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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ PR APOSTILA DE TOPOGRAFIA NA PRÁTICA ATUALIZADA EM 2012 Adilson Luiz Borges e Arildo Dirceu Cordeiro Departamento Acadêmico de Construção Civil SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 03 1.1 Conceitos de Topografia .................................................................................................... 03 1.2 Finalidade da Topografia ..................................................................................................... 03 1.3 Importância da Topografia ................................................................................................... 03 1.4 Diferença entre Topografia e Geodésia ............................................................................... 04 1.5 Modelo Elipsoidal ................................................................................................................ 04 1.6 Modelo Geodal ..................................................................................................................... 05 1.7 Modelo Plano ........................................................................................................................ 05 1.8 Efeito da Curvatura da Terra na Distância e na Altitude ...................................................... 06 1.9 Erros em Medidas ................................................................................................................. 07 1.10 Divisões da Topografia ....................................................................................................... 07 1.11 Goniologia .......................................................................................................................... 08 1.12 Ângulos Horizontais ........................................................................................................... 09 1.13 Calculo do Azimute a partir dos Ângulos Internos ou Externos ........................................ 09 1.14 Cálculo de Rumo em função do Azimute e Azimute em função do Rumo ....................... 10 1.15 Declinação magnética ......................................................................................................... 11 1.16 Materiais e Equipamentos Topográficos ............................................................................ 11 1.17 Nomenclatura em Topografia ............................................................................................. 16 1.18 Unidades de Medidas de Áreas no Brasil .......................................................................... 16 2. MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS ................................................. 17 2.1 Decomposição em triângulos ou triangulação...................................................................... 17 2.2 Irradiação ou Coordenada Polar............................................................................................ 17 2.3 Interseções ou Coordendas Bipolares .................................................................................. 18 2.4 Ordenadas ou Coordenadas Retangulares ............................................................................ 19 2.5 Caminhamento ...................................................................................................................... 20 2.5.1 Trabalhos de Campo .......................................................................................................... 20 2.5.2 Trabalhos de Escritório ...................................................................................................... 21 2.5.2.1 Trabalhos de Cálculos .................................................................................................... 21 2.5.2.2 Representação Gráfica .................................................................................................... 21 2.5.2.2.1 Planta Topográfica ....................................................................................................... 22 3. SISTEMAS DE COORDENADAS ..................................................................................... 25 4. ALTIMETRIA ...................................................................................................................... 32 5. TERRAPLANAGEM PARA PLATAFORMA .................................................................. 37 6. LOCAÇÃO DE OBRAS ..................................................................................................... 40 REFERÊNCIAS ......................................................................................................................... 41 2 2 1. INTRODUÇÃO 1.1 Conceitos de Topografia: O significado etimológico da palavra TOPOGRAFIA, quer dizer: TOPOS = Lugar GRAFIA = Descrição Portanto, Topografia é a descrição de um lugar, ou seja: é a descrição exata e minuciosa de um lugar, (DOMINGUES,1979). 1.2 Finalidade: É a ciência que estuda instrumentos e métodos para coleta de dados, cálculo e representação gráfica de parte da superfície terrestre, sem levar em consideração a curvatura da terra causada pela sua esfericidade. Representação esta feita sobre um plano, ortogonalmente a este, denominado Plano Topográfico. Figura 1 - Superfície Topográfica – Planta Topográfica - Fonte: ( SPARTEL, 1987 ) De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução de Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por: “Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida, primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação altimétrica por intermédio de curvas de nível, com eqüidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.” 1.3 Importância da Topografia: Como todas as obras de engenharia, agronomia e arquitetura, são executadas sobre parte da superfície terrestre, a partir de estudos e projetos previamente elaborados, cabe a topografia dar a base para que estes projetos sejam executados com maior precisão e locados corretamente na área onde serão executados. A topografia auxilia projetos e obras: a - Construção Civil, como prédios, pontes, rodovias, barragens, ferrovias, etc. b - Urbanismo, como plano diretor, sistema viário, eletrificação, saneamento, loteamentos, rede telefônica, etc. c - Agricultura, como projetos de culturas, drenagens, irrigações, cadastro de culturas, etc. d - Silvicultura, como reflorestamento, reservas florestais, etc. 3 3 1.4 Diferença entre topografia e Geodésia A topografia utiliza os mesmos equipamentos e praticamente os mesmos métodos para o mapeamento da superfície terrestre. Porém, a topografia tem por finalidade mapear uma pequena porção da superfície em raio de 30km, enquanto que a geodésia tem por finalidade mapear grandes áreas da superfície terrestre, levando em consideração as deformações devido à sua esfericidade (BRANDALIZE, 2001). 1.5 Modelo Elipsoidal A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução (figura 2). O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de Geodésia no mundo. Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a(maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicionalconsiderar como parâmetros o semi-eixo maior a e o achatamento f, expresso pela equação: f = (a – b)/a (VEIGA et all, 2007). Figura 2 – Elipsóide de Revolução – Fonte: (VEIGA et all, 2007) As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim definidas (figura 3): Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul. Longitude Geodésica ( λ ): ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para Oeste (VEIGA et all, 2007). A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física. Figura 3 – Coordenadas Elipsóidicas – Fonte: (VEIGA et all, 2007) No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são: a = 6.378.137,000 m f = 1/298,257222101. Obs.: O sistema está em período de transição com SAD69 até 2014. 4 4 1.6 Modelo Geoidal O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura 4 são representados de forma esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide. Figura 4 – Superfície Física da Terra, Geóide e Elipsóide – Fonte: (VEIGA et all, 2007) O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do geóide até a superfície física) no ponto considerado. As linhas de força ou linhas verticais (em inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha de força em um ponto (em inglês “direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é chamada de vertical. A figura 5 ilustra este conceito (VEIGA et all, 2007). Figura 5 – Vertical – Fonte: (VEIGA et all, 2007) 1.7 – Modelo Plano Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 80 km(VEIGA et all, 2007). Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é necessário estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema pode ser caracterizado da seguinte forma: Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo); Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira); Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste). A figura 6 ilustra este plano(VEIGA et all, 2007). 5 5 Figura 6 – Plano em Topografia – Fonte: (VEIGA et all, 2007) 1.8 Efeito da Curvatura da Terra na Distância e na Altiude Na figura 7 tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S´ a projeção desta distância sobre o plano topográfico Figura 7 – Efeito da Curvatura para a distância – Fonte: (VEIGA ET ALL,2007) R = raio aproximado da Terra (6370 km) A diferença entre S e S´é dado por ΔS = S´ – S, onde: S’ = R tgθe S = Rθque desenvolvendo: Ταβαλα 1 Para a altimetria, figura 8: 6 6 Figura 8 – Efeito da Curvatura na Altimetria – Fonte: (VEIGA et all, 2007) Onde: Tabela 2 – Efeito da Curvatura na Altimetria – Fonte: (VEIGA et all, 2007) 1.9 Erros em Medidas Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como direções, distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. As fontes de erro poderão ser: • Condições ambientais: causados pelas variações das condições ambientais, como vento, temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena com a variação da temperatura. • Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de equipamento ou ajuste do mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida adotando técnicas de verificação/retificação, calibração e classificação, além de técnicas particulares de observação. • Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma medição, cansaço, etc. Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão ser classificados em: • Erros grosseiros • Erros sistemáticos • Erros aleatórios 1.10 Divisões da Topografia: a) - Topometria: É o conjunto de métodos empregados para a coleta de dados, dados estes para o cálculo e representação gráfica de parte da superfície terrestre. Divide-se em: a.1 - Planimetria - É a representação em projeção horizontal dos detalhes naturais e artificiais, ( planta baixa ). a.2 - Altimetria - É a determinação das distâncias verticais de um certo número de pontos sobre a superfície a ser levantada, tendo como referência o nível médio dos mares ou o próprio plano topográfico. b - Topologia: Tem por objetivo o estudo das formas exteriores da superfície terrestre e das leis a que rege o seu modelado. Sua aplicação principal é na representação da altimetria pelas curvas de nível, que são as intersecções obtidas por planos eqüidistantes paralelos ao plano de representação. 7 7 Tem por finalidade a determinação das distâncias horizontais e verticais, de maneira indireta, através da resolução de triângulos retângulos situados no plano vertical. Sua principal utilização é em terrenos acidentados onde a determinação direta torna-se inviável. d - Fotogrametria: São levantamentos fototopográficos, efetuados em áreas extensas, utilizando-se de equipamentos chamados de fototeodolitos ou fotogrâmetros. Divide-se em: d.1 - Aerofotogrametria. d.2 - Fotogrametria terrestre. e - Topografia Expedita: Tem por finalidade dar uma noção de situação da área a ser levantada. f - Topografia Regular: Divide-se em: f.1 - Topografia regular de alta precisão, onde podem ocorrer erros de: angular de 1/10’√n, onde n é o número de estações da poligonal levantada; linear de 1: 10000. f.2 - Topografia regular de média precisão, onde podem ocorrer erros de: Tipo de terreno Erro Angular Erro Linear Plano 1’√n 1 : 2000 * Ondulado 2’√n 1 : 1000 Acidentado 3’√n 1 : 500 (* mais usual para qualquer tipo de terreno) g - GPS (Global Positioning System) ou Sistema de Posicionamento Global: Consiste em uma rede de 24 satélites em 6 planos de órbita sobre a terra com uma altitude aproximada de 20.200 km. Por meio de receptor GPS na superfície terrestre pode-se determinar uma posição geográfica (latitude, longitude e altitude) exata sobre a mesma. 1.11 Goniologia: É a parte da matemática que estuda os ângulos, divide-se em: a - Goniometria: estuda os métodos e aparelhos utilizados na determinação numérica dos ângulos. b - Goniografia: estudas os métodos e aparelhos utilizados na representação gráfica dos ângulos. Todo aparelho destinado medir ângulos chama-se goniômetro, e a parte para avaliação do ângulo propriamente dita, chama-se limbo. No goniômetro encontramos dois limbos, um horizontal e outro vertical. 1.12 Ângulos Horizontais: a - Ângulo Externo (Ae): É o ângulo contado a partir do alinhamento anterior para o posterior, externamente a poligonal. ∑ Ae = (n+2).180° b - Ângulo Interno(Ai): É o ângulo contado a partir do alinhamento anterior para o posterior, internamente a poligonal. ∑ Ai = (n-2).180° c - Deflexão: É o ângulo contado a partir do prolongamento do alinhamento anterior, para o posterior, podendo ser deflexão a direita (Dd) ou esquerda (De). ∑ Dd - ∑ De = 360° 8 8 d - Azimute (Az): É o ângulo orientado, contado da direção norte para o alinhamento posterior, variando de 0° a 360° no sentido horário. e - Rumo (R): é o ângulo orientado contado a partir da direção norte ou sul em direção ao alinhamento, variando de 0° a 90°, recebendo as letras correspondentes ao quadrante que pertence. Primeiro Quadrante NE Segundo Quadrante SE Terceiro Quadrante SO Quarto Quadrante NO Figura 9 – Poligonal com ângulos externos, internos e de deflexão 1.13 Calculo do Azimute a partir dos Ângulos Internos ou Externos Em topografia o círculo trigonométrico conhecido da matemática é rebatido de forma que os quatro quadrantes ficam no sentido horário, conforme indicado ma figura 10, onde é mostrado os azimutes Az1 a Az4 nos quadrantes 1º ao 4º respectivamente. Os azimutes são calculados a partir do azimute de um alinhamento inicial, usando o ângulo à direita formado entre este alinhamento e o alinhamento seguinte de uma sequência de lados de uma poligonal aberta ou fechada. As operações de cálculos são feitas por três regras básicas: 1ª. – Soma-se ao azimute do alinhamento inicial o ângulo formado entre este e o alinhamento seguinte; 2º - Deve ser verificado se o resultado da soma passou ou não de 360°. Se passou, tira-se 360°. Se não passou, deve ser mantido o resultado; 3º - Deve ser verificado se o resultado do item anterior é maior ou menos do que 180°. Se for maior, tira-se 180° e se for menor, soma-se 180° e o resultado é o azimute do alinhamento seguinte e assim sucessivamente, figura 10. 9 9 Figura 10 – Azimutes nos Quatro Quadrantes – Fonte: (VEIGA et all, 2007) 1.13 Calculo do Rumo em função do Azimute, e do Azimute em função do Rumo: Figura 11 – Quadrantes de Rumos Azimutes Quadrante Az p/ Rumo Rumo p/ Az 01 R = Az Az = R 02 R = 180° - Az Az = 180° - R 03 R = Az - 180° Az = R + 180° 04 R = 360° - Az Az = 360° - R Calcular os Rumos em função dos Azimutes dados: 1 - 45° 16’ 35” 2 - 122° 59’ 18” 3 - 259° 44’ 55” 4 - 348° 02’ 07” 5 - 90° 01’ 09” 10 10 Calcular os Azimutes em função dos Rumos dados: 1 - 88° 43’ 25” NE 2 - 1° 27’ 12” SE 3 - 16° 00’ 52” SO 4 - 89° 59’ 47” NO 5 - 26° 32’ 16” SO 1.15 Declinação Magnética: Meridiano Geográfico: O Meridiano Geográfico de um lugar corresponde ao plano que contém este ponto e o eixo de rotação da terra. Meridiano Magnético: O Meridiano Magnético de um lugar, corresponde ao plano que contém o eixo longitudinal de uma agulha imantada em equilíbrio, sobre o ponto, e a vertical do lugar. Em geral, o MM e o MG não coincidem, formando entre eles uma diferença angular chamada de Declinação magnética. A diferença pode aumentar até um certo limite para Oeste, e retroceder em seguida para Leste, também até certo limite. Com isto podemos dizer que determinado Azimute de um alinhamento em determinada localidade e data, varia com o tempo. Por isso quando temos um Azimute lido em uma época remota, e há a necessidade de restabelecer o alinhamento definido por este Azimute, precisamos reconstituí-lo para os dias de hoje. Esse trabalho chama-se Aviventação de Azimutes ou Rumos. A Declinação Magnética não é igual para todos os pontos da superfície terrestre, nem mesmo é constante em um mesmo lugar, sofrendo variações diárias, mensais, anuais e seculares. As cartas que ligam os pontos de mesma Declinação Magnética são chamadas de Cartas Isogônicas, e as que ligam os pontos de mesma variação anual de declinação são chamadas de Cartas Isopóricas. Estas cartas são fornecidas pelos anuários dos observatórios astronômicos. Para obter o valor da declinação e da variação anual, necessita-se conhecer as coordenados do ponto em questão. Existem outros meios de determinarmos a declinação de certa região da superfície terrestre, tais como o do processo do estilete vertical e o processo das alturas correspondente com observação ao sol através do teodolito. 1.16 Materiais e Equipamentos Topográficos: Trenas: São instrumentos utilizados para medição direta de distâncias. São graduadas em múltiplos e submúltiplos do metro, com comprimento variando de 20m a 50m. São fabricadas em fiberglass (fibra de vidro) ou aço, com carretéis fechados ou abertos, figura 12. Figura 12: Modelos de trenas Piquetes: São estacas de madeira com secção transversal quadrada de 4cm X 4cm, com comprimento de 20cm a 25cm , apontados em uma das extremidades. Tem por finalidade a materialização de um ponto topográfico, sendo cravado no solo, ficando apenas 1cm ou 2cm para fora, sem possíveis movimentos laterais. 11 11 Figura 13: Piquete Estaca Testemunha: São estacas de madeira com secção transversal de 4cm X 4cm e com 50cm de comprimento, com um chanfro na parte superior, onde é colocado o nome ou número do piquete a que esta estaca se refere. Tem por finalidade, possibilitar a identificação e localização do piquete, ficando a mesma cravada a uma distância de 50cm do referido piquete, com o chanfro voltado para o mesmo. Figura 14: Modelo de estaca Balizas: São hastes metálicas ou de madeira de secção transversal circular ou oitavada, respectivamente, com 2m de comprimento, pintadas de branco e vermelho alternadamente em faixas de 50cm. Servem para materializar a vertical nos pontos topográficos (piquetes). Figura 15: Balizas Bússolas: Dentro de uma grande variedade de tipos, são constituídas basicamente de uma agulha magnética e um círculo graduado em limbo fixo ou móvel. Divide-se em tipo americano (Rumos), e tipo francês (Azimutes). Tem por finalidade a orientação do alinhamento em relação ao Norte Magnético, figura 16. Figura 16: Bússola Estádias ou Régua Graduada (mira): São construídas em forma de paralelepípedos em alumínio ou madeira, com 4m de comprimento, graduadas em metros e centímetros, nos tipos de encaixar e telescópica. Servem para as leituras estadimétricas na determinação dos desníveis e distâncias indiretas. 12 12 Figura 17 - Mira ou Régua Graduada – Fonte: (Topo II Cefet/SC, 2008) Figura 18 – Leitura até o milimetro – Fonte: (Topo II Cefet/SC, 2008) Níveis: São aparelhos óticos destinados a determinação de desníveis entre pontos os topográficos, de amarrações, etc. Dividem-se em: 1 - Níveis baseados na diferença de densidade entre dois líquidos, ou entre um líquido e um gás. 2 - Níveis automáticos, baseados no equilíbrio dos corpos suspensos. 3 - Níveis baseados na horizontalidade de uma superfície líquida em repouso. Nível Digital Nível Ótico Figura 19: Níveis Níveis de cantoneira: São níveis de bolha esféricos destinados a proporcionar a verticalização das estádias e/ou balizas. 13 13 Figura 20: Nível de Cantoneira Teodolito: São goniômetros apropriados para a determinação numérica dos ângulos verticais e horizontais, bem como a determinação direta de distâncias (distanciometro eletrônico) e indireta (taqueometria); estas horizontais e verticais (distâncias reduzidas e desníveis). Divide-se em: 1 - Teodolito de leitura direta de ângulos. 2 - Teodolito prismático. 3 - Teodolito auto-redutor. 4 - Teodolito eletrônico. 5 - Estação Total (teodolito com distaciômetro eletrônico integrado) Estação Total Prismas Teodolito Prismático Teodolito de Leitura DiretaFigura 21: Estação Total e Teodolitos Constituição dos teodolitos: 1 - Partes Principais: 1.1 - Círculos graduados. 1.2 - Alidade. 1.3 - Luneta. 1.4 - Eixos. 2 - Acessórios: 2.1 - Parafusos calantes ou niveladores. 2.2 - Parafusos de fixação e aproximação do movimento geral. 2.3 - Parafusos de fixação e aproximação do movimento particular. 2.4 - Nônio ou Verniers. 2.5 - Parafusos de fixação e aproximação da luneta. 2.6 - Parafusos ou anéis de focalização da objetiva e ocular. 2.7 - Parafusos retificadores dos níveis de bolha, retículos, eixo transversal e círculo vertical. 2.8 - Níveis de bolha. 2.9 - Tripé, fio de prumo e prumo ótico. 2.10 - Bússola ou declinatória. 2.11 - Display de cristal líquido. 2.12 – Memória interna de gravação. 14 14 Tripé de Madeira Tripé de Alumínio Figura 22 – Tripés GPS – Global Positioning System Figura 23: Modelos de GPS 1.17 Nomenclatura em Topografia 1 - Ponto topográfico: Ponto escolhido no terreno e materializado pelo piquete e individualizado pela tachinha, colocada na parte superior do piquete. 2 - Alinhamento topográfico: É a linha que une dois pontos topográficos materializados, medido no plano horizontal de projeção, são os lados da poligonal. 3 - Ponto de partida: É o ponto onde tem início o levantamento, também chamado de estação zero (0=PP). 4 - Estação: São os demais vértices da poligonal. 5 - Amarração de detalhes: É o relacionamento dos detalhes artificiais e naturais da região levantada, com os lados e vértices da poligonal. 6 - Plano topográfico: É o plano horizontal de projeção, no qual todos os detalhes naturais e artificiais, bem como os elementos da poligonal, são projetados, ortogonalmente a este. 7 - Planta topográfica: É a representação gráfica de parte da superfície terrestre a que se refere o levantamento. 15 15 1.18 Unidades de Medidas de Áreas no Brasil Metro quadrado = m2: unidade oficial mais usada em áreas urbanas; Hectare = há: unidade oficial mais usada em áreas rurais, podendo ser usada em qualquer tipo e tamanho de áreas e equivale a 10.000 m2. 1.18.1 Unidades de medidas regionais Existem várias unidades de medidas que se diferenciam conforme a região, sendo utilizadas comercialmente: - No Paraná e São Paulo é usado o Alqueire Paulista que equivale a 24.200 m2; - Em Minas Gerais o Alqueire equivale a 48.800 m2; - Em Santa Catarina é usado o Mogno que equivale a 2.500 m2; - Etc. 2. MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 2.1 Decomposição em triângulos ou triangulação: É utilizado em levantamento de pequenas áreas e amarrações de detalhes naturais e artificiais, sendo um método pouco preciso. Utiliza-se trena e balizas. Consiste em decompor com o auxílio de um ou mais pontos instalados no interior da poligonal (piquetes), em triângulos a área a ser levantada, medindo-se os lados de cada triângulo, figura 20. 16 16 Figura 24: Poligonal decomposta em triângulos LEI DOS COSSENOS “Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do ângulo que eles formam”. a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos A A área de cada triângulo será calculada pela seguinte fórmula: A = √ p(p - a)(p -b)(p - c) , onde p = a + b + c 2 A área da poligonal será a soma das áreas dos triângulos. A representação gráfica se faz com o auxílio do compasso e escalímetro, ficando a poligonal sem orientação. 2.2 - Irradiação ou Coordenada Polar: Aplica-se a qualquer levantamento de áreas pequenas ou amarrações de detalhes artificiais e naturais. Utiliza-se teodolito, trena e balizas. Consiste em instalar um ponto no interior da área a ser levantada, e com o teodolito calado neste ponto (zerado no Norte), determina-se Azimutes e distâncias para cada um dos vértices da área, figura 21. 17 17 Figura 25: Área levantada por irradiação x1 = x0 + d1 . sen Az1 y1 = y0 + d1 . cos Az1 x2 = x0 + d2 . sen Az2 y2 = y0 + d2 . cos Az2 . . . xN = x0 + dN . sen AzN Quando da amarração de pontos a partir de pontos de uma poligonal, temos: Az8-1 = Az7-8 + H1 - 180° x1 = x8 + d1 . sen Az8-1 y1 = y8 + d1 . cos Az8-1 Az8-2 = Az7-8 + H2 -180° x2 = x8 + d2 . sen Az8-2 y2 = y8 + d2 . cos Az8-2 Onde: Az7-8 = Azimute do vértice 07 para 08 Az8-1 = Azimute do vértice 08 para o ponto de amarração 01 x1 , y1 = coordenadas x e y do ponto 01 das amarrações... O cálculo da área será dado pela seguinte fórmula: A= Σ ((x n + xn-1) . (yn - yn-1)) 2 A representação gráfica, tanto da área, quanto das amarrações, será feita em um par de eixos cartesianos em escala apropriada. O eixo y será a direção Norte. 2.3 - Interseções ou Coordenadas Bipolares: Este método é utilizado para medições de pontos inacessíveis ou de difícil acesso. São utilizados teodolito, trena e balizas. Este método consiste em definir dois pontos no terreno com visibilidade entre si e para o ponto a medir. Instala-se o teodolito em um dos pontos, zerando-se no outro ponto, mede-se o ângulo horizontal ao ponto inacessível. Repete-se a operação instalando-se o teodolito no outro ponto. Conhecendo-se os dois 18 18 ângulos e a distância entre os pontos onde se instalou o teodolito, determina-se os demais elementos deste triângulo, figura 22. γ = 180° - α - β D = d1 = d2 . sen γ sen β sen α Figura 26: A representação gráfica se faz com o auxílio de compasso e escalímetro. 2.4 - Ordenadas ou Coordenadas Retangulares: Este método é pouco preciso por exigir um grande número de medidas diretas no terreno, por este motivo costuma-se empregá-lo em operações que não demandem grande exatidão. É um método muito utilizado para efetuar amarrações de detalhes naturais e artificiais, como rios e caminhos sinuosos. São utilizados teodolito , trena e balizas. Consiste em determinar um alinhamento (abscissa) mais ou menos paralelo ao detalhe a ser levantado, e com distâncias tomadas perpendiculares a este alinhamento (ordenadas), amarramos os detalhes, figura 23. Figura 27: Método das Ordenadas Como se pode verificar, entre as ordenadas, formam-se trapézios. Desta maneira podemos aplicar a fórmula para o cálculo da área: A = ( B + b ).h 2 Para os trapézios teremos: A1 = ( y0 + y1 ). (x1 – x0) 2 E assim sucessivamente para os demais trapézios, e ao final somamos todas as áreas : A t = A1 + A2 + ... 19 19 2.5 - Caminhamento: É o método de levantamento mais utilizado para qualquer tipo de área e relevo. Utiliza-se teodolito, trena e balizas. Consiste nas seguintes operações de campo e escritório: 2.5.1 – Trabalhos de Campo: 2.5.1.1 - Reconhecimento da área a ser levantada: Partindo-se de um ponto tomado como origem (0=PP), percorre-se a área, caminhando sobre as divisas ou o mais próximo possível delas, materializando os vértices da poligonal com piquetes, os quais deverão se intervisíveis na ordem que seguem, ou na necessidade procede-se abertura de picadas na mata, para a visibilidade entre eles. Quando da não possibilidade de coincidir o alinhamento da poligonal com a divisa do terreno, procedemos a partir dos vértices da poligonal a amarração desta divisas, figura 24. Figura 28: Poligonal Básica e Amarrações nos cantos domuro por irradiação 2.5.1.3 - Medição das distâncias horizontais: Podem ser diretas, indiretas ou eletrônicas. Na determinação direta das distâncias devemos ter o cuidado de manter sempre a trena na horizontal, evitando-se tomar medidas inclinadas e evitando-se também a catenária, figura 25. Figura 29: Medidas de Distâncias Topográficas com a trena A determinação indireta das distâncias é feita através de taqueometria e a eletrônica através de distanciômetros eletrônicos e prismas. 2.5.1.4 - Amarração de detalhes naturais e artificiais: Poderá ser feita por qualquer processo de levantamento planimétrico já descrito, sendo o mais utilizado a irradiação, figura 26. 20 20 Figura 30: Amarração de Detalhes Naturais e Artificiais 2.5.1.5 - Anotações de caderneta de campo: Na caderneta de campo deverão constar os seguintes itens: 1 - Número da estação. 2 - Ângulo horizontal na estação. 3 - Azimute ou Rumo inicial. 4 - Distancias horizontais. 5 - Croqui. 6 - Ângulo e distância das amarrações. Nas estações totais todos os dados são armazenados na memória interna (ângulos, distâncias horizontais, desníveis, descrição dos pontos, altura do instrumento, altura do prisma e outros). 2.5.2 - Trabalhos de escritório: 2.5.2.1 - Cálculo: Compreende o cálculo da planilha através do uso de computadores ou com o auxílio de calculadoras científicas, bem como o cálculo das amarrações para a obtenção das coordenadas de todos os pontos e posterior representação gráfica. 2.5.2.2 - Representação gráfica: Poderá ser realizada em computadores com programas AUTO CAD, ou manualmente em par de eixos cartesianos na escala adequada. 2.5.2.2.1 Modelo de Planta Topográfica: A figura 31 mostra um modelo de Planta Topográfica, podendo existir outros modelos em função do tipo de terreno e finalidade do levantamento. 21 21 Fig ura 31: Planta Topográfica 22 22 2.5.2.3 Planilha Topográfica: Est Ang. Ext. corr Ang. Ext. Azimute Dist. (m) Sen. Cos Proj. X Proj. Y 0=P P 45°01’20 ” 84,85 0,7074 0,7068 60,02 59,97 01 243°26’1 0” -1’ 243°25’1 0” 108°26’3 0” 63,25 0,9486 - 0,3163 60,00 -20,01 02 251°33’5 0” -1’ 251°32’5 0” 179°59’2 0” 40,10 0,0002 - 0,9999 0,01 -40,10 03 270°01’0 0” 270°01’0 0” 270°00’2 0” 119,92 - 0,9999 0,0001 -119,92 0,01 0=P P 315°01’0 0” 315°01’0 0” 45°01’20 ” Σ = 0,11 Σ = - 0,13 [Σ] = 239,95 [Σ] = 120,09 Kx = 0,11 / 239,95 = 0,00045842883934 Ky = 0,13 / 120,09 = 0,00108252144225 Corr. X Corr. Y Proj. X Proj. Y Coord. X Coord. Y ΣX ΣY ΣX.Proj.Y ΣY.Proj.X -0,03 0,07 59,99 60,04 0,00 0,00 59,99 60,04 3601,7996 3601,7996 -0,03 0,02 59,97 -19,99 59,99 60,04 179,9 5 100,0 9 -3597,2005 6002,3973 0,04 0,01 -40,06 119,96 40,05 239,9 3 40,04 -9611,5958 0,4004 -0,05 -119,97 0,01 119,97 -0,01 119.9 7 -0,01 1,1997 1,1997 0,00 0,00 Σ = -0,11 Σ = 0,13 Σ= -9605,797 Σ= 9605,797 ÁREA = 4802,8985 m2 A representação gráfica se faz em um par de eixos cartesianos, através das coordenadas (X,Y) da planilha, figura 32. 23 23 Figura 32: Representação Gráfica das Coordenadas no Sistema Cartesiano Nos levantamentos topográficos não georreferenciados, a orientação da poligonal topográfica é feita com a bússola e após a verificação do fechamento angular são feitas as correções, calcula-se os azimutes e as projeções, verifica-se o fechamento linear, faz-se as correções de forma proporcional às distâncias e calcula-se as coordenadas partindo-se de uma coordenada inicial arbitrada. 24 24 3.SISTEMAS DE COORDENADAS 3.1 Projeções Cartográficas: A superfície da terra quando projetada sobre um plano não conserva ao mesmo tempo, em verdadeira grandeza, as distâncias, os ângulos, as áreas e ainda a verdadeira relação entre estes elementos. A representação deve ser feita por seções, projetando-se partes da superfície da terra sobre a superfície de uma figura geométrica que possa ser distendida em um plano. As superfícies comumente usadas são as do cilindro, do cone e do próprio plano. Estas figuras podem ser tangentes ao esferóide como mostrado na figura 33 ou secante como mostrado na figura 34. A escolha da posição tangente ou secante depende da finalidade da projeção. O sistema Universal Transverso de Mercator (UTM) utiliza o cilindro como figura de projeção efaz com que este seja secante ao esferóide terrestre como mostrado na figura 24, (Corrêa, 2012). Figura 33:: Tangentes ao Esferóide Terrestre Fonte: (CORRÊA, I.C.S., 2012). Figura 34: Cilindro Secante ao Esferóide Terrestre Fonte: (CORRÊA, I.C.S., 2012). A projeção deve ser escolhida conforme o fim a que se destina, podendo-se adotar uma das seguintes: 1) A Projeção Equivalente, a que mantém a exata proporção entre as áreas do terreno e as representadas nas cartas. 2) A Projeção Conforme, que mantém a forma das pequenas figuras, isto é, que conserva oscontornos geográficos de pequenas áreas. Esta projeção não conserva a forma das grandes áreas. Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS 18. 3) A Projeção Azimutal, que mantém corretas as direções de todas as linhas que partem de um ponto. Seja qual for a projeção escolhida, esta deve ser tal que dela resulte a carta que melhor atenda os fins previstos. 25 25 A Projeção Conforme é a que melhor atende as necessidades militares. A navegaçãomarítima emprega a Projeção Mercator enquanto que a Projeção Azimutal é ideal para as áreas polares e para a confecção de cartas aéreas de distâncias (CORRÊA, 2012). 3.2 Projeção Transversa de Mercator (UTM) A projeção de Mercator pode tornar-se transversal fazendo-se a rotação do eixo do cilindro de um ângulo qualquer a partir de sua coincidência com o eixo polar da terra. Na projeção usada nas cartas topográficas editadas pela Diretoria do Serviço Geográfico, o eixo do cilindro é girado de 90º até ficar contido no plano do equador, passando assim a ter forma elíptica na sua seção transversal (Figura 34). O cilindro é ainda reduzido, tornando-se o mesmo secante. Os semidiâmetros tornam- se menores do que os do esferóide terrestre. A superfície do esferóide é cortada pela do cilindro segundo duas linhas paralelas ao meridiano central da projeção. A projeção é matematicamente calculada para conservar iguais as variações de distâncias nos sentidos da latitude e da longitude. Artifícios de cálculo permitem compensar as variações de escala (CORRÊA, 2012). As especificações estabelecidas para o sistema UTM são as seguintes: 1) Projeção conforme de Mercator, transversa (Gauss) 2) Fusos de 6º de amplitude, limitados por meridianos nas longitudes múltiplas de 6º, coincidindo com os fusos da Carta Internacional ao Milionésimo. Cada sistema deve ser prolongado 30' sobre os contíguos, formando-se assim uma área de superposição, de 1 de largura na junção de dois fusos adjacentes. 3) Adoção de um elipsóide de referência. 4) Fator de redução de escala K0 = 1 − 1/2500 = 0,9996 5) Origem das coordenadas planas, em um fuso, no cruzamento da linha do equador com o Meridiano Central (MC), acrescidas as constantes +10.000.000,00 de metros (só para o hemisfério Sul) no sentido do Meridiano e +500.000,00 metros no sentido do Paralelo. 6) Numeração dos fusos segundo o critério adotado pela Carta Internacional ao Milionésimo, isto é de 1 a 60, a contar do ante meridiano de Greenwich para leste ( figura 37). O sistema UTM divide o globo em 60 fusos iguais de 6º de amplitude cada um.Conhecendo- se o fuso em que se encontra a área a ser mapeada podemos determinar o meridiano central (MC) referente à mesma, através da seguinte equação: MC = 6⋅ F − 3 −180º, ondeF é o número do fuso. Dentro do sistema UTM a Latitude de um ponto é representada pela letra "N" e a Longitude, pela letra "E". Desta forma para que as coordenadas UTM não tenham valores negativos como o que ocorre com as coordenadas geográficas, convencionou-se atribuir à origem "0" (intersecção da projeção do meridiano central com a linha do Equador) as coordenadas N=10.000.000,00 metros e E=500.000,00 metros para o hemisfério Sul e N=0,00 metros e E=500.000,00 metros para o hemisfério Norte, figura 35. Portanto, no sistema UTM o Y = N e o X = E. 26 26 Figura 35: Fuso de Coordenadas UTM – Fonte: (IGeoE – Portugal,2006) 3.3 Deformação das áreas na projeção UTM A fim de reduzir as deformações sofridas no sistema de projeção UTM, limitam-se os campos de aplicação a fusos de 6º de amplitude (3 para cada lado do Meridiano Central). A projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), o cilindro envolvente sofre ma redução, tornando-se secante (Figura 36. A secância traz mais vantagens que a tangência porque aquela ocasiona duas linhas paralelas ao meridiano central que fornecem distâncias em ua verdadeira grandeza. Estas duas linhas estão situadas a 180km a leste e a oeste do meridiano central do fuso. Desde que para o meridiano central do fuso se estabelece o valor e 500.000,00 metros, as linhas de secância terão coordenadas "E" de 680.000,00 e 20.000,00 metros respectivamente (CORRÊA, 2012). Figura 36: Cilindro secante com fuso de 6° de amplitude Fonte: (CORRÊA, 2012) 27 27 Figura 37: CORRÊA, I. C. K. Apostila de Fundamentos de Topografia, 2007. 3.4 Georreferenciamento Um georreferenciamento nada mais do que determinar o meridiano do lugar que por sua vez coincide com a linha norte/sul e a posição de um ponto na superfície da Terra em relação ao modelo elipsóidico adotado, dando origem a um ponto geodésico. Um ponto geodésico possui as coordenadas em um sistema universal denominado UTM, conforme descrito no item anterior. A determinação do Norte verdadeiro é fundamentada em determinações astronômicas com observação a astros, normalmente o Sol ou utilizando o sistema GPS ou ainda um giroscópio, é mais precisa que a técnica que se baseia na determinação do Norte magnético para uma posterior transformação. Conforme as Normas Técnicas para Georreferenciamento Rural do INCRA, o Global Navigation Satellite System - GNSS engloba 0 Sistema de Posicionamento Global - GPS e os demais sistemas do mesmo gênero. 0 posicionamento por GNSS permite a determinação de coordenadas a partir de vértices do Sistema Geodésico Brasileiro ao vértice de referencia do georreferenciamento (C1), determinação de coordenadas dos vértices de poligonais de apoio (C2) e a determinação de coordenadas dos vértices que definirão perímetro do im6vel rural (C4, C5 e C7). Posicionamento relativo estático - No método de posicionamento relativo estático, dois ou mais receptores rastreiam simultaneamente os satélites visíveis, por um período de tempo que varia de acordo com o comprimento da linha de base e a precisão requerida, conforme a Tabela 3. Este método pode ser adotado para definir vértices das classes C1, C2, C4, C5 e C7. Posicionamento relativo estático rápido - O posicionamento relativo estático rápido segue as características do posicionamento relativo estático diferenciando - somente no tempo de ocupação, que para efeitos desta Norma, varia de 5 a 30 minutos. Neste método mantém-se um ou mais receptor{es) coletando dados na estação de referencia enquanto o{s) outro{s) receptor{es) percorre{m) as estações de interesse. Nao há necessidade de continuidade de rastreio durante o deslocamento entre uma estação e outra. Para que os resultados apresentem razoável nível de precisão, o vetor das ambigüidades envolvido em cada linha de base deve ser solucionado, ou seja, fixado como inteiro. 0 comprimento de linha de base para este tipo de posicionamento deve ser de no máximo 20 km. Este método pode ser adotado para definir vértices das classes C2, C4, C5 e C7. No caso determinação de vértices c1asse C2, deve-se obrigatoriamente validar a solução com ajustamento em rede. 28 28 Tabela 3 – Fonte: Normas Técnicas para Georreferenciamento do INCRA 3.5 Transporte de Coordenadas e Compatibilização de Sistemas Diferentes Na prática é comum encontrar-se levantamentos topográficos bem executados, porém, não georeferenciados. Nesta situação é possível transportar coordenadas de pontos geodésicos existentes nas proximidades da área quando não se dispõe de equipamentos que facilitem o georreferenciamento no próprio local por se tratar de equipamentos de custo relativamente alto. Porém, alguns cuidados são necessários por se tratar de dois sistemas de coordenadas totalmente diferentes, onde os sistemas não georreferenciados, normalmente, são orientados segundo a linha norte/sul magnética, facilmente determinada com uma bússola comum e fazendo com que essa linha coincida com o eixo y ou das ordenadas de um sistema cartesiano normal conhecido da matemática, arbitrando-se uma coordenada para o ponto inicial de um determinado levantamento topográfico, calcula-se as coordenadas dos pontos de uma poligonal fechada a partir das distâncias e ângulos medidos no campo, devidamente corrigidas, de acordo com normas de tolerâncias oficiais para cada tipo de levantamento. Como os dois sistemas possuem orientações diferentes, é necessário calcular o ângulo de rotação para que os eixos X e Y fiquem paralelos e ainda calcular a translação da origem das coordenadas para que os dois sistemas sejam compatibilizados. Isto é feito da seguinte forma, considerando a figura 38, onde: 29 29 Figura 38: Dois Sistemas de Coordenadas diferentes PG1 e PG2 são pontos georeferenciados do Sistema Geográfico Brasileiro (SGB); Obs.: Na figura 38, do lado direito onde estão os pontos demarcados com um triângulo, Pg1 e Pg2, leia-se PG1 e PG2; P1 e P2 são pontos de uma poligonal qualquer não georreferenciada; Pg1 e Pg2, do lado esquerdo da figura, demarcados com um cículo, são pontos com a mesma localização, no campo, que os pontos P1 e P2 respectivamente. A denominação Pg1 e Pg2 para os pontos P1 e P2, são para diferenciar os valores das coordenadas transportadas dos pontos georrefenciados PG1 e PG2. A ligação ou amarração entre os pontos dos dois sistemas pode ser feito com uma estação total ou teodolito comum, medindo-se os ângulos A1, A2, A3 e A4: bem como as distâncias d1, d2 e d3, (d4 pode ser calculado pelas coordenadas). Sendo que caso não exista intervisibilidade entre PG1 e P1 ou PG2 e P2, pode- se formar uma linha de poligonal onde são medidos os diferentes ângulos e distâncias. Em ambos os casos se formará uma poligonal enquadrada entre os dois sistemas, devendo ser verificado o fechamento angular e correções, a partir dos ângulos corrigidos, calcular os azimutes dos alinhamentos e com estes e as distâncias medidas, calcular as projeções de cada alinhamento, verificando-se o fechamento linear e fazendo as respectivas correções de cada alinhamento de forma proporcional às distâncias. 3.5.1 – Sequência dos cálculos - Para verificação do fechamento angular de uma poligonal fechada de n pontos: Se for ângulo interno: a soma dos ângulos deve ser igual a 180(n-2) e externo igual a 180(n+2). - Para calcular os azimutes: Soma-se ao azimute inicial os ângulos à direita que tanto podem ser internos ou externos, dependendo do sentido do caminhamento e o resultado, se for maior do que 360, tira-se os 360, em seguida verifica se o resultado é maior ou menor do que 180; se for maior do que 180, tira 180 e se for menor do que 180, soma-se 180 e o resultado é o azimute do alinhamento seguinte. 30 30 - Para o cálculo das projetos: Proj X = distância x senodo azimute do alinhamento correspondente à distância e para a projeção em Y ( ordenadas ), fica: Proj. Y = distância x cosseno do azimute do alinhamento correspondente à distância. - Para calcular o ângulo de rotação: é necessário calcular os azimutes dos alinhamentos formados pelos pontos PG1 para o PG2 através das suas coordenadas e do alinhamento formado pelos pontos P1 para o P2, considerando o cálculo de azimute a direita, isto é, sempre no sentido horário, conforme indicado na figura 35, inicialmente se calcula um ângulo alfa que pode estar em um dos quatro quadrantes e utilizando os sinais conhecidos da matemática para os quatro quadrantes que em topografia são contados no sentido horário conforme é mostrado na figura 10 da página 10. - Cálculos: para o cálculo da rotação é necessário calcular primeiro os azimutes de um mesmo alinhamento nos dois sistemas, no caso P1-P2 e Pg1-Pg2: Cálculo do azimute de P1-P2: Tg α = (Xp2 – Xp1)/(Yp2 – Yp1), onde α é um ângulo que pode estar em qualquer um dos quatro quadrantes, através dele e dos sinais encontrados na operação entre parênteses indicados na fórmula acima, é possível encontrar o azimute da seguinte forma: se (Xp2 – Xp1) for positiva (+) e se (Yp2 – Yp1) for positiva (+), isto indica que o α está no primeiro quadrante e neste caso o azimute é igual ao α; se os resultados forem (+) e (-), o α estará no segundo quadrante e neste caso o azimute será igual a (180 – α); se for (-) e (-), o α estará no terceiro quadrante e neste caso o azimute será igual a (180 + α) e se for (-) e (+), estará no quarto quadrante e o azimute será igual (360 – α). Considerando que as coordenadas dos pontos, conforme a figura 38, são: Xp1 = 24,5m e Yp1 = 29,0m Xp2 = 28,5m e Yp2 = 6,8m Tg α = (28,5 – 24,5)/(6,8 – 29,0) = (+)4/(-)22.2 = 0,1801801 e o arc tg = 10,21396854°, como o sinal foi (+) e (-), portanto: azimute igual a (180-α) ou AZ = 180 – 10,21396854 = 169,7860315°. Coordenadas transportadas do sistema georreferenciado para os mesmos pontos: Xpg1 = -40,0m e Ypg1 = 50,0m Xpg2 = -30,0m e Ypg2 = 30,0m Tg α = (-30,0 – (-40))/(30,0 – 50,0) = (+)10/(-20) = 0,50 e o arc tg = 26,56505118°, como o sinal foi (+) e (-), portanto: azimute igual a (180-α) ou AZ = 180 – 26,56505118 = 153,4349488°. A diferença entre o azimute do sistema não georreferenciado e o azimute calculado pelas coordenadas do sistema georreferenciado é igual ao ângulo de rotação necessária para que o sistema não georreferenciado se torne paralelo ao georreferenciado: Ângulo de ROTAÇÃO = 169,7860315 – 153,4349488 = 16,3510827° = α’ na figura 38. Para calcular as coordenadas do ponto Po (origem do sistema não georreferenciado) no sistema georreferenciado é necessário calcular também a distância entre os pontos Po e P1 no sistema não georreferenciado, bem como o azimute do alinhamento formado por estes dois pontos após ter sido feita a rotação deste sistema, sendo que a distância pode ser calculada pela conhecida fórmula de Pitágoras da matemática: Distância Po-p1 = √(Xp1 – XPo) 2 + (Yp1 – YPo)2 = √(24,5 – 0,0)2 + (29,0 – 0,0)2 = 37,96m Obs.: A distância foi obtida com as coordenadas anteriores à rotação. Cálculo do Azimute Po-P1 antes da rotação = α’’ na figura 38: 31 31 Tg α = 24,5/29 = 0,844827586 e α = arc tg, α = 40,19204604°. Como as diferenças: (Xp1 – XPo) e (Yp1 – Ypo) são positivas, o α está no primeiro quadrante e portanto o Azimute é igual a α. Isto é: Azimute Po-P1= 40,19204604° = α’’ na figura 38. Cálculo do Azimute Po-P1 após ter sido feito a rotação = Azimute Po-P1r: O Azimute Po-P1r é igual α’’- α’ = α na figura 38. Portanto: Azimute Po-P1r = 40,19204604° - 16,3510827° = 23,84096334°. Com o Azimute acima e a distância já calculada Po-P1 = 37,96m, a qual permanece igual após a rotação, Po-P1r = 37,96m, calcula-se as projeções em X e Y do segmento Po-P1r no sistema não georreferenciado após ter sido feita a rotação, o que torna os eixos das abscissas e ordenadas dos dois sistemas, paralelos, cujos valores serão somados às coordenadas do ponto Pg1, cujas coordenadas já estão no sistema georreferenciado, compatibilizando desta forma os dois sistemas. Proj. rotacionada X = Distância x seno do azimute = 37,96 x seno de 23,84096334° = 15,34m; Proj. rotacionada Y = Distância x cosseno do azimute = 37,96 x cosseno 23,84096334° = 34,72m. Portanto, as coordenadas do ponto Po no sistema georreferenciado será igual a: Como Xpg1 = -40,0m e Ypg1 = 50,0m, Para transformar os demais pontos não georeferenciados é só somar algebricamente os valores das suas coordenadas com as coordenadas do ponto Po georeferenciado. 32 32 4. ALTIMETRIA Topologia: Para possibilitar o traçado da planta planialtimétrica, o levantamento de obter dados que permitam marcar no desenho um número de pontos cotados capaz de caracterizar o relevo da superfície topográfica através das curvas de nível que melhor o represente. Esses pontos notáveis são os pontos onde o terreno apresenta uma mudança acentuada de declividade em relação as suas proximidades. A união de pontos notáveis de mesma categoria, da origem as linhas notáveis que se classificam em: 1 - Linhas de cumeada, de espigão ou divisórias de águas, que são linhas formadas pela sucessão de pontos notáveis mais altos. As águas das chuvas que caem sobre uma linha de cumeada se dividem, caindo uma parte em cada uma das superfícies laterais, chamadas de vertentes das águas. 2 - Linhas de talvegue, são formadas pela sucessão de pontos notáveis mais baixos, em relação as suas proximidades. Ao longo das linhas de talvegue reúnem-se as águas das vertentes, formando os cursos d’água. 3 - Linhas notáveis intermediárias, sem nome próprio, caracteriza a forma de sua superfície topográfica. A construção das curvas de nível é feita através de pontos cotados, criteriosamente levantados no local, marcados e cotados no desenho. A Caderneta de campo, além das anotações correspondentes ao levantamento dos pontos, deve descrever o aspecto geral do terreno, e indicação de linhas notáveis. Na confecção da planta planialtimétrica, com curvas de nível, deve-se marcar inicialmente os pontos cotados conhecidos, procurando visualizar, a seguir o relevo do terreno, delineando as linhas notáveis, os vales e os espigões. Em seguida são determinadas as cotas cheias entre cada par de pontos, em um processo gráfico. Finalmente, unem-se criteriosamente os pontos de mesma cota cheia (inteira), dando a cada curva um aspecto compatível com as formas naturais do terreno. A experiência conseguida por constantes observações, permite que se chegue a algumas conclusões a respeito das curvas de nível: 1 - As curvas de nível, nos terrenos naturais, tendem a um certo paralelismo e são isentas de ângulos vivos e curvas bruscas . 2 - As curvas de nível não se cruzam. 3 - Uma curva de nível não tangência a si mesma. 4 - As curvas de nível cortam perpendicularmente as linhas de água. 5 - As curvas de nível formam linhas fechadas em torno das elevações e depressões. 6 - As curvas de nível tendem a ser paralelas as linhas de fundo de vale. 7 - As curvas de nível são contínuas e não se interrompem bruscamente. 33 33 Figura 39 – Representação do Relevo com Curvas de Nivel 4.1 Métodos para a determinação do desnível entre dois pontos. 1 - Nivelamento Geométrico. 2 - Nivelamento Trigonométrico. 3 - Nivelamento Barométrico. 4 – GPS (Sistema de Posicionamento Global) O nivelamento geométrico é baseado na diferença de leituras feitas em miras graduadas. É de grande precisão, sendo muito utilizado em levantamentos de 1a ordem com erros em milímetros. O nivelamento trigonométrico é baseado na resolução de triângulos retângulos , com precisão inferior ao nivelamento geométrico. O nivelamento barométrico é baseado no decréscimo da precisão com a altitude, sendo de apenas alguns metros, tendo como vantagem a independênciadas observações, não necessitando de visibilidade entre os pontos. 4.2 Nivelamento Geométrico: Como considerado anteriormente, o processo consiste na diferença de leituras feitas sobre as miras graduadas, utilizando níveis de luneta. Conhecendo-se a altitude ou cota do primeiro ponto, determina-se a altitude ou cota do segundo. Os pontos de altitudes conhecidas são encontrados no 34 34 I.B.G.E. (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) e na D.S.G. (Diretoria de Serviço Geográfico). Esses pontos são denominados de RN (Referência de Nível), baseados no datum altimétrico de Imbituba - SC. O nivelamento geométrico é classificado segundo o seu erro de fechamento, no nivelamento e contra nivelamento: 1a Ordem - erro < 4mm. 2a Ordem - erro < 6mm. Topográfico - erro < 3cm Dependendo do tipo de levantamento e do tipo de terreno, as operações de campo podem ser feitas utilizando um dos métodos a seguir: 1 - Visadas iguais. 2 - Visadas extremas. 3 - Visadas recíprocas. 4 - Visadas eqüidistantes. O método das visadas iguais é o mais utilizado, empregando-se o nível de luneta afastado igualmente de ambas as miras sobre os pontos dos quais se deseja definir o desnível. Figura 40 – Método das Visadas Iguais Assim: ∆H = R - V A maior vantagem do processo, sem considerar a sua extrema simplicidade, é de que os erros provocados pela curvatura da terra, refração atmosférica e colimação vertical, ficam eliminados na diferença de leituras. Se dois pontos dos quais se deseja conhecer o desnível, estão muito afastados, haverá a necessidade de mudar o nível várias vezes até obtermos o desnível. Assim: ∆H = Σ (R -V) Se tivermos a altitude ou cota de um dos pontos, ao somarmos o desnível entre os mesmos com esta, teremos a cota ou altitude do outro ponto. A igualdade das distâncias do nível de luneta para as miras, é obtida contando-se os passos da mira a ré ao nível, e do nível a mira a vante, com uma tolerância de erro aproximadamente de 2 metros. Os demais métodos de nivelamento geométrico citados anteriormente, não são usuais, portanto não os descreveremos aqui. 4.3 Nivelamento Trigonométrico: 35 35 O nivelamento trigonométrico pode ser dividido em: 1 - Nivelamento trigonométrico de curto alcance. 2 - Nivelamento trigonométrico de longo alcance. O nivelamento trigonométrico de curto alcance, é normalmente usado em levantamentos topográficos por caminhamento, ficando o de longo alcance, para triangulações fundamentais ou secundárias, e poligonais com distanciômetros eletrônicos. O segundo caso não será descrito aqui. O nivelamento trigonométrico baseia-se na resolução de triângulos retângulos, determinando assim, não só o desnível entre os pontos, bem como a distância entre eles. Figura 41 – Nivelamento Trigonométrico Assim: D = (S -I).K.cos2 (90° - z) ou D = (S - I).K.cos2 α ∆H = D.tg (90° - z) + hi - M ou ∆H = D.tg α + hi - M onde: α = ângulo vertical ao horizonte. z = ângulo zenital. hi = altura do teodolito. D = distância entre os pontos. ∆H = desnível entre os pontos. S = leitura estadimétrica no retículo superior. M = leitura estadimétrica no retículo médio. S = leitura estadimétrica no retículo inferior. K = constante do aparelho igual a 100. Exemplo: Determinar a distância e desnível entre os postos 1 e 2, para os seguintes dados obtidos em um levantamento trigonométrico: z = 92° 16’20” S = 1,000 M = 0,801 I = 0,600 hi = 1,685 K = 100 D = (1,000 - 0,600).100.cos2 (90° - 92,272222°) D = 40,00 . 0,998428 D = 39,937 m ∆H = 39,937 . tg (90° - 92,27222°) + 1,685 - 0,801 ∆H = 39,937 . tg (-2,27222°) + 1,685 - 0,801 ∆H = - 0,7006 m 36 36 Devemos tomar cuidado quando da utilização do ângulo vertical ao horizonte (α), quanto ao sinal positivo ou negativo, se o mesmo for medido acima ou abaixo do horizonte respectivamente. Se tivermos a cota ou altitude do ponto onde está instalado o aparelho, e somarmos ao desnível, obteremos a cota ou desnível onde está mira. 37 37 5. TERRAPLANAGEM PARA PLATAFORMAS Nesta parte abordaremos os trabalhos de terraplenagem para construção de plataformas horizontais. Para melhor planejarmos devemos ter conhecimento da altimetria, por pontos cotados em uma malha, ou pelas curvas de nível, isto é obtido pelo levantamento planialtimétrico do local onde realizar-se-á a terraplenagem. Esta malha anteriormente citada será quadrada de 20 X 20 metros, podendo ser reduzida em função da área, para 10 X 10 metros ou ainda 5 X 5 metros para lotes urbanos e pequenos. A terraplenagem é feita para uma determinada finalidade ou objetivo como segue: 1a hipótese: o plano horizontal sem imposição de uma cota final determinada. 2a hipótese: o plano horizontal com imposição de uma cota final determinada. Sabe-se que o custo da terraplenagem compõe-se basicamente pelo custo do corte e transporte. O aterro é uma conseqüência do corte e transporte, como tal não é pago. baseado nisso a topografia poderá escolher uma altura do plano final que determine volumes iguais de corte e aterro ou o mínimo de transporte possível, solução portanto mais econômica. Caso o projeto obrigue a uma determinada altura do plano, restará a topografia a sua aplicação e cálculo dos volumes de corte e aterro, os quais serão diferentes. Para exemplificar as duas hipóteses usar-se o mesmo modelo de terreno, um quadrado de 30 X 30 metros como segue: Figura 42 – Plano Cotado e Curva de Nível 1 - Calcular a cota final para um plano horizontal, de forma que os volumes de corte e aterro sejam iguais. 2 - Calcular o volume de bota-fora para que a cota final do plano horizontal fique em 4,60 m. Resolução: 1 - determinação da cota em função dos pesos: peso 1 peso 2 peso 4 Número de pesos: 4,2 3,0 4,0 peso 1 = 4 38 38 4,4 2,8 3,5 peso 2 = 8 7,4 5,1 4,7 peso 4 = 4 7,0 6,3 5,0 6,0 total = 16 6,2 6,1 5,0 23,0 40,5 17,2 x 1 x 2 x 4 cota final = (23,0 + 81,0 + 68,8) / 16 23,0 81,0 68,8 cota final = 4,8 metros 2 - determinação do volume de bota fora para cota final de 4,6 m. Diferença entre a cota 4,8 m (cota para corte = aterro) e cota final de 4,6 m, é de 0,20 m, em uma área de 900 m2 (30m X 30m), teremos um volume de bota-fora iguala 180 m3. Figura 43 - 1o perfil Área de aterro = 43,00 m2 Área de corte = 00,00 m2 Figura 44 - 2o perfil Área de aterro = 18,98 m2 Área de corte = 0,48 m2 39 39 Figura 45 - 3o perfil Área de aterro = 0,20 m2 Área de corte = 15,20 m2 Figura 43 - 4o perfil área de aterro = 0,00 m2 área de corte = 50,00 m2 Vc12 = 2,40 m3 Va12 = 309,90 m3 Vc23 = 78,40 m3 Va23 = 95,90 m3 Vc34 = 326,00 m3 Va34 = 1,00 m3 Volume de corte = Volume de aterro = 406,80 m3 6. LOCAÇÃO DE OBRAS Locação de uma obra é a operação inversa de um levantamento, também chamado de medição, onde o profissional vai ao campo obter dados para cálculo e desenho. Na locação também chamada de marcação , os dados foram processados no escritório para posteriormente serem implantados no campo através de um projeto. O sucesso de uma obra depende das duas atividades bem executadas. A locação poderá se efetuada de duas .maneiras diferentes: 40 40 1 - Através de um sistema coordenadas cartesianas. 2 - Através de um sistema coordenadas polares. Dos dois sistemas o mais utilizado para determinação de alinhamentos é o cartesiano e na determinação de pontos, o melhor é o de coordenadas polares. Poderemos locar uma obra, através das estacas ou dos alinhamentos das paredes. Locação de estacas: Com o projeto do estaqueamento em mãos, escolhemos a origem do sistema cartesiano que pode ser um ponto do alinhamento predial ou uma das estacas previstas no projeto. Definido o sistema, instala-se o teodolitona origem deste, e define-se os alinhamentos e distâncias para as outras estacas. Para se evitar a perda deste piqueteamento, procede-se a marcação dos alinhamentos em tábuas ou sarrafos nivelados e colocados em torno de toda a obra a ser executada. Os alinhamentos a qualquer momento poderão ser materializados através de linhas de nylon esticadas a partir destes sarrafos, podendo assim recuperar os posicionamentos das estacas, os quais estarão localizados no cruzamento das linhas e definidos no solo (ou sobre os piquetes) através de um prumo de centro. Locação de Paredes: Esta locação é similar a feita para estacas, diferindo apenas que ao invés de marcarmos o centro das estacas, marcamos os eixos da paredes ou uma das faces das mesmas, principalmente para as paredes externas. Neste caso também faremos uma amarração em tábuas ou sarrafos colocados ao redor de toda a obra a ser executada. REFERÊNCIAS ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 13.133. Execução de Levantamento Topográfico. Rio de Janeiro, 1994. BORGES, A. C. Exercícios de Topografia. São Paulo: 3ª. Ed. Edgar Blucher Ltda., 1975. 41 41 CASTRO JR, R. M. Apostila de Topografia. UFPE, 1998. CORRÊA, I. C. S. Apostila de Topografia Aplicada à Engenharia Civil da UFRGS. 2012. ESPARTEL, L. Curso de Topografia. Rio de Janeiro: Ed. Globo, 1987. GEMAEL, C. Introdução à Geodésia Geométrica. Universidade Federal do Paraná. Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. Curitiba, 1987. GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações: aplicações geodésicas. Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 1994. 319 p. McCormarc, J. C. TOPOGRAFIA. 5ª. Ed. Rio de Janeiro: Ed. Globo, 2007. VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Apostila de Fundamentos de Topografia, 2007. 42 42
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