Problema an oil design

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Descrevendo o artigo: “ An oil pipeline design problem “
Problema: 
Fazer o design ótimo de uma rede de tubulações de petróleo para o campo de exploração South Gabon. Esse problema envolve várias restrições e vários encargos.
Resumo
A produção de petróleo no Gabão está se expandindo. Um grande número de plataformas já estão construídas e estão operando, extensivas operações estão sendo feitas e foram encontradas reservas em vários lugares, para serem exploradas em circunstâncias favoráveis. Além disso, existem outras possíveis reservas.
A infra-estrutura existente obriga que o petróleo seja trazido para o porto de Cap Lopez de navio. Por essa solução ser muito cara a Direção Geral de Hidrocarbonetos do Gabão, encarregada de administrar a produção de petróleo, decidiu apresentar uma proposta para a construção de uma tubulação de petróleo pela costa, com conexões para as plataformas em alto mar e para os poços de petróleo em terra. O objetivo do sistema de tubulação seria para diminuir significativamente o custo de transporte de petróleo para o porto de Gamba (que seria usado para exportar o petróleo da região, no lugar de Cap Lopez), e permitir a expansão da produção e o aumento da lucratividade.
Um cenário será apresentado com uma simulação de produção e dados de custos. A rede da figura 1 retrata a localização das plataformas, poços, e possíveis conexões intermediárias no problema atual.
Modelo
O fluxo do sistema de tubulações de petróleo é modelado pela rede (N, A). Sendo que:
N (nós) corresponde aos poços (das plataformas e dos poços em terra), à potenciais pontos de conexão entre os segmentos de tubulações e ao porto. O porto terá índice n.
A quantidade de petróleo produzida durante o período i é denotado por pi.
Esta quantidade produzida nós daremos os valores. Do mesmo modo assumimos que não há produção (pi=0) nos portos e nos pontos de conexão.
A corresponde aos potenciais layouts dos segmentos de tubulações entre plataformas, poços em terra, pontos de conexão e o porto.
Os A ( arcos ) são orientados em uma direção, mas em alguns o fluxo pode ser enviado tanto de i para j, como de j para i. Mas apenas uma direção pode ser escolhida na solução ótima. Junto com as restrições físicas, as capacidades das tubulações só são fixadas quando os diâmetros são fixados.
Condições para conservação do fluxo: i= 1,2,...,n
Precursores P(i)={ j N \{n} | (j,i) A}
Sucessores S(i)={ j N | (j,i) A}
As capacidades são denotadas por: , para k= 1,2,..., 
O fato de que potenciais pontos de conexão não precisam ser usados é modelado pela capacidade especial =0: nenhum fluxo passa pela tubulação. E o custo é =0.
Custos associados a cada A e a cada são denotados por: . Isso corresponde a todos os gastos com as tubulações e bombas (para direcionar o fluxo). O custo das tubulações está em economia de escala.
Para um design ótimo das tubulações, elas tem que estar em formato de árvore, com o porto sendo sua raiz.
O fluxo em A (i,j) será denotado por Fi,j≥0, para todo (i,j) A
Vamos considerar = 1 se o tubo tem capacidade k está entre os nós i e j, e = 0 caso contrário.
O modelo matemático do problema é:
Minimizar
		(1)
A função objetivo é a soma dos custos de todas as tubulações
		(2) (característica única do problema)
Esta restrição expressa que este único tubo tem fluxo.
 (3)
Expressa a conservação do fluxo: o fluxo total que entra em Ni + fluxo da produção = fluxo saindo
Fij ≤ (4)
Expressa a limitação do fluxo devido à capacidade do tubo.
Fij (5)
Expressa que o fluxo é não-negativo.
 {0,1} 
Expressa que os tubos são inteiros ou não existem.
Resumindo o caso de expansão ótima:
Este modelo (1) – (6) poder ser facilmente adaptado ao problema de expansão ótima de uma rede de tubulações já existentes. Assumindo que há uma estrutura em forma de árvore. A rede espandida deve usar todos os tubos já existentes.
Vamos considerar a variável =1, se a capacidade existente no tubo entre i e j é suficiente na rede estendida. E =0, caso contrário.
As restrições (2) e (4) que correspondem a N e A de uma rede existente devem ser substítuidos por:
 + = 1 \{n} j S(i) (2’)
Fij ≤ (4’)
As restrições (2`) e (4’) expressam que:
 (i) se tem um arc (A) entre i e j na rede existente, terá um tubo entre os nós (N) da rede expandida.
	(ii) um tubo adicional deve ser construído em paralelo com os já existentes.
	A restrição (4’) expressa que a capacidade do tubo entre os nós i e j é igual ao existente, , + a possibilidade de se construir um tubo em paralelo.
Considerando a rede já existente: 
	Vamos criar um cenário em que acharemos uma solução viável e outra inviável.
	CAPACIDADE NO TUBO
	CUSTO TOTAL NO ARCO: Ekij
	0
	0
	5
	3
	10
	9
	15
	13
	20
	15
*Os custos crescem com o diametro com uma taxa decrescente.
Solução viável:
	ARCO
	FLUXO
	CAPACIDADE NO TUBO
	CUSTO TOTAL NO ARCO: Ekij
	A
	13
	15
	13
	B
	8
	10
	9
	C
	4
	5
	3
	D
	6
	10
	9
	E
	10
	10
	9
	F
	20
	20
	15
	G
	9
	10
	9
	H
	19
	20
	15
	NÓ
	PRODUÇÃO
	I
	13
	II
	8
	III
	2
	IV
	4
	V
	6
	VI
	9
	VII
	10
A solução é viável, pois obedece todas as restrições.
Solução inviável:
	ARCO
	FLUXO
	CAPACIDADE NO TUBO
	CUSTO TOTAL NO ARCO: Ekij
	A
	13
	15
	13
	B
	8
	10
	9
	C
	4
	5
	3
	D
	6
	10
	9
	E
	10
	10
	9
	F
	30
	20
	15
	G
	9
	10
	9
	H
	19
	20
	15
	NÓ
	PRODUÇÃO
	I
	13
	II
	8
	III
	12
	IV
	4
	V
	6
	VI
	9
	VII
	10
A solução é inviável pois o fluxo no arco F é maior do que a capacidade do tubo. Violando a restrição (4).
Fij ≤ (4)
Davi Campos Drummond, 2008018339
Rômulo Pedrosa,