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Bacharelado em Ciência da Computação \u2013 Métodos Numéricos Computacionais II \u2013 2009 
Profa. Andréa Carla Gonçalves Vianna 
Estabelece-se então o Método de Euler 
 
1n...,,1,0j),y,x(fhyy jjj1j \u2212=+==+ 
 
 
 
 
Logo, o valor da função no passo j+1 é dado em função do valor da função no ponto j 
e do valor de f no ponto (xj, yj). 
 
OBS: O método de Euler é um método de Sériede Taylor de ordem 1. 
 
Exemplo: Seja o P.V.I. 
 
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
\u2208=
=
[1,2] x ,1)1(y
y.x'y 3/1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Bacharelado em Ciência da Computação \u2013 Métodos Numéricos Computacionais II \u2013 2009 
Profa. Andréa Carla Gonçalves Vianna 
 
 
2) Método de Taylor 
 
É claro que pode-se em (2), tomar q > 1. Então, para um dado q tem-se: 
 
\u3a6k = )y,x(f.!q
h...)y,x(f.
2
h)y,x(f kk
)1q(
1q
kk
'
kk
\u2212
\u2212
+++ 
 
Portanto, 
 
yk+1 = yk + h. \u3a6k 
 
OBS: No caso de q=2 temos: 
 
yk+1 = yk + h \u3a6k = yk + h. ( )y,x(f.2
h)y,x(f kk
'
kk + ) 
 
Para aplicar o método não temos disponível )y,x(f kk
' e precisamos calculá-la como 
segue: 
 
)y,x(f)y,x(
y
f)y,x(
x
f)y,x(
x
y)y,x(
y
f)y,x(
x
f)y,x(f kkkkkkkkkkkkkk
'
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202=\u2202
\u2202
\u2202
\u2202+\u2202
\u2202= 
 
 
Erro de truncamento ao se utilizar os métodos de Série de Taylor 
 
]b,a[,h
)!1k(
)(yerro 1k
)1k(
\u2208+=
+
+
\u3be\u3be 
 
Em que k é a ordem da Série de Taylor. 
 
 
Limitante do erro ao se utilizar os métodos de Série de Taylor 
 
 
1kIx h
)!1k(
)x()1k(ymax
erro +\u2208+
+
\u2264 
 
Em que k é a ordem da Série de Taylor. 
 
 
3) Métodos de Runge-Kutta 
 
O algoritmo de Taylor de ordem elevada apresenta a grande dificuldade de exigir o 
cálculo, muitas vezes tedioso de f\u2019, f\u2019\u2019, ..., f(q-1), o que o torna às vezes até impraticável, 
mesmo no caso de uma única equação diferencial. Por esta razão estes algoritmos 
não tem tido boa aceitação. 
 
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Bacharelado em Ciência da Computação \u2013 Métodos Numéricos Computacionais II \u2013 2009 
Profa. Andréa Carla Gonçalves Vianna 
É possível simular o cálculo desta expansão de Taylor através de cálculos que 
envolvam somente a própria f. Este método foi introduzido por Runge e Kutta e leva 
este nome. 
 
O método de Runge-Kutta de s estágios é definido por: 
 
\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
)).ka+\u2026+.ka +.kh.(a+ y.h,c+(x f = k
\u2026
).kh.a+ y.h,c+(x f = k
 y)(x, f = k
1-s1-ss,2s21s1ss
12122
1
 (3) 
 
com .ac
ij
iji \u2211
<
= 
 
Define-se \u3a6RK(x,y,h) por: 
 
\u3a6RK(xk,yk,h) = b1.k1 + b2.k2 + ... + bs.ks 
 
 \u2234yn+1 = yn + h.\u3a6RK 
 
 
Deve-se determinar os coeficientes ci, aij, bi. 
 
 
Definição: O método definido por (3) tem ordem q se q é o maior inteiro para o qual se 
tem: 
 
y(x+h) \u2013 y(x) = h.\u3a6RK(x,y,h) + o(hq-1) 
 
Pelo algoritmo de Taylor, tem-se 
 
\u3a6(x,y,h) = \u3a6T = )y,x(f.!q
h...)y,x(f.
2
h)y,x(f )1q(
1q
' \u2212\u2212+++ 
 
Para f suficientemente diferenciável, (3) terá ordem q se as séries de Taylor para 
y(xn+h) e yn+1 coincidirem até o termo de hq inclusive, isto é, 
 
 \u3a6T(x,y,h) - \u3a6RK(x,y,h) = o(hq) 
 
 
3.1) Método de Runge-Kutta de ordem 2 
 
Considere s = 2, isto é, 2 estágios. 
 
Tem-se 
 
\uf8f3\uf8f2
\uf8f1
).kh.a+ y.h,c+(x f = k
 y)(x, f = k
12122
1 
 
Então 
 
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Bacharelado em Ciência da Computação \u2013 Métodos Numéricos Computacionais II \u2013 2009 
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 yn+1 = yn + h.(b1.k1+b2.k2) 
 
Para obter-se os coeficientes, iguala-se as expressões de \u3a6RK e \u3a6T. 
 
Desenvolvendo k2 por Série de Taylor para funções de duas variáveis, tem-se: 
 
)h(o.f.fh.a .h.fcf 
)h(o.f.kh.a .h.fc f = k
2
y21x2
2
y121x22
+++=
+++
 
 
Por outro lado, 
 
)h(o)f.ff.(
2
hf 2yxT +++=\u3a6 
 
 
Deve-se ter \u3a6T - \u3a6RK = o(h2), então, 
 
 
)h(o)a.h.b
2
h.(f.f)h.c.b
2
h.(f)bb1(f
)h(o)f.f.a.hf.h.cf.(bf.b)f.ff.(
2
h f
)h(o)f.f.a.hf.h.cf.(bk.b)f.ff.(
2
h f
2
212y22x21
2
y21x221yx
2
y21x2211yx
=\u2212+\u2212+\u2212\u2212
=++\u2212\u2212++
=++\u2212\u2212++
 
 
 
 
 
 
 
Então vem: 
 
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=\u2212
=\u2212
=\u2212\u2212
0)a.b
2
1.(h
0)c.b
2
1.(h
0bb1
212
22
21
 Î 
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4
\uf8f3
\uf8f4\uf8f4
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
=\u2212
=\u2212
=\u2212\u2212
0a.b
2
1
0c.b
2
1
0bb1
212
22
21
 
 
 
De onde vem que: 
 
2
212
21
b.2
1ac
b1b
==
\u2212=
 
 
 
As escolhas mais comuns são: 
 
a) b2 = 1 
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Profa. Andréa Carla Gonçalves Vianna 
 
2
1ac
0b
212
1
==
=
 
 
que fornece 
 
))y,x(f.
2
hy,
2
hx(f.hyy nnnnn1n +++=+ 
 
conhecido por Método de Euler Modificado. 
 
 
b) 
2
1b2 = 
 
1ac
2
1b
212
1
==
=
 
 
que fornece 
 
( )))y,x(f.hy,hx(f)y,x(f.
2
hyy nnnnnnn1n ++++=+ 
 
conhecido por Método de Heun.ou Euler Melhorado ou Aperfeiçoado 
 
OBS:Esses métodos consistem em fazer mudanças no método de Euler para assim 
conseguir um método de ordem mais elevada. 
 
 
Geometricamente Método de Heun.ou Euler Melhorado ou Aperfeiçoado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dada a aproximação (xn,yn), supomos a situação ideal em que a curva desenhada em 
azul seja a solução de y(x) da nossa equação diferencial (isso só acontece em (x0,y0). 
L0 
yn+1= yn+h y\u2019n 
yn+1 
h 
L1 
L 
L2 
xn xn+1 
yn 
 11 
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Por (xn,yn) traçmos a reta L1, cujo coeficiente angular é y\u2019n=f(xn,yn), ou seja: 
 
L1: y = yn + (x-xn) y\u2019n = yn + (x-xn) f(xn,yn). 
 
Assim dado o passo h, temos yn+1 do Método de Euler, que chamamos de yn+1. No 
ponto P(xn+1,yn+1) traçmos a reta L2 cujo coeficiente angular é f(xn+h,yn+h y\u2019n)= 
f(xn+1,yn+1) : 
 
L2: y = (yn + h y\u2019n )+ (x - ( xn+h)) f(xn+h, yn+h y\u2019n) . 
 
A reta L0 passa por P e tem inclinação a média das inclinações das retas L1 e L2, ou 
seja, sua inclinação é: 
 
2
))y,x(f.hy,hx(f)y,x(f nnnnnn +++ . 
A reta L passa por (xn,yn) e é paralela ã reta L0 
 
L : y = yn + (x-xn) 2
))]y,x(f.hy,hx(f)y,x(f[ nnnnnn +++ . 
 
O valor fornecido para yn+1 pelo método de Euler Aperfeiçoado é 
 
yn+1 = yn + 2
)xx( n1n \u2212+ [f(xn,yn)+ f(xn+h, yn+h y\u2019n)] 
 
ou seja 
( )))y,x(f.hy,hx(f)y,x(f.
2
hyy nnnnnnn1n ++++=+ . 
 
 
 
3.2 Método de Runge-Kutta de ordem 3 
 
Os métodos de Runge-Kutta de ordem mais elevada são obtidos de modo 
semelhante aos de segunda ordem. Os métodos de terceira odem por exemplo 
possuem a função \u3a6RK = b1.k1+b2.k2+b3k3 em que k1,k2 e k3 aproximam derivadas em 
vários pontos 
 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
+++= )hkakhay,hcx(fk
)kah+y h,c+(x f = k
y) (x, f = k
13123233
12122
1
 
 
Para determinarmos b1,b2,b3,c2,c3,a21,a31 e a32 expandem-se k2 e k3 em torno 
de (xn,yn) numa Série de Taylor de duas incógnitas. Expande-se, também, a solução 
teórica y(x) em torno de xn numa Série de Taylor. Os coeficientes demesma potência