MNC-Zero-de-funcoes__-_Alunos
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resolva a equação x3 \u2013 sen(x) = 0, com \u3b5 = 0.001. 
Sol.: \ufffd\u305 \u2245 0.9287 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algoritmo 
 
1 Dados f(x) , a e b, tais que f(a)f(b) < 0 e ' uma precisão. 
2 Faça \ufffd \ufffd ./01 
3 Enquanto |\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd| # 	', faça 
início 
 Se f(a)f(x) < 0, então 
 b = x 
 senão 
 a = x 
 \ufffd \ufffd ./01 
fim 
4 Escreva (\ufffd\u305 \ufffd ./01 \ufffd 
 
 
 
 
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Métodos Numéricos Computacionais \u2013 2012 
Profa. Adriana Cherri Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 
2 Método da Posição Falsa (Método das Cordas ou das Secantes) 
 
 Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a)f(b) < 0. 
O Método da Posição Falsa utiliza a mesma idéia do Método da Bissecção, mas 
calcula a média aritmética ponderada entre a e b com pesos f ( a ) e f ( b ) , 
respectivamente. Desta forma, temos: 
 
a f ( b ) b f ( a )
x f ( b ) f ( a )
+
=
+
 
 
Como f(a) e f(b) tem sinais opostos, tem-se: 
 
a f ( b ) b f ( a )
x f ( b ) f ( a )
\u2212
=
\u2212
 
Graficamente, o valor de x é o ponto de intersecção entre o eixo Ox e a reta r(x) 
que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As iterações são realizadas da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
y 
x 
 
 
 
 
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Métodos Numéricos Computacionais \u2013 2012 
Profa. Adriana Cherri Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 
Convergência: 
 
 Se f(x) for contínua no intervalo [a, b] com f(a)f(b) < 0, então o Método da 
Posição Falsa converge. 
 
Critério de parada: 
 
 O método iterativo da posição falsa para quando: 
 
k 1
k 1
x 
 
 x
kx
,\u3b5+
+
\u2212
<
 
 
sendo \u3b5 um valor pré-estabelecido para a precisão. 
 
Observações: 
\u2022 Se uma função é côncava ou convexa em [a, b], então no Método da Posição 
Falsa uma das extremidades permanece fixa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a0 b0 
\ufffd\u305 
y 
x 
\ufffd\u305 
a0 
y 
x b0 
 
 
 
 
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Métodos Numéricos Computacionais \u2013 2012 
Profa. Adriana Cherri Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 
\u2022 Geralmente, o Método da Posição Falsa obtém como raiz aproximada um ponto \ufffd\u305, 
no qual |\ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd| < \u3b5, sem que o intervalo [a,b] seja \u201cpequeno\u201d o suficiente. Portanto, 
se for exigido que os dois critérios de parada (isto é, |\ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd|	 < \u3b5 e |\ufffd \ufffd \ufffd| ' ) 
sejam satisfeitos simultaneamente, o método pode não convergir. 
 
Exemplo: 
 Utilizando o Método da Posição Falsa, determine a primeira raiz positiva da 
função f(x) = x3 \u2013 9x + 3 com \u3b5 = 5 10\u20134 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
 
Utilizando o Método da Posição Falsa, resolva a equação x3 \u2013 sen(x) = 0, com \u3b5 = 0.001. 
Sol.: \ufffd\u305 \u2245 0.9287 
 
 
 
 
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Métodos Numéricos Computacionais \u2013 2012 
Profa. Adriana Cherri Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 
3 Método do Ponto Fixo 
(Método Iterativo Linear \u2013 Método das Aproximações Sucessivas) 
 
 Seja f(x) uma função contínua em [a,b], intervalo que contém uma raiz da 
equação f(x) = 0. 
 O Método do Ponto Fixo (MPF) consiste em transformar a equação f(x) = 0 em 
uma equação equivalente \ufffd \ufffd 3\ufffd\ufffd\ufffd e a partir de uma aproximação inicial x0, gerar uma 
sequência {xk} de aproximações para \ufffd\u305 pela relação \ufffd\ufffd/4 \ufffd 3\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, &quot; \ufffd 0,1,2\u2026, 
(\ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 0 se, e somente se, 3\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd \ufffd\u305). Assim, transformamos o problema de encontrar 
um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de 3\ufffd\ufffd\ufffd. Existem muitas 
maneiras de transformar f(x) em \ufffd \ufffd 3\ufffd\ufffd\ufffd. 
 
Exemplo: 
Para a equação x2 \u2013 x \u2013 2 = 0, tem-se várias funções de iteração: 
a. x = x2 \u2013 2 
 
b. x = 1 + 17 
 
c. x = 2 + x 
d. 
1
2
\u2212
=
x
x 
OBS: A forma geral das funções de iteração \u3d5(x) é \u3d5(x) = x + A(x) f(x), com a condição 
de que em \ufffd\u305, ponto fixo de \u3d5(x), se tenha A(\ufffd\u305) \u2260 0. Desta forma, vamos verificar que:x 
\ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 0 se, e somente, se 3\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd \ufffd\u305. 
 
Seja \ufffd\u305 tal que \ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 0. Daí 3\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd \ufffd\u305 8 	9\ufffd\ufffd\u305\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd	 e portanto 3\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd \ufffd\u305. 
Se	3\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd \ufffd\u305 , então \ufffd\u305 8 	9\ufffd\ufffd\u305\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd \ufffd\u305	. Logo 9\ufffd\ufffd\u305\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 0 e temos \ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 0, 
pois A(\ufffd\u305) \u2260 0. 
 
Exemplo: \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd 7
:;7;1
< , m \u22600, (A(x) = 
4
<). 
 
 
 
Graficamente, uma raiz da equação \ufffd \ufffd 3\ufffd\ufffd\ufffd é a abcissa do ponto de 
intersecção da reta y = x e da curva y=f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
		&quot; \u2192 \u221e	>	?\ufffd\ufffd@ \u2192 \ufffd\u305 &quot; \u2192 \u221e	>	?\ufffd\ufffd@	AãC	D>AE>	\ufffd	\ufffd\u305 
x 
y 
x 
y 
 
 
 
 
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Métodos Numéricos Computacionais \u2013 2012 
Profa. Adriana Cherri Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
&quot; \u2192 \u221e	>	?\ufffd\ufffd@ \u2192 \ufffd\u305 
 
Portanto, para certas 3\ufffd\ufffd\ufffd, o processo pode gerar uma sequência que diverge de \ufffd\u305. 
 
Convergência 
Dada uma função f(x) = 0, existe mais que uma função 3\ufffd\ufffd\ufffd tal que f(x) = 0 \u21d4 
\ufffd \ufffd 	3\ufffd\ufffd\ufffd, entretanto, não é para qualquer escolha de 3\ufffd\ufffd\ufffd que o processo recursivo 
gera uma sequência convergente para \ufffd\u305. 
 
Exemplo: 
 Seja x2 + x \u2013 6 = 0, cujas raízes são \ufffd\u3054 \ufffd	\ufffd3 e \ufffd\u3051 \ufffd 2. Considere a raiz \ufffd\u3051 \ufffd 2 
e 34\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd 	6 \ufffd	\ufffd1. Tomando x0 = 1.5 temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar que {xk} não está convergindo para \ufffd\u3051 \ufffd 2. 
Porém, se \ufffd\u3051 \ufffd 2 e 31\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd 	\u221a6 \ufffd \ufffd, começando com x0 = 1.5, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e podemos observar que {xk} está convergindo para \ufffd\u3051 \ufffd 2. 
x 
y 
 
 
 
 
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Métodos Numéricos Computacionais \u2013 2012 
Profa. Adriana Cherri Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 
Teorema: (Condições necessárias e suficientes para convergência do MPF) 
Seja \ufffd\u305 uma raiz da equação f(x) = 0, isolada num intervalo I centrado em \ufffd\u305. Seja 
3\ufffd\ufffd\ufffd uma função de iteração para a equação f(x) = 0. Se 
 
i. 3\ufffd\ufffd\ufffd e 3I\ufffd\ufffd\ufffd são contínuas em I; 
ii. |	3\u2032\ufffd\ufffd\ufffd| K M 1, \u2200\ufffd \u2208 I; 
iii. x0 \u2208 I; 
 
então, a sequência {xk} gerada pelo processo iterativo \ufffd\ufffd/4 \ufffd 3\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd, &quot; \ufffd 0,1,2, \u2026 
converge para \ufffd\u305. 
 
Exemplo: 
Seja x2 + x \u2013 6 = 0, cujas raízes são \ufffd\u3054 \ufffd	\ufffd3 e \ufffd\u3051 \ufffd 2. Analisar 34\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd 	6 \ufffd	\ufffd1 e 
31\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd 	\u221a6 \ufffd \ufffd com x0 = 1.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Critério de parada: 
 
 O método iterativo do ponto fixo pára quando: 
 
\u3b5 
x 
 x
1k
1k <
\u2212
+
+ kx
 
sendo \u3b5 um valor pré-estabelecido para a precisão. 
 
 
 
 
 
 
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Métodos Numéricos Computacionais \u2013 2012 
Profa. Adriana Cherri Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 
Exemplo: 
Utilizando o MIL, determine a raiz da equação x2 \u2013 sen (x) = 0, com \u3b5 = 0.004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
Utilizando o MIL, determine a raiz da equação f(x)=2x-ln(x) \u2013 4 com \u3b5 = 10-3. 
 Sol.: \ufffd\u305 \u2245 2.4478835 
 
 
Algoritmo 
 
1 Supondo as hipóteses do teorema válidas, x0 uma solução inicial, 3\ufffd\ufffd\ufffd a função de 
iteração e ' uma precisão pré-estabelecida 
2 Erro = 1 
3 Enquanto Erro > ' faça 
início 
 x1 = 3\ufffd\ufffd&\ufffd 
 Erro = N7O;7P7O N 
 x0 =x1 
fim 
4 Escreva (A solução é x0) 
 
 
 
 
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Métodos Numéricos Computacionais \u2013 2012 
Profa. Adriana Cherri Profa. Andréa Vianna Prof. Antonio Balbo Profa Edméa Baptista 
4 Método de Newton (Método das Tangentes) 
 
O Método de Newton tenta garantir a aceleração do Método do Ponto Fixo 
escolhendo uma função de iteração 3\ufffd\ufffd\ufffd, tal que 3I\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd 	0. 
Desta forma, dada a equação f(x) = 0 e, partindo da forma geral 3\ufffd\ufffd\ufffd, queremos 
obter a função A(x) tal que 3I\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 	0. 
Logo, dada a função de iteração 3\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd \ufffd 8 A\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd temos que: 
 
3´\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd 	1 8 9´\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd 8 9\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd´\ufffd\ufffd\ufffd 
																						\ufffd \ufffd \ufffd	S 		\u2192 			3´\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 	1 8 9´\ufffd\ufffd\u305\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd 8 9\ufffd\ufffd\u305\ufffd\ufffd´\ufffd\ufffd\u305\ufffd 
 
Como \ufffd\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 0, temos; 
 
3´\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 	1 8 9\ufffd\ufffd\u305\ufffd\ufffd´\ufffd\ufffd\u305\ufffd 
 
Assim 3´\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 0 se, e somente se, 1 8 9\ufffd\ufffd\u305\ufffd\ufffd´\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 0 e daí 9\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd \ufffd 4T´\ufffd7\ufffd 
 
Então, dada f(x), a função de iteração 3\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd T\ufffd7\ufffdT´\ufffd7\ufffd será tal que 3I\ufffd\ufffd\u305\ufffd \ufffd 	0, 
pois como podemos verificar: 
 
3´\ufffd\ufffd\ufffd \ufffd 	1 \ufffd \ufffdT´\ufffd7\ufffd\ufffd
tadeu
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Thaís
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