Slide07-3

Prévia do material em texto

Covariância e Correlação 
entre 
Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias 
Covariância entre Duas Variáveis Aleatórias
Assim,
Onde:
Fórmula mais fácil de calcular:
Exemplo 1: Uma moeda com P(cara)=0.4 é jogada duas vezes. 
Defina: X = no. de caras na primeira jogada, x = 0, 1 ;
Y = no. de caras nas duas jogadas, y = 0, 1, 2. 
f(x,y) Y g(x)
0 1 2
x
0 0.36 0.24 0 0.60
1 0 0.24 0.16 0.40
h(y) 0.36 0.48 0.16h(y) 0.36 0.48 0.16
.24.0)80.0)(40.0(56.0)(),( =−=−= yxXYEYXCov µµ
,40.0)40.0(1)60.0(0)( =+== XExµ
,80.0)16.0(2)48.0(1)36.0(0)( =++== YEyµ
,56.0)16.0)(2)(1()24.0)(1)(1()0)(0)(1(
)0)(2)(0()24.0)(1)(0()36.0)(0)(0()(
=+++
++=
 
XYE
Exemplo 2:
34 +x 1734
1
 +x
.10,5
34)( ≤≤+= x xxg
.10,5
26)( ≤≤+= y yyh
30
17
5
34
.)(
1
0
=




 +
= ∫ dx
x
xXE
5
3
5
26)(
1
0
=




 +
= ∫ dy
yyYE
3
1)32(5
2)(
1
0
1
0
=



+= ∫ ∫ dxdyyxxyXYE
150
1
50
17
3
1
5
3
30
17
3
1)()()(),( −=−=











−=−= YEXEXYEYXCov
Correlação entre Duas Variáveis Aleatórias
Exemplo 1: Uma moeda com P(cara)=0.4 é jogada duas vezes. 
Defina: X = no. de caras na primeira jogada, x = 0, 1 ;
Y = no. de caras nas duas jogadas, y = 0, 1, 2. 
f(x,y) Y g(x)
0 1 2
x
0 0.36 0.24 0 0.60
1 0 0.24 0.16 0.40
h(y) 0.36 0.48 0.16h(y) 0.36 0.48 0.16
.24.0),( =YXCov
.71.0)48.0)(24.0(
24.0
)()(
),(),( ≈==
yVarxVar
YXCovYXCor
24.0)4.0()4.01()6.0()4.00()( 22 =−+−=XVar
48.0)16.0()8.02()48.0()8.01()36.0()8.00()( 222 =−+−+−=YVar
Exemplo 2:
30
17)( =XE
5
3)( =YE 150
1),( −=YXCov900
71)( =XVar
150
11)( =YVar
5 150
.088.0)15011)(90071(
1501
)()(
),(),( −≈−==
yVarxVar
YXCovYXCor
Soma de Duas Variáveis Aleatórias
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias tais que
xXE µ=)( yYE µ=)(
2)( xXVar σ=
2)( yYVar σ=
xyYXCov σ=),(
e sejam a e b duas constantes.
Então, para a variável aleatória aX+bY tem-se que
yx babYaXE µµ +=+ )(
e sejam a e b duas constantes.
xyyx abbabYaXVar σσσ ++=+
2222)(
Exemplo 2:
30
17)( =XE
5
3)( =YE 150
1),( −=YXCov900
71)( =XVar
150
11)( =YVar
5 150
A variável aleatória Z=X+Y tem
6
7
5
3
30
17)()()( =+=+= YEXEZE
.900
131
150
1
150
11
900
71)()()( =





−++=+= YVarXVarZVar