiores. 
 
Apenas sistemas cujas composições estejam locadas no interior do quadrilátero αβLγ exi-
bem, parcial ou totalmente, a reação de Classe II. É um resultado óbvio da aplicação da 
Regra da Alavanca, que o único sistema para o qual αL + são integralmente consumidos 
 53 
de modo a restar γeβ , provindos apenas da reação de Classe II, é aquele de composição 
m, cruzamento dos conódios βγeαL, . Outras composições apresentarão a reação de 
Classe II de maneira parcial, somente. 
 
 
 
 
Figura 30 Modelo espacial envolvendo uma reação de Classe II 
 54 
 
 
 
 
Figura 31 seções isotérmicas através de modelo espacial envolvendo uma reação de Clas-
se II, referente à figura 33. 
 
 
 
 
 55 
 
Figura 32 – Desenvolvimento da reação de classe II 
 
 
Um sistema de composição m constitui-se, à TII +dT, de Leα na proporção 
____
____
αm
mL
L
α
= 
 e exibe, esquematicamente, a transformação 
IIClasseaçãodaprodutos Re
αL γβ +=>+ 
.O segmento 
_____
βmγ é o lugar geométrico das composições para as quais a razão 
L
α perma-
nece igual a 
____
____
αm
mL
 e, logo, para composições sobre βm , a transformação será: 
IIClassereaçãodaprodutosIIClassereaçãopréIIClassereaçãopré
γββLαβ ++
−
<=>++
−
 
Enquanto que para composições sobre 
____
mγ : 
IIClassereaçãodaprodutosIIClassereaçãopréIIClassereaçãopré
γβLα ++
−
<=>++
−
γγ
 
Composições situadas à esquerda de βγ representam, à TII + dT, situações em que a razão 
L
α é maior do 
____
____
αm
mL
 , isto é, existe um excesso de α em relação à quantidade necessária 
para consumir todo o líquido. A transformação correspondente, para composições no interior 
do triângulo αβm seria: 
produtosexcessoreaçãopréreaçãopré
γββLαβ +++
−
<=>++
−
α
 
 
e para os pontos no interior do triângulo αmγ : 
 
produtosexcessoreaçãopréreaçãopré
γβLα +++
−
<=>++
−
αγγ
 
 
Raciocínio análogo mostra que, se a composição está locada dentro do triângulo βmL , en-
tão tem-se como reação: 
 56 
produtosexcesso
L
reaçãopréreaçãopré
γββLαβ +++
−
<=>++
−
 
e, se está localizada dentro do triângulo mLγ , a reação será: 
produtosexcesso
L
reaçãopréreaçãopré
γβLα +++
−
<=>++
−
γγ
 
 
As fases aqui cognominadas “pré-reação de Classe II” e “produtos da reação de Classe 
II”, são, naturalmente, indistinguíveis das homônimas que participam da reação, mas suas 
quantidades podem ser determinadas pela aplicação da Regra da Alavanca, à TII + dT e TII 
– dT, respectivamente. Observe-se, como complemento, que nos dois últimos casos, a soli-
dificação não está completa, pois persiste ainda um excesso de líquido. 
 
 
EQUILÍBRIO DE QUATRO FASES – CLASSE III 
 
A reação reversível através da qual, por extração de calor, se observa a transformação 
γβαL =>++ 
é denominada equilíbrio de quatro fases, Classe III. É equivalente a um equilíbrio peritéti-
co ternário. Tal como no caso de reações de Classe I e Classe II, temperatura e composi-
ções de equilíbrio são conhecidas a partir da definição do valor da pressão. 
 
A figura 36 apresenta um modelo espacial que inclui uma reação de Classe III. 
 
O campo de equilíbrio de quatro fases é o Triângulo Conodial de vértices Leβ,α , 
sendo que o ponto referente à composição γ situa-se no interior do mesmo. A região de 
equilíbrio trifásico Lβα ++ é formada a partir do deslocamento, desde temperaturas mais 
altas, de Triângulos Conodiais relacionados à reação eutética 
βαL +<=> 
 
do binário AB. A região γβL ++ tem início no triângulo conodial βγL e se degenera na 
isoterma da reação peritética 
γβL <=>+ 
 
 57 
 
 
 
 
Figura 33 Diagrama espacial envolvendo uma reação de Classe III 
 58 
 
 
Figura 34 Seções isotérmicas através de diagrama espacial envolvendo uma reação de 
Classe III, referente à figura 36. 
 
 
 
do binário BC, enquanto que o campo γαL ++ começa no Triângulo Conodial γLα e 
finda na isoterma peritética 
 59 
γL <=>+α 
do binário AC. 
 
A quarta região trifásica tem por princípio o Triângulo Conodial βγα , e se estende a tem-
peraturas inferiores. O modelo espacial e seções isotérmicas evidenciam estas relações de 
fases. 
 
Oúnico sistema para o qual α , β e L são integralmente consumidos, no decorrer da reação 
de Classe III, é o que corresponde à composição γ , na figura 38. Nestas condições, as 
quantidades das fases antes do início da reação são: 
x100
αm
γm
críticoα%
___
____
= 
x100
Ln
γn
críticoL%
___
____
= 
x100
βp
γp
críticoβ%
___
____
= 
 
 
Figura 35 – Triângulo Conodial para a reação de Classe III 
 
 60 
Este cálculo indica que, se βeα se apresentam na razão 
nα
nβ
βp
γp
αm
γm
___
____
___
____
= 
 
então, estas duas fases serão integralmente consumidas, desde que exista líquido suficiente 
para reagir com elas. O segmento 
___
Ln é o lugar dos pontos onde a razão acima se mantém, 
de modo que, para composições situadas sobre 
___
γL , onde o líquido se apresenta em ex-
cesso em relação à porcentagem crítica, a transformação observada seria: 
produtoexcesso
γL
βαL +<=>++ 
Composições situadas sobre 
___
γn , caracterizadas por deficiência em líquido, resultariam em 
produtoexcesso
γβα
βαL ++<=>++ 
É fácil verificar, através da Regra da Alavanca, que todas as composições situadas dentro 
do triângulo αγβ apresentam deficiência em líquido, e exibem a transformação: 
produtoexcesso
γβα
βαL ++<=>++ 
De modo análogo, para composições no interior do triângulo βLγ : 
produtoexcesso
γβL
βαL ++<=>++ 
e, para o triângulo αLγ : 
produtoexcesso
L γ
βαL ++<=>++ α 
As quantidades das fases presentes antes da reação de Classe III são determináveis pela 
aplicação da Regra da Alavanca ao triângulo αβL , enquanto que, quantidades denomina-
das “excesso” e “produtos da reação de Classe III” o são pela aplicação, da mesma re-
gra, ao Triângulo Conodial pertinente (por exemplo, triângulo αβL para composições no 
interior do mesmo) 
 
 61 
TRANSFORMAÇÕES CONGRUENTES 
 
Tal como no caso de sistemas binários, fases intermediárias de comportamento congruente 
ou azeotrópico podem, em certos casos, ser consideradas como componentes. A figura 39 
apresenta o caso em que uma fase intermediária δ , de origem no binário AB, divide o sis-
tema ternário em dois outros sistemas ternários, os quais podem ser analisados de forma 
completamente independente. A divisão é realizada pela seção vertical δC , figura 39, de-
nominada seção quase-binária por corresponder a composições de sistemas ternários que 
se comportam como se binários fossem. Esta condição implica em que todos os conódios, 
relativos às várias regiões de equilíbrio de duas fases estão contidos na própria seção qua-
se-binária, e que os equilíbrios trifásicos ocorrem a um valor determinado da temperatura, 
função exclusivamente da pressão. Sistemas cujas composições situam-se à direita e à es-
querda da seção quase-binária comportam-se como pertencentes ao ternário δCB e ACδ 
, respectivamente. O traço de união entre os dois sistemas ternários é o campo de equilíbrio 
trifásico 
γδL ++ 
que toma parte em ambas as reações de Classe I, e se origina na isoterma da reação eu-
tética 
111 δγe +<=> 
do sistema binário δC . Estas características podem ser conferidas através de seções iso-
térmicas, figura 40. 
 
A simples existência de uma fase intermediária de comportamento congruente não garante 
a presença de uma seção quase-binária, como exemplifica a figura 41. Neste modelo o 
Triângulo Conodial γLδ desloca-se desde o plano de reação de Classe II até o plano de 
reação de Classe I, sem que as curvas que indicam as composições do equilíbrio trifásico 
apresentem pontos extremados. Não existe, então, uma seção vertical que apresente equilí-
brio pseudo-binário entre estas três fases. É simples verificar que, a depender da posição 
do triângulo γLδ (Classe II), relativa ao triângulo γLδ (Classe I), algumas composições 
necessitarão de concurso de ambas as reações para que a solidificação se complete, e que, 
portanto, não se pode falar em subsistemas independentes. A seção vertical XW, traçada de 
modo a conter o conódio γδ , da reação de Classe II, apresenta, por hipótese, vários Co-
nódios do campo γ+δ . 
 62 
 
 
 
 
Figura 36 Modelo espacial com seção quase-binária entre C e a fase intermediária δ 
 
 
 
 63 
 
Figura 37 Seções isotérmicas através de modelo espacial com seção quase-binária entre C 
e a fase intermediária δ , referente à figura 39. 
 
 64 
 
 
 
 
Figura 38 Modelo espacial com fase intermediária de fusão congruente, sem seção quase-
binária; 
 65 
 
 
Figura 39 Seções isotérmicas através de modelo espacial com fase intermediária de fusão 
congruente, sem seção quase-binária, referente à figura 41. 
 
Observe-se, por exemplo, através da seção isotérmica a T3, que é pouco provável que esta 
seção vertical contenha conódios relativos ao equilíbrio entre L e β , fato que ocorreria se 
existisse uma seção quase-binária. 
 
 66 
 
 
 
 
Figura 40 Modelo espacial apresentando fase intermediária ternária, que forma seções 
quase-binárias 
 
 67 
; 
 
 
Figura 41 Seções isotérmicas através de modelo espacial apresentando fase intermediária 
ternária, que forma seções quase-binárias, referente à figura 43. 
 
 
 68 
 INTERPRETAÇÂO DE SISTEMAS COMPLEXOS – CASOS LIMITES 
 
 
Os itens anteriores apresentam as características essenciais das várias unidades estruturais 
que constituem um diagrama ternário de equilíbrio. A partir da forma geral que estas unida-
des exibem (de modo a obedecer a regra das fases) e da aplicação da Regra da Alavanca, 
torna-se possível deduzir as transformações que ocorrem numa operação de aquecimento 
ou resfriamento. Diagramas reais são usualmente mais complexos que os modelos idealiza-
dos, aqui apresentados e, a análise das transformações pode exigir um número elevado de 
seções isotérmicas. Naturalmente, a despeito de possíveis complexidades, os princípios 
básicos expostos permanecem válidos. 
 
Em alguns sistemas metalúrgicos a solubilidade dos componentes no estado sólido é, para 
todos os efeitos, desprezível. Isto quer dizer que fases terminais podem ser consideradas 
como se fossem os componentes puros; fases intermediárias apresentam região tão restrita 
de existência que, na prática, são como compostos intermediários, de composição definida. 
Nestes casos as composições destas fases não mudam durante o resfriamento(ou aqueci-
mento). Se, por exemplo, A2B é um tal composto, então um equilíbrio bifásico entre Líquido 
e A2B só seria possível se estivessem alinhadas as composições das fases citadas e a 
composição média do sistema, qualquer que seja a temperatura, ver figura 45. 
 
Figura 45: Orientação de conódio para o caso de uma fase com composição fixa. 
 
As composições de líquido e A2B definem um segmento de reta paralelo ao plano da base e, 
por imposição da regra da Alavanca, o ponto referente à composição média do sistema pre-
 69 
cisa estar contido no mesmo. Como exemplos de possíveis composições de líquido, no e-
quilíbrio bifásico líquido – A2B, em um sistema de composição média X, poderiam ser cita-
das X, L900, L800. 
A Figura 46 é uma projeção vertical da superfície Liquidus de um sistema ternário totalmen-
te hipotético, apresentando uma reação de Classe I. 
 
Figura 46: Projeção vertical de diagrama hipotético 
 
O mesmo foi traçado imaginando solubilidade desprezível no estado sólido, como se vê a 
partir dos diagramas binários, rebatidos no plano da base. Por exemplo o diagrama binário 
A-B é um eutético simples, ostentando a reação 
 L(composição e2) = A(sólido puro) + B(sólido puro) 
 
 70 
Note-se que sobre os lados do triângulo de Gibbs foram traçadas setas indicando o sentido 
de diminuição de temperatura na Liquidus, isto é, para equilíbrios bifásicos entre liquido e 
sólido. Foram traçadas, no canto superior do triângulo de Gibbs, projeções verticais dos cor-
tes realizados por meio de planos isotérmicos a 600, 700, 800 e 900 graus sobre a superfí-
cie Liquidus. Este traçado ficou restrito à região Ae1Ee2A para não sobrecarregar o dese-
nho, emborapudesse ser realizado para cobrir todo o diagrama. Um líquido de composição 
X começa a se solidificar à temperatura de 800o. Como a região Ae1Ee2A foi indicada como 
sendo a região de cristalização primária de A, então o primeiro sólido a ser formado a partir 
de um líquido de composição X, é constituído de A puro. De modo semelhante Be2Ee3B e 
Ce3Ee1C seriam as regiões de cristalização primária de B e C, respectivamente. 
 
A superfície Liquidus Ce1Ee3C fornece as composições de líquidos em equilíbrio com o 
sólido C; a superfície Liquidus Be3Ee2B fornece as composições de líquidos em equilíbrio 
com o sólido B; portanto a intersecção destas duas superfícies indica o equilíbrio trifásico 
entre Liquido, B e C. Esta intersecção define uma linha no
 
espaço ternário, linha e3E, deno-
minada calha eutética; neste diagrama, outras calhas eutéticas representando as compo-
sições de líquidos em equilíbrio com duas fases sólidas seriam e1E e e2E. Setas sobre cada 
uma das calhas indicam o sentido de diminuição de temperatura. Portanto, a 600o , um líqui-
do de composição Y estaria em equilíbrio com A e C. 
As três calhas citadas se encontram num ponto comum, o ponto E, referente ao equilíbrio de 
quatro fases: 
L=> A + B + C 
 
Como se verá a seguir, projeções simples como estas permitem extrair um grande número 
de informações e mesmo descrever as transformações de fase durante aquecimen-
to/resfriamento. 
 
Admita-se, por exemplo, o diagrama exposto na figura 47 – que pode ser considerado um 
caso limite do modelo apresentado na figura 29 – em que a solubilidade mútua entre as fa-
ses γeβ,α é desprezível. As fases γeβ,α podem, então, ser consideradas como 
virtualmente iguais aos componentes puros A, B e C, respectivamente, e o triângulo referen-
te ao equilíbrio de quatro fases Classe I se confunde com o Triângulo de Gibbs. 
 
 71 
 
Figura 47 – Caso limite do modelo exposto na figura 29 
 
 
A falta de solubilidade no estado sólido implica em que as composições das fases sólidas, 
eventualmente precipitadas, não se alteram no decorrer da solidificação. Outras informações 
adicionais são as curvas fE, kE e he, projeções verticais das calhas eutéticas, que indicam 
as composições do líquido nos equilíbrios trifásicos, (L + A + B), (L + A + C) e (L + B + 
C) , respectivamente. As setas sobre as calhas indicam o sentido da variação da composi-
ção do líquido, quando a temperatura diminui, e as letras A, B e C, dispostas no interior dos 
contornos AfEkA, BfEhB e ChEkC, respectivamente, indicam qual o cristal primário precipi-
tado durante a solidificação de um sistema cuja composição esteja locada dentro destes 
contornos. A solidificação de um sistema de composição X, por exemplo, pode ser descrita 
como se segue. A temperatura diminui até que se atinge a superfície Liquidus, a uma tem-
peratura não especificada na projeção, onde começa a precipitação dos primeiros cristais da 
fase sólida, por hipótese, A puro. Fica, então, resolvida a dificuldade a respeito da direção 
dos conódios, no campo de equilíbrio bifásico: a direção deve ser a do segmento 
____
AX (pois 
 72 
que a composição do sólido é imutável ) o que implica em que a composição do líquido deva 
se situar sobre o prolongamento do mesmo. À medida que os cristais de A se precipitam, a 
composição do líquido percorre curva situada sobre a Liquidus – cuja projeção é o segmen-
to 
____
1XL - até que atinja o ponto L1, situado sobre a calha eutética, indicativa das composi-
ções do líquido em equilíbrio simultâneo com A e B. Nesta situação, as fases estão presen-
tes nas seguintes proporções: 
x100
AL
XLA%
____
1
____
1
= 
x100
AL
AXL%
____
1
____
= 
mosinfinitésiB% = 
 
A continuidade de diminuição de temperatura faz com que o sistema alcance, efetivamente, 
o regime de equilíbrio trifásico. Neste campo, ainda por hipótese, as composições das fases 
sólidas não mudam, mas a composição do líquido segue a projeção da calha eutética, no 
sentido indicado pela seta. Quando o Triângulo Conodial for AL2B, a quantidade de A, por 
exemplo, será 
x100
Am
XmA%
____
2
____
2
= 
O regime trifásico permanece até que a composição do líquido atinja o ponto E, confluência 
das três calhas eutéticas. O Triângulo Conodial é o triângulo AEB, o que resulta 
x100
Ap
XpA%
____
____
= 
x100
ER
XRL%
____
____
= 
restanteB% = 
A fração remanescente do líquido apresenta a composição e temperatura necessárias para 
que se dê o equilíbrio de quatro fases, isotérmico, referente à reação de Classe I 
γ(C)β(B)α(A)L(E) ++<=> 
 73 
pela qual a solidificação tem seu término. Uma liga de composição média X se compõe, por-
tanto, no estado sólido, de cristais dos componentes A, B e C, com as seguintes origens: 
cristais primários de A; cristais secundários de A e B; cristais terciários de A, B e C. 
 
Fundamentalmente diferentes do processo exposto, seriam, por exemplo, os caminhos de 
cristalização: 
a) De um sistema de composição média L1, situado sobre a calha eutética, para o qual 
a solidificação começa com a precipitação simultânea de A e B, sem a etapa de 
cristalização primária; 
b) De sistemas de composições situadas sobre o segmento 
____
AE , em que a reação de 
Classe I, cristalização terciária , se segue imediatamente à cristalização primária, 
sem que se dê a cristalização secundária. 
 
Exercício: Tomando como base o diagrama M2S – C2S – C2AS, figura 48, descreva o resfri-
amento em equilíbrio, até solidificação total, de um sistema com 10% de M2S e 20% de 
C2AS. 
 
Exercício: Com referência ao diagrama Cu3P - Ag - Cu , figura 49, e , assumindo solubili-
dade limitada no estado solido: 1- determine a composição da liga com 20% de Cu3P, a qual 
começa a se cristalizar a 900 oC; 2- determine a composição e as proporções das fases pre-
sentes quando tal liga se encontra a 800 oC; 3 - determine a composição e a proporção de 
liquido quando os primeiros cristais de Ag começam a se precipitar da liga anterior; 4 -
.determine a proporção de Ag e Cu, na liga anterior, a 647 ºC e 645 ºC. 
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Figura 48: Diagrama M2S – C2S – C2AS 
 
 
Figura 49: Diagrama Cu – Ag - Cu3P 
 
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A figura 50 apresenta esquemas de alguns diagramas ternários que ilustram algumas cons-
truções empregadas para análise de sistemas complexos(normalmente assim designados 
quando vários tipos de equilíbrios de quatro fases podem ser encontrados num mesmo sis-
tema), porém, com solubilidade limitada no estado sólido. 
 
 
A figura 50-a mostra um sistema que não apresenta fases intermediárias binárias ou terná-
rias. O campo 1-4-2-C apresenta o campo de estabilidade do sólido C em equilíbrio com o 
líquido. Cristais de C são a primeira fase sólida a aparecer quando líquidos representados 
por pontos nesta área, são resfriados. Os pontos 1, 2 e 3 são eutéticos binários, enquanto 
o ponto 4 é um eutético ternário de Classe I. As linhas 1-4, 2-4 e 3-4 são conhecidas como 
calhas eutéticas, e cada uma delas representa uma condição de equilíbrio trifásico entre 
duas fase sólidas e uma fase líquida. As duas fases sólidas em equilíbrio ao longo de 
1-4, 2-4, 3-4, são A e C, C e B, A e B, respectivamente. O ponto 4 representa a composição 
do líquido que está em equilíbrio com três fases sólidas, de acordo com a reação de Classe 
I: 
 
 
Figura 50 - Seis casos típicos de sistemas ternários cujas fases sólidas apresentam solubili-
dade mútua desprezível. 
 
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CBAL(E) ++<=> 
As setas sobre os lados do Triângulo de Gibbs e sobre as calhas indicam a direção em 
que varia a composição do líquido, quando a temperatura diminui. A linhas marcadas T1, T2, 
T3, etc, são isotermas, obtidas pela interseção de planos isotérmicos a estas temperaturas 
com a Superfície Liquidus, e fornecem uma idéia da forma da Liquidus. Claramente, esta 
é uma descrição do exemplo abordado no parágrafo anterior. 
 
Uma Linha de Alkemade é o segmento de reta que conecta os pontos relativos às composi-
ções de duas