Variáveis Aleatórias: Discretas e Contínuas

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Variáveis Aleatórias:
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
Função de Probabilidade
Função de Distribuição Acumulada
Valor Esperado
Variância
Variáveis Aleatórias
Exemplo: Experimento que descreve os resultados dos testes de três
componentes eletrônicos, com C = conforme e D = defeituoso: 
EEEE = { CCC, DCC, CDC, CCD, DDC, DCD, CDD, DDD }. 
Uma variável aleatória de interesse poderia ser 
o número de componentes defeituosos.
X : número de componentes defeituosos quando três são testados.
Valores que X pode assumir: x = 0, 1, 2, 3.
Exemplo: Experimento que consiste em selecionar itens de uma
produção até que apareça um item defeituoso: 
EEEE = { D, CD, CCD, CCCD, CCCCD, CCCCCD, CCCCCCD, ... }. 
Uma variável aleatória de interesse poderia ser o
onde C=conforme e D=defeituoso.
Uma variável aleatória de interesse poderia ser o
número de itens selecionados (até que apareça um defeituoso).
Y : número de itens selecionados até que apareça um defeituoso.
Valores que Y pode assumir: y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 
Exemplo:
Exemplo: A qualidade da gasolina vendida em postos de 
combustível é constantemente monitorada pela ANP. 
Uma variável aleatória de interesse é 
Z : proporção de álcool na amostra de gasolina do posto.
Valores que Z pode assumir: 0 < z < 1.Valores que Z pode assumir: 0 < z < 1.
Exemplo: Um fabricante de cereal matinal sabe que, mesmo se
a máquina que enche as caixas estiver regulada, 
o conteúdo de cereal varia levemente entre as caixas.
Neste caso, a variável aleatória de interesse é 
W : peso líquido (em gramas) do cereal em uma caixa.
Valores que W pode assumir: w > 0. qualquer valor real positivo
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
X : no. de itens defeituosos de três testados → x = 0, 1, 2, 3.
Y : no. de itens selecionados até que surja um defeituoso → y = 1, 2, 3, ...
Se o conjunto de valores possíveis da variável aleatória é 
finito ou infinito contável, a variável aleatória é discreta.
W : peso líquido (em gramas) do cereal em uma caixa → w > 0.
Z : proporção de álcool na amostra de gasolina do posto → 0 < z < 1.
Y : no. de itens selecionados até que surja um defeituoso → y = 1, 2, 3, ...
Se o conjunto de valores possíveis da variável aleatória é 
infinito incontável, a variável aleatória é contínua.
Função de Probabilidade de uma V. A. Discreta
Cada valor possível da variável aleatória discreta está ligado a 
um ou mais elementos do espaço amostral.
E podemos calcular, para cada elemento do espaço amostral, 
sua probabilidade de ocorrer. 
Logo, pode-se atribuir uma probabilidade f(x) a Logo, pode-se atribuir uma probabilidade f(x) a 
cada valor possível da variável aleatória discreta X. 
EEEE = { CCC, DCC, CDC, CCD, DDC, DCD, CDD, DDD }. 
Exemplo: Resultados dos testes de três componentes eletrônicos, com
C = conforme e D = defeituoso: 
Considere que a probabilidade de um item qualquer ser defeituoso seja p=0.2. 
e que os defeitos ou conformidades nos itens sejam independentes. 
P(CCC) = (0.8)(0.8)(0.8) = 0.512, 
P(DCC) = (0.2)(0.8)(0.8) = 0.128, 
X = 0 P(X=0) = 0.512, 
P(DCC) = (0.2)(0.8)(0.8) = 0.128, 
P(CDC) = (0.8)(0.2)(0.8) = 0.128, 
P(CCD) = (0.8)(0.8)(0.2) = 0.128, 
P(DDD) = (0.2)(0.2)(0.2) = 0.008; 
P(DDC) = (0.2)(0.2)(0.8) = 0.032, 
P(DCD) = (0.2)(0.8)(0.2) = 0.032, 
P(CDD) = (0.8)(0.2)(0.2) = 0.032, 
X : número de componentes defeituosos em três testados, com x = 0, 1, 2, 3.
X = 1 
X = 2 
X = 3 
P(X=1) = 0.384, 
P(X=2) = 0.096,
P(X=3) = 0.008.
X : número de componentes defeituosos em três testados.
Função de massa de probabilidade de X: 
Probabilidade de um item qualquer ser defeituoso é p=0.2. 







=
=
=
=
=
;3
;2
;1
;0
..,0
,008.0
,096.0
,384.0
,512.0
)(
x
x
x
x
cc
se
se
se
se
xf
X : no. de componentes defeituosos, 
de três componentes testados.







=
=
=
=
=
;3
;2
;1
;0
..,0
,008.0
,096.0
,384.0
,512.0
)(
x
x
x
x
cc
se
se
se
se
xf
= P(X=1) = 0.384. P(apenas 1 em 3 ser defeituoso) 
= P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) P(no máximo 1 em 3 ser defeituoso) = P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) 
= 0.512 + 0.384 = 0.896. 
= P(X≥1) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) 
= 0.384 + 0.096 + 0.008
= 0.488. 
P(pelo menos 1 em 3 ser defeituoso) 
P(X≥1) = 1 - P(X<1) 
= 1 - P(X=0) 
= 1 - 0.512
= 0.488. 
ou
Exemplo: Experimento que consiste em selecionar itens de uma produção
até que apareça um item defeituoso, onde 
EEEE = { D, CD, CCD, CCCD, CCCCD, CCCCCD, CCCCCCD, ... }. 
Considere que a probabilidade de um item qualquer ser defeituoso seja p=0.2. 
e que os defeitos ou conformidades nos itens sejam independentes. 
P(D) = 0.2, Y = 1 P(Y=1) = 0.2, 
C = conforme e D = defeituoso.
P(D) = 0.2, 
P(CD) = (0.8)(0.2) = 0.16, 
P(CCD) = (0.8)(0.8)(0.2) = 0.128, 
P(CCCD) = (0.8)(0.8)(0.8)(0.2) = 0.1024, 
P(CCCCD) = (0.8)(0.8)(0.8)(0.8)(0.2) = 0.0819,
Y = 1 P(Y=1) = 0.2, 
P(Y=5) = 0.0819, 
P(Y=4) = 0.1024, 
P(Y=3) = 0.128, 
P(Y=2) = 0.16, 
Y = 5 
Y = 4 
Y = 3 
Y = 2 
Y : no. de itens selecionados até que apareça um defeituoso, 
com y = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Y : no. de itens selecionados até que apareça um defeituoso.
Probabilidade de um item qualquer ser defeituoso é p=0.2. 
Função de massa de probabilidade de Y: 
Y : no. de itens selecionados até que 
apareça um defeituoso
= P(Y=2) = 0.16. P(selecionar dois itens) 
= P(Y≤2) = P(Y=1) + P(Y=2) P(selecionar no máximo dois itens) = P(Y≤2) = P(Y=1) + P(Y=2) 
= 0.2 + 0.16 = 0.36. 
= P(Y≥2) = P(Y=2) + P(Y=3) + ...
= 0.16 + 0.128 + ...
= ? 
P(pelo menos dois itens) 
P(Y≥2) = 1 - P(Y<2) 
= 1 - P(Y=1) 
= 1 - 0.2 
= 0.8. 
ou
Função de Distribuição Acumulada de uma V.A. Discreta
X : no. de componentes defeituosos em três testados, com p=0.2.



=
=
;1
;0
,384.0
,512.0
x
x
se
se
Exemplo:
;
;
10
0
,
,
512.0
0
<≤
<


x
x
se
se






=
=
=
=
;3
;2
;1
..
,0
,008.0
,096.0
,384.0
)(
x
x
x
cc
se
se
se
xf
.
;
;
;
3
32
21
10
,
,
,
,
1
992.0
896.0
512.0
)(
≥
<≤
<≤
<≤




=
x
x
x
x
se
se
se
se
xF
Função de Probabilidade de uma V. A. Contínua
Note que P(X = a ) = 0 para todo a ∈ R.
Logo, P( a< X < b ) = P( a ≤ X < b ) = P( a< X ≤ b ) = P( a ≤ X ≤ b ). 
Exemplo: O tempo até a falha, em horas, de um componente eletrônico tem f.d.p.
Qual é a probabilidade do componente 
durar mais que 5000 horas ? 
P( X > 5000 ) = ? 
X: tempo até a falha (horas) 
Suponha que a empresa tenha que trocar, sem custo para o comprador, 
o componente falhar dentro do prazo de garantia de digamos, δ horas. 
Se a empresa pode arcar com, no máximo, 5% de trocas, quanto deve ser δδδδ ? 
Quanto deve ser δδδδ tal que P( X < δδδδ ) = 0,05 ? 
Função de Distribuição Acumulada de uma V.A. Contínua
Exemplo: O tempo até a falha, em horas, de um componente eletrônico tem f.d.p.




<
≥−=
=





−
∞−





−
∫
.0,0
,0,1)(
2000
1
2000
1
2000
1
x
xede
xF
x
t
tx
Função de Densidade de Probabilidade: Função de Distribuição Acumulada: 
Qual é a probabilidade do componente durar mais que 5000 horas ? 
Média (Valor Esperado) de uma Variável Aleatória
Exemplo:
Exemplo: O tempo até a falha, em horas, de um componente eletrônico tem f.d.p.
∫∫
∞ 





−
∞
=+=+= .2000200002000
1
1)0()( x
x
x dexdxXE ∫∫  =+=+=
00
.2000200002000
2000
)0()( xx dexdxXE
O tempo médio até a falha deste componente eletrônico é de 2000 horas. 
Variância de uma Variável Aleatória
Exemplo:
Exemplo: O tempo até a falha, em horas, de um componente eletrônico tem f.d.p.
.2000)(=XE
∫
∞





−
==
22000
1
122)( xdexXE
O desvio-padrão do tempo até a falha deste componente eletrônico é de 2000 horas. 
∫
∞−





−
== .)2000(2 22000
2000
122)( xxdexXE
[ ] ,)2000()2000()2000(2)()()( 22222 =−=−= XEXEXVar
.2000)()( == XVarXDP
Sejam X uma v.a. com média µ e variância a σ2, 
e a e b constantes. 
Então:
E(aX +b) = aE(x) + b = aµ + b, 
Var(aX + b) = a2Var(x) = a2σ2. 
Exemplo:
Y = (1.65-1.20)X + (-1.20+ 0.90)(5-X)
Y = 0.75X - 1.50