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Probabilidade: Conceitos Básicos

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Probabilidade:
Experimento Aleatório
Probabilidade de um Evento
Probabilidade Condicional
Eventos Independentes
Teorema de Bayes
Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele cujo resultado é incerto, 
embora se saiba quais são os resultados possíveis.
Exemplos: 
- Jogada de uma moeda observação da face de cima.
- Jogada de um dado e observação da face de cima.
Exemplos: 
- Escolha aleatória de uma carta de um baralho.
Espaço Amostral (EEEE)
Cada resultado possível do experimento é Cada resultado possível do experimento é 
chamado de elemento ou ponto amostral.
Exemplo: Jogada de um dado e observação da face de cima.
EEEE = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo: Faces de cima de dois dados lançados.
Dado 1 Dado 2 Soma Dado 1 Dado 2 Soma Dado 1 Dado 2 Soma
1 1 2 3 1 4 5 1 6
1 2 3 3 2 5 5 2 7
1 3 4 3 3 6 5 3 8
1 4 5 3 4 7 5 4 9
1 5 6 3 5 8 5 5 10
1 6 7 3 6 9 5 6 11
São 36 resultados possíveis:
1 6 7 3 6 9 5 6 11
2 1 3 4 1 5 6 1 7
2 2 4 4 2 6 6 2 8
2 3 5 4 3 7 6 3 9
2 4 6 4 4 8 6 4 10
2 5 7 4 5 9 6 5 11
2 6 8 4 6 10 6 6 12
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Considerando a soma dos valores das faces de dois dados:
Evento
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11}
Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados.
Sair um múltiplo de 3: B = {3, 6, 9, 12}
Sair um múltiplo de 4 D = {4, 8, 12}
Sair a soma máxima: E = {12}
Sair um no. primo: C = {2, 3, 5, 7, 11}
Sair um múltiplo de 3: B = {3, 6, 9, 12}
2
3
57
9 11
4
6 8
10 12
EEEE
A
Sair o valor 20: F = { } = φ
evento vazio
D
Evento Complementar
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11}
Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados.
Sair um no. par: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
2
3
57
9 11
4
6 8
10 12
EEEE
A
A
Evento Interseção
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11}
Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados.
Sair um múltiplo de 3: B = {3, 6, 9, 12}
Interseção: A ∩ B = { 3, 9 }
2
357
911
4
6
8 10
12
EEEE
A B
Interseção: A ∩ B = { 3, 9 }
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11}
Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados.
Sair um múltiplo de 4: D = { 4, 8,12 }
Interseção: A ∩ D = { }
2
357
911
4
6
8
10
12
EEEE
A D
Interseção: A ∩ D = { }
Evento União
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sair um no. ímpar: A = {3, 5, 7, 9, 11}
Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados.
Sair um múltiplo de 3: B = {3, 6, 9, 12}
União: A U B = {3, 5, 6, 7, 9, 11, 12}
2
35
7
911
4
6
8 10
12
EEEE
A B
União: A U B = {3, 5, 6, 7, 9, 11, 12}
Probabilidade de um Evento
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados.
Soma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
No. Resultados 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Probabilidade 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
A = {3,5,7,9,11} → P(A) = 2/36+4/36+6/36+4/36+2/36 = 18/36 = 1/2.
B = {3, 6, 9, 12} → P(B) = 2/36 + 5/36 + 4/36 + 1/36 = 12/36 = 1/3.
A ∩ B = {3,9} → P(A∩B) = 2/36 + 4/36 = 6/36 = 1/6.
Regra Aditiva
A = {3, 5, 7, 9, 11}
Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados.
B = {3, 6, 9, 12}
2
35
7 911
4
6
8 10
12
EEEE
A B
A ∩ B = { 3, 9 }
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
EEEE
A U B = {3, 5, 6, 7, 9, 11, 12}
P(A) = 1/2
P(B) = 1/3
P(A∩B) = 1/6
P(AUB ) = P(A) + P( B ) - P(A ∩B )
= 1/2 + 1/3 - 1/6
= 2/3,
que confere com o cálculo direto:
P(A U B) = 2/36+4/36+ 5/36+ 6/36+4/36+2/36+1/36 = 24/36 = 2/3.
Pois, se A e B são mutuamente exclusivos, 
Probabilidade Condicional
A probabilidade de um evento B ocorrer 
quando sabemos que o evento A ocorreu 
é chamada de 
probabilidade condicional de B dado A. 
EEEE = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A = {3, 5, 7, 9, 11}
Exemplo: Soma dos valores das faces de dois dados.
B = {3, 6, 9, 12}
2
35
7 911
4
6
8 10
12
EEEE
A B
A ∩ B = { 3, 9 }
EEEE
P(A) = 1/2
P(B) = 1/3
P(A∩B) = 1/6
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
= (1/6)/(1/3) = 3/6
= 1/2.
Eventos Independentes
Exemplo: Raça do cão versus cuidados pura . 
P( “≥ 100”) = 50/90 = 0,56. 
P( “≥ 100” | “M”) = 15/36 = 0,42. 
Como P( “≥ 100” | “M”) ≠ P( “≥ 100”), 
então os eventos “≥ 100” e “M” são dependentes. 
Regra Multiplicativa
Exemplo: Uma urna tem 10 bolas vermelhas e 15 verdes.
Duas bolas são retiradas em sequência, sem reposição.Duas bolas são retiradas em sequência, sem reposição.
Qual é a probabilidade das duas serem vermelhas ?
Sejam os eventos: A = {a 1ª bola é vermelha},
B = {a 2ª bola é vermelha}.
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A) = (10/25)·(9/24) = 0,15. 
Exemplo: Um dado é jogado 10 vezes seguidas.
Qual é a probabilidade da face 6 sair em todas as jogadas ? 
Seja Ai o evento “face 6 na jogada i”, i = 1,2,...,10.
P(face 6 nas 10) = P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ... ∩ A10 ) 
= P(A1 ) P(A2 ) P(A3 ) ... P(A10) 
= (1/6) (1/6) (1/6) ... (1/6) = (1/6)10
= (1/6)10 = 1,65 x 10-8.
Partição do Espaço Amostral
Os eventos B1, B2, B3, ... , Bk constituem 
uma partição do espaço amostral EEEE se 
são disjuntos e B1 U B2 U B3 U ... U BK = EEEE....
Teorema da Probabilidade Total
Exemplo: Fábrica tem três máquinas: 1, 2 e 3.
Produzem: 30%, 45% e 25% da produção total.
Produtos defeituosos por máquina: 2%, 3% e 2%
Eventos: 
Experimento: escolher ao acaso um produto no estoque.
A:::: o produto é defeituoso
Bk: o produto foi feito pela máquina k, k = 1, 2, 3.
Um produto foi selecionado.
Qual a probabilidade desse produto ser defeituoso ?
Ou seja, P(A) = ?
P(A) = P(A|B1)·P(B1) + P(A|B2)·P(B2) + P(A|B3)·P(B3) 
= (0,02)(0,30) + (0,03)(0,45) + (0,02)(0,25)
= 0,0245.
Teorema de Bayes
Exemplo: Da fábrica que tem três máquinas: 1, 2 e 3.
Dado que o produto selecionado é defeituoso, qual é 
a probabilidade dele ter sido feito na máquina 3 ?
Ou seja, P(B3|A) = ?
P(B3|A) P(B3)P(A|B3) 
P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3)
(0,25)(0,02) 
(0,30)(0,02) + (0,45)(0,03) + (0,02)(0,25)
0,0050 0,0050 
0,0245 
0,23. 
Exemplo: Um determinado exame de sangue é
usado para diagnosticar uma doença.
- Acerta o diagnóstico (resultado positivo)
em 80% das pessoas realmente doentes;
- Acerta o diagnóstico (resultado negativo)
em 90% das pessoas realmente não doentes:
P( + | D) = 0,80 e P( - | D) = 0,90. 
O exame foi aplicado a uma pessoa selecionada ao
acaso em uma cidade, na qual 6% das pessoas têm a
doença, e o resultado foi positivo.
Qual é a probabilidade desse diagnóstico estar errado ?
P( + | D) = 0,80 e P( - | D) = 0,90. 
Ou seja, P( D | + ) = ?
P( D | + )
P( + | D) = 0,80 → P( - | D) = 0,20
Sabemos que:
P(D) = 0,06 → P(D ) = 0,94
Então, pelo Teorema de Bayes:
P( + | D) P(D)
P( + | D) P(D) P( + | D) P(D)
P( D∩ +)
P( + )
==
P( - | D) = 0,90 → P( + | D) = 0,10
P( + | D) P(D) ++++ P( + | D) P(D)P( + )
=
0,80 (0,06) + 0,10 (0,94)
0,10 (0,94)
=
0,094
0,142
= 0,662 probabilidade do diagnóstico estar errado !
Exemplo: Há 6 envelopes, cada um com uma foto dentro. 
O jogador deve escolher um envelope e verificar a foto. 
O jogador escolheu um envelopes com o gato (ganhou $).
É dada a ele a chance de pegar outro envelope: 
- Se ele pegar outro gato, ele ganha o prêmio em dobro;
- Se ele pegar uma zebra, ele perde tudo.
Ele decide pegar outro se a probabilidade de sair outro gato 
for maior que 0,5 ? 
P(G1) = 3/6 = 1/2. 
P( G2 | G1) = 2/5.

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