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Probabilidade: Experimento Aleatório Probabilidade de um Evento Probabilidade Condicional Eventos Independentes Teorema de Bayes Experimento Aleatório Um experimento aleatório é aquele cujo resultado é incerto, embora se saiba quais são os resultados possíveis. Exemplos: - Jogada de uma moeda observação da face de cima. - Jogada de um dado e observação da face de cima. Exemplos: - Escolha aleatória de uma carta de um baralho. Espaço Amostral (EEEE) Cada resultado possível do experimento é Cada resultado possível do experimento é chamado de elemento ou ponto amostral. Exemplo: Jogada de um dado e observação da face de cima. EEEE = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo: Faces de cima de dois dados lançados. Dado 1 Dado 2 Soma Dado 1 Dado 2 Soma Dado 1 Dado 2 Soma 1 1 2 3 1 4 5 1 6 1 2 3 3 2 5 5 2 7 1 3 4 3 3 6 5 3 8 1 4 5 3 4 7 5 4 9 1 5 6 3 5 8 5 5 10 1 6 7 3 6 9 5 6 11 São 36 resultados possíveis: 1 6 7 3 6 9 5 6 11 2 1 3 4 1 5 6 1 7 2 2 4 4 2 6 6 2 8 2 3 5 4 3 7 6 3 9 2 4 6 4 4 8 6 4 10 2 5 7 4 5 9 6 5 11 2 6 8 4 6 10 6 6 12 EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Considerando a soma dos valores das faces de dois dados: Evento EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11} Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados. Sair um múltiplo de 3: B = {3, 6, 9, 12} Sair um múltiplo de 4 D = {4, 8, 12} Sair a soma máxima: E = {12} Sair um no. primo: C = {2, 3, 5, 7, 11} Sair um múltiplo de 3: B = {3, 6, 9, 12} 2 3 57 9 11 4 6 8 10 12 EEEE A Sair o valor 20: F = { } = φ evento vazio D Evento Complementar EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11} Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados. Sair um no. par: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} 2 3 57 9 11 4 6 8 10 12 EEEE A A Evento Interseção EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11} Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados. Sair um múltiplo de 3: B = {3, 6, 9, 12} Interseção: A ∩ B = { 3, 9 } 2 357 911 4 6 8 10 12 EEEE A B Interseção: A ∩ B = { 3, 9 } EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11} Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados. Sair um múltiplo de 4: D = { 4, 8,12 } Interseção: A ∩ D = { } 2 357 911 4 6 8 10 12 EEEE A D Interseção: A ∩ D = { } Evento União EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11} Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados. Sair um múltiplo de 3: B = {3, 6, 9, 12} União: A U B = {3, 5, 6, 7, 9, 11, 12} 2 35 7 911 4 6 8 10 12 EEEE A B União: A U B = {3, 5, 6, 7, 9, 11, 12} Probabilidade de um Evento EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados. Soma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 No. Resultados 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 Probabilidade 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 A = {3,5,7,9,11} → P(A) = 2/36+4/36+6/36+4/36+2/36 = 18/36 = 1/2. B = {3, 6, 9, 12} → P(B) = 2/36 + 5/36 + 4/36 + 1/36 = 12/36 = 1/3. A ∩ B = {3,9} → P(A∩B) = 2/36 + 4/36 = 6/36 = 1/6. Regra Aditiva A = {3, 5, 7, 9, 11} Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados. B = {3, 6, 9, 12} 2 35 7 911 4 6 8 10 12 EEEE A B A ∩ B = { 3, 9 } EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} EEEE A U B = {3, 5, 6, 7, 9, 11, 12} P(A) = 1/2 P(B) = 1/3 P(A∩B) = 1/6 P(AUB ) = P(A) + P( B ) - P(A ∩B ) = 1/2 + 1/3 - 1/6 = 2/3, que confere com o cálculo direto: P(A U B) = 2/36+4/36+ 5/36+ 6/36+4/36+2/36+1/36 = 24/36 = 2/3. Pois, se A e B são mutuamente exclusivos, Probabilidade Condicional A probabilidade de um evento B ocorrer quando sabemos que o evento A ocorreu é chamada de probabilidade condicional de B dado A. EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A = {3, 5, 7, 9, 11} Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados. B = {3, 6, 9, 12} 2 35 7 911 4 6 8 10 12 EEEE A B A ∩ B = { 3, 9 } EEEE P(A) = 1/2 P(B) = 1/3 P(A∩B) = 1/6 P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (1/6)/(1/3) = 3/6 = 1/2. Eventos Independentes Exemplo: Raça do cão versus cuidados pura . P( “≥ 100”) = 50/90 = 0,56. P( “≥ 100” | “M”) = 15/36 = 0,42. Como P( “≥ 100” | “M”) ≠ P( “≥ 100”), então os eventos “≥ 100” e “M” são dependentes. Regra Multiplicativa Exemplo: Uma urna tem 10 bolas vermelhas e 15 verdes. Duas bolas são retiradas em sequência, sem reposição.Duas bolas são retiradas em sequência, sem reposição. Qual é a probabilidade das duas serem vermelhas ? Sejam os eventos: A = {a 1ª bola é vermelha}, B = {a 2ª bola é vermelha}. P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A) = (10/25)·(9/24) = 0,15. Exemplo: Um dado é jogado 10 vezes seguidas. Qual é a probabilidade da face 6 sair em todas as jogadas ? Seja Ai o evento “face 6 na jogada i”, i = 1,2,...,10. P(face 6 nas 10) = P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ A10 ) = P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) ... P(A10) = (1/6) (1/6) (1/6) ... (1/6) = (1/6)10 = (1/6)10 = 1,65 x 10-8. Partição do Espaço Amostral Os eventos B1, B2, B3, ... , Bk constituem uma partição do espaço amostral EEEE se são disjuntos e B1 U B2 U B3 U ... U BK = EEEE.... Teorema da Probabilidade Total Exemplo: Fábrica tem três máquinas: 1, 2 e 3. Produzem: 30%, 45% e 25% da produção total. Produtos defeituosos por máquina: 2%, 3% e 2% Eventos: Experimento: escolher ao acaso um produto no estoque. A:::: o produto é defeituoso Bk: o produto foi feito pela máquina k, k = 1, 2, 3. Um produto foi selecionado. Qual a probabilidade desse produto ser defeituoso ? Ou seja, P(A) = ? P(A) = P(A|B1)·P(B1) + P(A|B2)·P(B2) + P(A|B3)·P(B3) = (0,02)(0,30) + (0,03)(0,45) + (0,02)(0,25) = 0,0245. Teorema de Bayes Exemplo: Da fábrica que tem três máquinas: 1, 2 e 3. Dado que o produto selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade dele ter sido feito na máquina 3 ? Ou seja, P(B3|A) = ? P(B3|A) P(B3)P(A|B3) P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) (0,25)(0,02) (0,30)(0,02) + (0,45)(0,03) + (0,02)(0,25) 0,0050 0,0050 0,0245 0,23. Exemplo: Um determinado exame de sangue é usado para diagnosticar uma doença. - Acerta o diagnóstico (resultado positivo) em 80% das pessoas realmente doentes; - Acerta o diagnóstico (resultado negativo) em 90% das pessoas realmente não doentes: P( + | D) = 0,80 e P( - | D) = 0,90. O exame foi aplicado a uma pessoa selecionada ao acaso em uma cidade, na qual 6% das pessoas têm a doença, e o resultado foi positivo. Qual é a probabilidade desse diagnóstico estar errado ? P( + | D) = 0,80 e P( - | D) = 0,90. Ou seja, P( D | + ) = ? P( D | + ) P( + | D) = 0,80 → P( - | D) = 0,20 Sabemos que: P(D) = 0,06 → P(D ) = 0,94 Então, pelo Teorema de Bayes: P( + | D) P(D) P( + | D) P(D) P( + | D) P(D) P( D∩ +) P( + ) == P( - | D) = 0,90 → P( + | D) = 0,10 P( + | D) P(D) ++++ P( + | D) P(D)P( + ) = 0,80 (0,06) + 0,10 (0,94) 0,10 (0,94) = 0,094 0,142 = 0,662 probabilidade do diagnóstico estar errado ! Exemplo: Há 6 envelopes, cada um com uma foto dentro. O jogador deve escolher um envelope e verificar a foto. O jogador escolheu um envelopes com o gato (ganhou $). É dada a ele a chance de pegar outro envelope: - Se ele pegar outro gato, ele ganha o prêmio em dobro; - Se ele pegar uma zebra, ele perde tudo. Ele decide pegar outro se a probabilidade de sair outro gato for maior que 0,5 ? P(G1) = 3/6 = 1/2. P( G2 | G1) = 2/5.
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