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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
APOSTILA DE TOPOGRAFIA
NA
PRÁTICA
ATUALIZADA EM 2012
Adilson Luiz Borges e Arildo Dirceu Cordeiro 
Departamento Acadêmico de Construção Civil 
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 03
1.1 Conceitos de Topografia .................................................................................................... 03
 1.2 Finalidade da Topografia ..................................................................................................... 03
 1.3 Importância da Topografia ................................................................................................... 03
 1.4 Diferença entre Topografia e Geodésia ............................................................................... 04
 1.5 Modelo Elipsoidal ................................................................................................................ 04
 1.6 Modelo Geodal ..................................................................................................................... 05
 1.7 Modelo Plano ........................................................................................................................ 05
 1.8 Efeito da Curvatura da Terra na Distância e na Altitude ...................................................... 06
 1.9 Erros em Medidas ................................................................................................................. 07
 1.10 Divisões da Topografia ....................................................................................................... 07
 1.11 Goniologia .......................................................................................................................... 08
 1.12 Ângulos Horizontais ........................................................................................................... 09
 1.13 Calculo do Azimute a partir dos Ângulos Internos ou Externos ........................................ 09
 1.14 Cálculo de Rumo em função do Azimute e Azimute em função do Rumo ....................... 10
 1.15 Declinação magnética ......................................................................................................... 11
 1.16 Materiais e Equipamentos Topográficos ............................................................................ 11
 1.17 Nomenclatura em Topografia ............................................................................................. 16
 1.18 Unidades de Medidas de Áreas no Brasil .......................................................................... 16
2. MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS ................................................. 17
2.1 Decomposição em triângulos ou triangulação...................................................................... 17
 2.2 Irradiação ou Coordenada Polar............................................................................................ 17 
2.3 Interseções ou Coordendas Bipolares .................................................................................. 18
2.4 Ordenadas ou Coordenadas Retangulares ............................................................................ 19
2.5 Caminhamento ...................................................................................................................... 20
2.5.1 Trabalhos de Campo .......................................................................................................... 20
 2.5.2 Trabalhos de Escritório ...................................................................................................... 21
 2.5.2.1 Trabalhos de Cálculos .................................................................................................... 21 
 2.5.2.2 Representação Gráfica .................................................................................................... 21
 2.5.2.2.1 Planta Topográfica ....................................................................................................... 22
3. SISTEMAS DE COORDENADAS ..................................................................................... 25
4. ALTIMETRIA ...................................................................................................................... 32
5. TERRAPLANAGEM PARA PLATAFORMA .................................................................. 37
6. LOCAÇÃO DE OBRAS ..................................................................................................... 40
 
 REFERÊNCIAS ......................................................................................................................... 41
 
2
2
1. INTRODUÇÃO
1.1 Conceitos de Topografia:
O significado etimológico da palavra TOPOGRAFIA, quer dizer:
TOPOS = Lugar
GRAFIA = Descrição
Portanto, Topografia é a descrição de um lugar, ou seja: é a descrição exata e minuciosa de um 
lugar, (DOMINGUES,1979).
1.2 Finalidade:
É a ciência que estuda instrumentos e métodos para coleta de dados, cálculo e representação gráfica 
de parte da superfície terrestre, sem levar em consideração a curvatura da terra causada pela sua 
esfericidade. Representação esta feita sobre um plano, ortogonalmente a este, denominado Plano 
Topográfico.
Figura 1 - Superfície Topográfica – Planta Topográfica - Fonte: ( SPARTEL, 1987 )
De acordo com a NBR 13133 (ABNT, 1991, p. 3), Norma Brasileira para execução de
Levantamento Topográfico, o levantamento topográfico é definido por:
“Conjunto de métodos e processos que, através de medições de ângulos horizontais e verticais, de 
distâncias horizontais, verticais e inclinadas, com instrumental adequado à exatidão pretendida,
primordialmente, implanta e materializa pontos de apoio no terreno, determinando suas 
coordenadas topográficas. A estes pontos se relacionam os pontos de detalhe visando a sua exata 
representação planimétrica numa escala pré-determinada e à sua representação altimétrica por 
intermédio de curvas de nível, com eqüidistância também pré-determinada e/ou pontos cotados.”
1.3 Importância da Topografia:
Como todas as obras de engenharia, agronomia e arquitetura, são executadas sobre parte da 
superfície terrestre, a partir de estudos e projetos previamente elaborados, cabe a topografia dar a 
base para que estes projetos sejam executados com maior precisão e locados corretamente na área 
onde serão executados. A topografia auxilia projetos e obras:
a - Construção Civil, como prédios, pontes, rodovias, barragens, ferrovias, etc.
b - Urbanismo, como plano diretor, sistema viário, eletrificação, saneamento, loteamentos, rede 
telefônica, etc.
c - Agricultura, como projetos de culturas, drenagens, irrigações, cadastro de culturas, etc.
d - Silvicultura, como reflorestamento, reservas florestais, etc.
3
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1.4 Diferença entre topografia e Geodésia
A topografia utiliza os mesmos equipamentos e praticamente os mesmos métodos para o 
mapeamento da superfície terrestre. Porém, a topografia tem por finalidade mapear uma pequena 
porção da superfície em raio de 30km, enquanto que a geodésia tem por finalidade mapear grandes 
áreas da superfície terrestre, levando em consideração as deformações devido à sua esfericidade 
(BRANDALIZE, 2001). 
1.5 Modelo Elipsoidal 
A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução (figura 2). O elipsóide de 
revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela rotação de uma semi-elipse (geratriz) em 
torno de um de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide 
achatado. Mais de 70 diferentes elipsóides de revolução são utilizados em trabalhos de Geodésia no 
mundo. Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos 
a(maior) e b (menor). Em Geodésia é tradicionalconsiderar como parâmetros o semi-eixo maior a e 
o achatamento f, expresso pela equação: f = (a – b)/a (VEIGA et all, 2007).
Figura 2 – Elipsóide de Revolução – Fonte: (VEIGA et all, 2007)
As coordenadas geodésicas elipsóidicas de um ponto sobre o elipsóide ficam assim definidas 
(figura 3): Latitude Geodésica ( φ ): ângulo que a normal forma com sua projeção no plano do 
equador, sendo positiva para o Norte e negativa para o Sul. Longitude Geodésica ( λ ): ângulo 
diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do ponto P, sendo positivo para 
Leste e negativo para Oeste (VEIGA et all, 2007).
A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que passa pelo ponto P na superfície física.
Figura 3 – Coordenadas Elipsóidicas – Fonte: (VEIGA et all, 2007)
No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência 
Geocêntrico para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 
1980), cujos semi-eixo maior e achatamento são:
a = 6.378.137,000 m
f = 1/298,257222101. Obs.: O sistema está em período de transição com SAD69 até 2014. 
4
4
1.6 Modelo Geoidal
O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. É definido teoricamente 
como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado através dos continentes. Não é uma 
superfície regular e é de difícil tratamento matemático. Na figura 4 são representados de forma 
esquemática a superfície física da Terra, o elipsóide e o geóide.
Figura 4 – Superfície Física da Terra, Geóide e Elipsóide – Fonte: (VEIGA et all, 2007)
O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade ou superfície de nível, 
sendo utilizado como referência para as altitudes ortométricas (distância contada sobre a vertical, do 
geóide até a superfície física) no ponto considerado. As linhas de força ou linhas verticais (em 
inglês “plumb line”) são perpendiculares a essas superfícies equipotenciais e materializadas, por 
exemplo, pelo fio de prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. A reta tangente à linha 
de força em um ponto (em inglês “direction of plumb line”) simboliza a direção do vetor gravidade 
neste ponto, e também é chamada de vertical. A figura 5 ilustra este conceito (VEIGA et all, 2007).
Figura 5 – Vertical – Fonte: (VEIGA et all, 2007)
1.7 – Modelo Plano
Considera a porção da Terra em estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada pela 
Topografia. Esta aproximação é válida dentro de certos limites e facilita bastante os cálculos 
topográficos. Face aos erros decorrentes destas simplificações, este plano tem suas dimensões 
limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano na prática a dimensão de 20 a 30 km. A 
NRB 13133 (Execução de Levantamento Topográfico) admite um plano com até aproximadamente 
80 km(VEIGA et all, 2007).
Uma vez que a Topografia busca representar um conjunto de pontos no plano é necessário 
estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas para a representação dos mesmos. Este sistema 
pode ser caracterizado da seguinte forma: Eixo Z: materializado pela vertical do lugar (linha 
materializada pelo fio de prumo); Eixo Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou 
verdadeira); Eixo X: sistema dextrógiro (formando 90º na direção leste).
A figura 6 ilustra este plano(VEIGA et all, 2007).
5
5
Figura 6 – Plano em Topografia – Fonte: (VEIGA et all, 2007)
1.8 Efeito da Curvatura da Terra na Distância e na Altiude
Na figura 7 tem-se que S é o valor de uma distância considerada sobre a Terra esférica e S´ a
projeção desta distância sobre o plano topográfico
Figura 7 – Efeito da Curvatura para a distância – Fonte: (VEIGA ET ALL,2007)
R = raio aproximado da Terra (6370 km)
A diferença entre S e S´é dado por ΔS = S´ – S, onde: S’ = R tgθe S = Rθque desenvolvendo: 
 Ταβαλα 1
Para a altimetria, figura 8:
6
6
Figura 8 – Efeito da Curvatura na Altimetria – Fonte: (VEIGA et all, 2007)
Onde: Tabela 2 – Efeito da Curvatura na Altimetria – Fonte: (VEIGA et all, 2007)
1.9 Erros em Medidas
Para representar a superfície da Terra são efetuadas medidas de grandezas como direções, 
distâncias e desníveis. Estas observações inevitavelmente estarão afetadas por erros. As fontes de 
erro poderão ser:
• Condições ambientais: causados pelas variações das condições ambientais, como vento, 
temperatura, etc. Exemplo: variação do comprimento de uma trena com a variação da temperatura.
• Instrumentais: causados por problemas como a imperfeição na construção de equipamento ou 
ajuste do mesmo. A maior parte dos erros instrumentais pode ser reduzida adotando técnicas de 
verificação/retificação, calibração e classificação, além de técnicas particulares de observação.
• Pessoais: causados por falhas humanas, como falta de atenção ao executar uma medição, cansaço, 
etc.
 Os erros, causados por estes três elementos apresentados anteriormente, poderão ser
classificados em:
• Erros grosseiros
• Erros sistemáticos
• Erros aleatórios
1.10 Divisões da Topografia:
a) - Topometria: É o conjunto de métodos empregados para a coleta de dados, dados estes para o 
cálculo e representação gráfica de parte da superfície terrestre. Divide-se em:
a.1 - Planimetria - É a representação em projeção horizontal dos detalhes naturais e artificiais, 
( planta baixa ).
a.2 - Altimetria - É a determinação das distâncias verticais de um certo número de pontos sobre a 
superfície a ser levantada, tendo como referência o nível médio dos mares ou o próprio plano 
topográfico.
b - Topologia: Tem por objetivo o estudo das formas exteriores da superfície terrestre e das leis a 
que rege o seu modelado. Sua aplicação principal é na representação da altimetria pelas curvas de 
nível, que são as intersecções obtidas por planos eqüidistantes paralelos ao plano de representação.
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Tem por finalidade a determinação das distâncias horizontais e verticais, de maneira indireta, 
através da resolução de triângulos retângulos situados no plano vertical. Sua principal utilização é 
em terrenos acidentados onde a determinação direta torna-se inviável.
d - Fotogrametria: São levantamentos fototopográficos, efetuados em áreas extensas, utilizando-se 
de equipamentos chamados de fototeodolitos ou fotogrâmetros. Divide-se em:
d.1 - Aerofotogrametria.
d.2 - Fotogrametria terrestre.
e - Topografia Expedita: Tem por finalidade dar uma noção de situação da área a ser levantada.
f - Topografia Regular: Divide-se em:
f.1 - Topografia regular de alta precisão, onde podem ocorrer erros de: angular de 1/10’√n, onde 
n é o número de estações da poligonal levantada; linear de 1: 10000.
f.2 - Topografia regular de média precisão, onde podem ocorrer erros de: 
 
Tipo de terreno Erro Angular Erro Linear
Plano 1’√n 1 : 2000 *
Ondulado 2’√n 1 : 1000
Acidentado 3’√n 1 : 500
(* mais usual para qualquer tipo de terreno)
g - GPS (Global Positioning System) ou Sistema de Posicionamento Global: Consiste em uma 
rede de 24 satélites em 6 planos de órbita sobre a terra com uma altitude aproximada de 20.200 km. 
Por meio de receptor GPS na superfície terrestre pode-se determinar uma posição geográfica 
(latitude, longitude e altitude) exata sobre a mesma.
1.11 Goniologia:
 
É a parte da matemática que estuda os ângulos, divide-se em:
a - Goniometria: estuda os métodos e aparelhos utilizados na determinação numérica dos ângulos.
b - Goniografia: estudas os métodos e aparelhos utilizados na representação gráfica dos ângulos. 
Todo aparelho destinado medir ângulos chama-se goniômetro, e a parte para avaliação do ângulo 
propriamente dita, chama-se limbo. No goniômetro encontramos dois limbos, um horizontal e outro 
vertical. 
1.12 Ângulos Horizontais:
a - Ângulo Externo (Ae): É o ângulo contado a partir do alinhamento anterior para o posterior, 
externamente a poligonal. ∑ Ae = (n+2).180°
b - Ângulo Interno(Ai): É o ângulo contado a partir do alinhamento anterior para o posterior, 
internamente a poligonal. ∑ Ai = (n-2).180°
c - Deflexão: É o ângulo contado a partir do prolongamento do alinhamento anterior, para o 
posterior, podendo ser deflexão a direita (Dd) ou esquerda (De). ∑ Dd - ∑ De = 360°
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d - Azimute (Az): É o ângulo orientado, contado da direção norte para o alinhamento posterior, 
variando de 0° a 360° no sentido horário.
e - Rumo (R): é o ângulo orientado contado a partir da direção norte ou sul em direção ao 
alinhamento, variando de 0° a 90°, recebendo as letras correspondentes ao quadrante que pertence. 
Primeiro Quadrante NE
 Segundo Quadrante SE
Terceiro Quadrante SO
Quarto Quadrante NO
Figura 9 – Poligonal com ângulos externos, internos e de deflexão
1.13 Calculo do Azimute a partir dos Ângulos Internos ou Externos
Em topografia o círculo trigonométrico conhecido da matemática é rebatido de forma que os 
quatro quadrantes ficam no sentido horário, conforme indicado ma figura 10, onde é mostrado os 
azimutes Az1 a Az4 nos quadrantes 1º ao 4º respectivamente.
Os azimutes são calculados a partir do azimute de um alinhamento inicial, usando o ângulo à 
direita formado entre este alinhamento e o alinhamento seguinte de uma sequência de lados de uma 
poligonal aberta ou fechada. As operações de cálculos são feitas por três regras básicas:
1ª. – Soma-se ao azimute do alinhamento inicial o ângulo formado entre este e o alinhamento 
seguinte;
2º - Deve ser verificado se o resultado da soma passou ou não de 360°. Se passou, tira-se 360°. Se 
não passou, deve ser mantido o resultado;
3º - Deve ser verificado se o resultado do item anterior é maior ou menos do que 180°. Se for maior, 
tira-se 180° e se for menor, soma-se 180° e o resultado é o azimute do alinhamento seguinte e assim 
sucessivamente, figura 10.
9
9
 
Figura 10 – Azimutes nos Quatro Quadrantes – Fonte: (VEIGA et all, 2007)
1.13 Calculo do Rumo em função do Azimute, e do Azimute em função do Rumo:
Figura 11 – Quadrantes de Rumos Azimutes
Quadrante Az p/ Rumo Rumo p/ Az
01 R = Az Az = R
02 R = 180° - Az Az = 180° - R
03 R = Az - 180° Az = R + 180°
04 R = 360° - Az Az = 360° - R
Calcular os Rumos em função dos Azimutes dados:
1 - 45° 16’ 35”
2 - 122° 59’ 18”
3 - 259° 44’ 55”
4 - 348° 02’ 07”
5 - 90° 01’ 09”
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Calcular os Azimutes em função dos Rumos dados:
1 - 88° 43’ 25” NE
2 - 1° 27’ 12” SE
3 - 16° 00’ 52” SO
4 - 89° 59’ 47” NO
5 - 26° 32’ 16” SO
1.15 Declinação Magnética:
Meridiano Geográfico: O Meridiano Geográfico de um lugar corresponde ao plano que contém 
este ponto e o eixo de rotação da terra.
Meridiano Magnético: O Meridiano Magnético de um lugar, corresponde ao plano que contém o 
eixo longitudinal de uma agulha imantada em equilíbrio, sobre o ponto, e a vertical do lugar.
 Em geral, o MM e o MG não coincidem, formando entre eles uma diferença angular chamada 
de Declinação magnética. A diferença pode aumentar até um certo limite para Oeste, e retroceder 
em seguida para Leste, também até certo limite. Com isto podemos dizer que determinado Azimute 
de um alinhamento em determinada localidade e data, varia com o tempo. Por isso quando temos 
um Azimute lido em uma época remota, e há a necessidade de restabelecer o alinhamento definido 
por este Azimute, precisamos reconstituí-lo para os dias de hoje. Esse trabalho chama-se 
Aviventação de Azimutes ou Rumos.
 A Declinação Magnética não é igual para todos os pontos da superfície terrestre, nem mesmo é 
constante em um mesmo lugar, sofrendo variações diárias, mensais, anuais e seculares.
 As cartas que ligam os pontos de mesma Declinação Magnética são chamadas de Cartas 
Isogônicas, e as que ligam os pontos de mesma variação anual de declinação são chamadas de 
Cartas Isopóricas. Estas cartas são fornecidas pelos anuários dos observatórios astronômicos. Para 
obter o valor da declinação e da variação anual, necessita-se conhecer as coordenados do ponto em 
questão.
 Existem outros meios de determinarmos a declinação de certa região da superfície terrestre, tais 
como o do processo do estilete vertical e o processo das alturas correspondente com observação ao 
sol através do teodolito.
1.16 Materiais e Equipamentos Topográficos:
Trenas: São instrumentos utilizados para medição direta de distâncias. São graduadas em múltiplos 
e submúltiplos do metro, com comprimento variando de 20m a 50m. São fabricadas em fiberglass 
(fibra de vidro) ou aço, com carretéis fechados ou abertos, figura 12.
 
Figura 12: Modelos de trenas
 
Piquetes: São estacas de madeira com secção transversal quadrada de 4cm X 4cm, com 
comprimento de 20cm a 25cm , apontados em uma das extremidades. Tem por finalidade a 
materialização de um ponto topográfico, sendo cravado no solo, ficando apenas 1cm ou 2cm para 
fora, sem possíveis movimentos laterais.
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Figura 13: Piquete
Estaca Testemunha: São estacas de madeira com secção transversal de 4cm X 4cm e com 50cm de 
comprimento, com um chanfro na parte superior, onde é colocado o nome ou número do piquete a 
que esta estaca se refere. Tem por finalidade, possibilitar a identificação e localização do piquete, 
ficando a mesma cravada a uma distância de 50cm do referido piquete, com o chanfro voltado para 
o mesmo.
Figura 14: Modelo de estaca
Balizas: São hastes metálicas ou de madeira de secção transversal circular ou oitavada, 
respectivamente, com 2m de comprimento, pintadas de branco e vermelho alternadamente em 
faixas de 50cm. Servem para materializar a vertical nos pontos topográficos (piquetes).
Figura 15: Balizas
Bússolas: Dentro de uma grande variedade de tipos, são constituídas basicamente de uma agulha 
magnética e um círculo graduado em limbo fixo ou móvel. Divide-se em tipo americano (Rumos), e 
tipo francês (Azimutes). Tem por finalidade a orientação do alinhamento em relação ao Norte 
Magnético, figura 16.
Figura 16: Bússola
Estádias ou Régua Graduada (mira): São construídas em forma de paralelepípedos em alumínio 
ou madeira, com 4m de comprimento, graduadas em metros e centímetros, nos tipos de encaixar e 
telescópica. Servem para as leituras estadimétricas na determinação dos desníveis e distâncias 
indiretas.
12
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Figura 17 - Mira ou Régua Graduada – Fonte: (Topo II Cefet/SC, 2008)
Figura 18 – Leitura até o milimetro – Fonte: (Topo II Cefet/SC, 2008)
Níveis: São aparelhos óticos destinados a determinação de desníveis entre pontos os topográficos, 
de amarrações, etc.
Dividem-se em:
1 - Níveis baseados na diferença de densidade entre dois líquidos, ou entre um líquido e um gás.
2 - Níveis automáticos, baseados no equilíbrio dos corpos suspensos.
3 - Níveis baseados na horizontalidade de uma superfície líquida em repouso.
 
 Nível Digital Nível Ótico
Figura 19: Níveis
Níveis de cantoneira: São níveis de bolha esféricos destinados a proporcionar a verticalização das 
estádias e/ou balizas.
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13
 
Figura 20: Nível de Cantoneira
Teodolito: São goniômetros apropriados para a determinação numérica dos ângulos verticais e 
horizontais, bem como a determinação direta de distâncias (distanciometro eletrônico) e indireta 
(taqueometria); estas horizontais e verticais (distâncias reduzidas e desníveis). Divide-se em:
1 - Teodolito de leitura direta de ângulos.
2 - Teodolito prismático.
3 - Teodolito auto-redutor.
4 - Teodolito eletrônico.
5 - Estação Total (teodolito com distaciômetro eletrônico integrado)
 
 Estação Total Prismas Teodolito Prismático Teodolito de Leitura DiretaFigura 21: Estação Total e Teodolitos
Constituição dos teodolitos:
 
1 - Partes Principais:
1.1 - Círculos graduados.
1.2 - Alidade.
1.3 - Luneta.
1.4 - Eixos.
2 - Acessórios:
2.1 - Parafusos calantes ou niveladores.
2.2 - Parafusos de fixação e aproximação do movimento geral.
2.3 - Parafusos de fixação e aproximação do movimento particular.
2.4 - Nônio ou Verniers.
2.5 - Parafusos de fixação e aproximação da luneta.
2.6 - Parafusos ou anéis de focalização da objetiva e ocular.
2.7 - Parafusos retificadores dos níveis de bolha, retículos, eixo transversal e círculo vertical.
2.8 - Níveis de bolha.
2.9 - Tripé, fio de prumo e prumo ótico.
2.10 - Bússola ou declinatória.
2.11 - Display de cristal líquido.
2.12 – Memória interna de gravação.
14
14
 
 Tripé de Madeira Tripé de Alumínio
Figura 22 – Tripés
GPS – Global Positioning System
 
Figura 23: Modelos de GPS
 1.17 Nomenclatura em Topografia 
 1 - Ponto topográfico: Ponto escolhido no terreno e materializado pelo piquete e individualizado 
pela tachinha, colocada na parte superior do piquete.
2 - Alinhamento topográfico: É a linha que une dois pontos topográficos materializados, medido 
no plano horizontal de projeção, são os lados da poligonal.
3 - Ponto de partida: É o ponto onde tem início o levantamento, também chamado de estação zero 
(0=PP).
4 - Estação: São os demais vértices da poligonal.
5 - Amarração de detalhes: É o relacionamento dos detalhes artificiais e naturais da região 
levantada, com os lados e vértices da poligonal.
6 - Plano topográfico: É o plano horizontal de projeção, no qual todos os detalhes naturais e 
artificiais, bem como os elementos da poligonal, são projetados, ortogonalmente a este.
7 - Planta topográfica: É a representação gráfica de parte da superfície terrestre a que se refere o 
levantamento.
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15
1.18 Unidades de Medidas de Áreas no Brasil
Metro quadrado = m2: unidade oficial mais usada em áreas urbanas;
Hectare = há: unidade oficial mais usada em áreas rurais, podendo ser usada em qualquer tipo e 
tamanho de áreas e equivale a 10.000 m2.
1.18.1 Unidades de medidas regionais
Existem várias unidades de medidas que se diferenciam conforme a região, sendo utilizadas 
comercialmente:
- No Paraná e São Paulo é usado o Alqueire Paulista que equivale a 24.200 m2;
- Em Minas Gerais o Alqueire equivale a 48.800 m2;
- Em Santa Catarina é usado o Mogno que equivale a 2.500 m2;
- Etc.
2. MÉTODOS DE LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS
2.1 Decomposição em triângulos ou triangulação:
 
É utilizado em levantamento de pequenas áreas e amarrações de detalhes naturais e 
artificiais, sendo um método pouco preciso. Utiliza-se trena e balizas. Consiste em decompor com o 
auxílio de um ou mais pontos instalados no interior da poligonal (piquetes), em triângulos a área a 
ser levantada, medindo-se os lados de cada triângulo, figura 20.
16
16
Figura 24: Poligonal decomposta em triângulos
LEI DOS COSSENOS
“Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas dos dois lados pelo cosseno do 
ângulo que eles formam”. 
a2 = b2 + c2 – 2.b.c. cos A
A área de cada triângulo será calculada pela seguinte fórmula: A = √ p(p - a)(p -b)(p - c) , 
onde p = a + b + c
 2
A área da poligonal será a soma das áreas dos triângulos. A representação gráfica se faz com 
o auxílio do compasso e escalímetro, ficando a poligonal sem orientação.
2.2 - Irradiação ou Coordenada Polar: 
Aplica-se a qualquer levantamento de áreas pequenas ou amarrações de detalhes artificiais e 
naturais. Utiliza-se teodolito, trena e balizas. Consiste em instalar um ponto no interior da área a ser 
levantada, e com o teodolito calado neste ponto (zerado no Norte), determina-se Azimutes e 
distâncias para cada um dos vértices da área, figura 21.
17
17
Figura 25: Área levantada por irradiação
x1 = x0 + d1 . sen Az1
y1 = y0 + d1 . cos Az1
x2 = x0 + d2 . sen Az2
y2 = y0 + d2 . cos Az2 
 .
 .
 .
xN = x0 + dN . sen AzN
Quando da amarração de pontos a partir de pontos de uma poligonal, temos:
Az8-1 = Az7-8 + H1 - 180°
x1 = x8 + d1 . sen Az8-1
y1 = y8 + d1 . cos Az8-1
Az8-2 = Az7-8 + H2 -180°
x2 = x8 + d2 . sen Az8-2
y2 = y8 + d2 . cos Az8-2
Onde: Az7-8 = Azimute do vértice 07 para 08
Az8-1 = Azimute do vértice 08 para o ponto de amarração 01
x1 , y1 = coordenadas x e y do ponto 01 das amarrações...
O cálculo da área será dado pela seguinte fórmula: A= Σ ((x n + xn-1) . (yn - yn-1))
 2
A representação gráfica, tanto da área, quanto das amarrações, será feita em um par de eixos 
cartesianos em escala apropriada. O eixo y será a direção Norte.
2.3 - Interseções ou Coordenadas Bipolares: Este método é utilizado para medições de pontos 
inacessíveis ou de difícil acesso. São utilizados teodolito, trena e balizas. Este método consiste em 
definir dois pontos no terreno com visibilidade entre si e para o ponto a medir. Instala-se o 
teodolito em um dos pontos, zerando-se no outro ponto, mede-se o ângulo horizontal ao ponto 
inacessível. Repete-se a operação instalando-se o teodolito no outro ponto. Conhecendo-se os dois 
18
18
ângulos e a distância entre os pontos onde se instalou o teodolito, determina-se os demais elementos 
deste triângulo, figura 22.
 
 
γ = 180° - α - β
 D = d1 = d2 . 
 sen γ sen β sen α 
Figura 26: A representação gráfica se faz com o auxílio de compasso e escalímetro.
2.4 - Ordenadas ou Coordenadas Retangulares: Este método é pouco preciso por exigir um 
grande número de medidas diretas no terreno, por este motivo costuma-se empregá-lo em operações 
que não demandem grande exatidão. É um método muito utilizado para efetuar amarrações de 
detalhes naturais e artificiais, como rios e caminhos sinuosos. São utilizados teodolito , trena e 
balizas. Consiste em determinar um alinhamento (abscissa) mais ou menos paralelo ao detalhe a ser 
levantado, e com distâncias tomadas perpendiculares a este alinhamento (ordenadas), amarramos os 
detalhes, figura 23. 
Figura 27: Método das Ordenadas
Como se pode verificar, entre as ordenadas, formam-se trapézios. Desta maneira podemos aplicar a 
fórmula para o cálculo da área:
 A = ( B + b ).h
 2
Para os trapézios teremos:
 A1 = ( y0 + y1 ). (x1 – x0)
 2
E assim sucessivamente para os demais trapézios, e ao final somamos todas as áreas : A t = A1 + A2 
+ ...
19
19
2.5 - Caminhamento: É o método de levantamento mais utilizado para qualquer tipo de área e 
relevo. Utiliza-se teodolito, trena e balizas. Consiste nas seguintes operações de campo e escritório:
2.5.1 – Trabalhos de Campo:
2.5.1.1 - Reconhecimento da área a ser levantada: Partindo-se de um ponto tomado como origem 
(0=PP), percorre-se a área, caminhando sobre as divisas ou o mais próximo possível delas, 
materializando os vértices da poligonal com piquetes, os quais deverão se intervisíveis na ordem 
que seguem, ou na necessidade procede-se abertura de picadas na mata, para a visibilidade entre 
eles. Quando da não possibilidade de coincidir o alinhamento da poligonal com a divisa do terreno, 
procedemos a partir dos vértices da poligonal a amarração desta divisas, figura 24.
 
Figura 28: Poligonal Básica e Amarrações nos cantos domuro por irradiação
2.5.1.3 - Medição das distâncias horizontais: Podem ser diretas, indiretas ou eletrônicas. Na 
determinação direta das distâncias devemos ter o cuidado de manter sempre a trena na horizontal, 
evitando-se tomar medidas inclinadas e evitando-se também a catenária, figura 25.
Figura 29: Medidas de Distâncias Topográficas com a trena
A determinação indireta das distâncias é feita através de taqueometria e a eletrônica através de 
distanciômetros eletrônicos e prismas. 
2.5.1.4 - Amarração de detalhes naturais e artificiais: Poderá ser feita por qualquer processo de 
levantamento planimétrico já descrito, sendo o mais utilizado a irradiação, figura 26.
20
20
Figura 30: Amarração de Detalhes Naturais e Artificiais
2.5.1.5 - Anotações de caderneta de campo: Na caderneta de campo deverão constar os seguintes 
itens:
1 - Número da estação.
2 - Ângulo horizontal na estação.
3 - Azimute ou Rumo inicial.
4 - Distancias horizontais.
5 - Croqui.
6 - Ângulo e distância das amarrações.
Nas estações totais todos os dados são armazenados na memória interna (ângulos, distâncias 
horizontais, desníveis, descrição dos pontos, altura do instrumento, altura do prisma e outros).
2.5.2 - Trabalhos de escritório: 
2.5.2.1 - Cálculo: Compreende o cálculo da planilha através do uso de computadores ou com o 
auxílio de calculadoras científicas, bem como o cálculo das amarrações para a obtenção das 
coordenadas de todos os pontos e posterior representação gráfica.
2.5.2.2 - Representação gráfica: Poderá ser realizada em computadores com programas AUTO 
CAD, ou manualmente em par de eixos cartesianos na escala adequada.
2.5.2.2.1 Modelo de Planta Topográfica:
A figura 31 mostra um modelo de Planta Topográfica, podendo existir outros modelos em 
função do tipo de terreno e finalidade do levantamento.
21
21
Fig
ura 31: Planta Topográfica
22
22
2.5.2.3 Planilha Topográfica:
Est Ang. Ext. corr Ang. 
Ext.
 Azimute Dist. 
(m)
Sen. Cos Proj. X Proj. Y
0=P
P
45°01’20
”
84,85 0,7074 0,7068 60,02 59,97
01 243°26’1
0”
-1’ 243°25’1
0”
108°26’3
0”
63,25 0,9486 -
0,3163
60,00 -20,01
02 251°33’5
0”
-1’ 251°32’5
0”
179°59’2
0”
40,10 0,0002 -
0,9999
0,01 -40,10
03 270°01’0
0”
270°01’0
0”
270°00’2
0”
119,92 -
0,9999
0,0001 -119,92 0,01
0=P
P
315°01’0
0”
315°01’0
0”
45°01’20
”
Σ = 0,11 Σ = - 0,13
[Σ] = 
239,95
[Σ] = 
120,09
 Kx = 0,11 / 239,95 = 0,00045842883934
 Ky = 0,13 / 120,09 = 0,00108252144225
Corr. X Corr. Y Proj. X Proj. Y Coord. 
X
Coord. 
Y
 ΣX ΣY ΣX.Proj.Y ΣY.Proj.X
-0,03 0,07 59,99 60,04 0,00 0,00 59,99 60,04 3601,7996 3601,7996
-0,03 0,02 59,97 -19,99 59,99 60,04 179,9
5
100,0
9
-3597,2005 6002,3973
0,04 0,01 -40,06 119,96 40,05 239,9
3
40,04 -9611,5958 0,4004
-0,05 -119,97 0,01 119,97 -0,01 119.9
7
-0,01 1,1997 1,1997
0,00 0,00
Σ = 
-0,11
Σ = 0,13 Σ= 
-9605,797
Σ= 
9605,797
 ÁREA = 4802,8985 m2
A representação gráfica se faz em um par de eixos cartesianos, através das coordenadas (X,Y) da 
planilha, figura 32.
 
23
23
Figura 32: Representação Gráfica das Coordenadas no Sistema Cartesiano
Nos levantamentos topográficos não georreferenciados, a orientação da poligonal 
topográfica é feita com a bússola e após a verificação do fechamento angular são feitas as 
correções, calcula-se os azimutes e as projeções, verifica-se o fechamento linear, faz-se as correções 
de forma proporcional às distâncias e calcula-se as coordenadas partindo-se de uma coordenada 
inicial arbitrada. 
24
24
3.SISTEMAS DE COORDENADAS
3.1 Projeções Cartográficas: A superfície da terra quando projetada sobre um plano não conserva 
ao mesmo tempo, em verdadeira grandeza, as distâncias, os ângulos, as áreas e ainda a verdadeira 
relação entre estes elementos. A representação deve ser feita por seções, projetando-se partes da 
superfície da terra sobre a superfície de uma figura geométrica que possa ser distendida em um 
plano. As superfícies comumente usadas são as do cilindro, do cone e do próprio plano. Estas 
figuras podem ser tangentes ao esferóide como mostrado na figura 33 ou secante como mostrado na
figura 34. A escolha da posição tangente ou secante depende da finalidade da projeção. O sistema 
Universal Transverso de Mercator (UTM) utiliza o cilindro como figura de projeção efaz com que 
este seja secante ao esferóide terrestre como mostrado na figura 24, (Corrêa, 2012).
Figura 33:: Tangentes ao Esferóide Terrestre
Fonte: (CORRÊA, I.C.S., 2012).
Figura 34: Cilindro Secante ao Esferóide Terrestre 
Fonte: (CORRÊA, I.C.S., 2012).
A projeção deve ser escolhida conforme o fim a que se destina, podendo-se adotar
uma das seguintes:
1) A Projeção Equivalente, a que mantém a exata proporção entre as áreas do terreno e as
representadas nas cartas.
2) A Projeção Conforme, que mantém a forma das pequenas figuras, isto é, que conserva 
oscontornos geográficos de pequenas áreas. Esta projeção não conserva a forma das grandes áreas. 
Topografia Aplicada à Engenharia Civil 2012 / 13ª Edição Iran Carlos Stalliviere Corrêa 
Departamento de Geodésia – IG/UFRGS Porto Alegre/RS 18.
3) A Projeção Azimutal, que mantém corretas as direções de todas as linhas que partem de um 
ponto.
Seja qual for a projeção escolhida, esta deve ser tal que dela resulte a carta que melhor 
atenda os fins previstos.
25
25
A Projeção Conforme é a que melhor atende as necessidades militares. A 
navegaçãomarítima emprega a Projeção Mercator enquanto que a Projeção Azimutal é ideal para as
áreas polares e para a confecção de cartas aéreas de distâncias (CORRÊA, 2012).
3.2 Projeção Transversa de Mercator (UTM)
A projeção de Mercator pode tornar-se transversal fazendo-se a rotação do eixo do cilindro 
de um ângulo qualquer a partir de sua coincidência com o eixo polar da terra. Na projeção usada nas 
cartas topográficas editadas pela Diretoria do Serviço Geográfico, o eixo do cilindro é girado de 90º 
até ficar contido no plano do equador, passando assim a ter forma elíptica na sua seção transversal 
(Figura 34). O cilindro é ainda reduzido, tornando-se o mesmo secante. Os semidiâmetros tornam-
se menores do que os do esferóide terrestre. A superfície do esferóide é cortada pela do cilindro 
segundo duas linhas paralelas ao meridiano central da projeção. A projeção é matematicamente 
calculada para conservar iguais as variações de distâncias nos sentidos da latitude e da longitude. 
Artifícios de cálculo permitem compensar as variações de escala (CORRÊA, 2012). 
As especificações estabelecidas para o sistema UTM são as seguintes:
1) Projeção conforme de Mercator, transversa (Gauss)
2) Fusos de 6º de amplitude, limitados por meridianos nas longitudes múltiplas de 6º, coincidindo 
com os fusos da Carta Internacional ao Milionésimo. Cada sistema deve ser prolongado 30' sobre os 
contíguos, formando-se assim uma área de superposição, de 1 de largura na junção de dois fusos 
adjacentes.
3) Adoção de um elipsóide de referência.
4) Fator de redução de escala K0 = 1 − 1/2500 = 0,9996
5) Origem das coordenadas planas, em um fuso, no cruzamento da linha do equador com o 
Meridiano Central (MC), acrescidas as constantes +10.000.000,00 de metros (só para o hemisfério 
Sul) no sentido do Meridiano e +500.000,00 metros no sentido do Paralelo.
6) Numeração dos fusos segundo o critério adotado pela Carta Internacional ao Milionésimo, isto é 
de 1 a 60, a contar do ante meridiano de Greenwich para leste ( figura 37).
O sistema UTM divide o globo em 60 fusos iguais de 6º de amplitude cada um.Conhecendo-
se o fuso em que se encontra a área a ser mapeada podemos determinar o meridiano central (MC) 
referente à mesma, através da seguinte equação:
MC = 6⋅ F − 3 −180º, ondeF é o número do fuso.
Dentro do sistema UTM a Latitude de um ponto é representada pela letra "N" e a
Longitude, pela letra "E". Desta forma para que as coordenadas UTM não tenham valores negativos 
como o que ocorre com as coordenadas geográficas, convencionou-se atribuir à origem "0" 
(intersecção da projeção do meridiano central com a linha do Equador) as coordenadas 
N=10.000.000,00 metros e E=500.000,00 metros para o hemisfério Sul e N=0,00 metros e 
E=500.000,00 metros para o hemisfério Norte, figura 35. 
Portanto, no sistema UTM o Y = N e o X = E.
26
26
Figura 35: Fuso de Coordenadas UTM – Fonte: (IGeoE – Portugal,2006)
3.3 Deformação das áreas na projeção UTM
A fim de reduzir as deformações sofridas no sistema de projeção UTM, limitam-se os 
campos de aplicação a fusos de 6º de amplitude (3 para cada lado do Meridiano Central). A 
projeção Universal Transversa de Mercator (UTM), o cilindro envolvente sofre ma redução, 
tornando-se secante (Figura 36. A secância traz mais vantagens que a tangência porque aquela 
ocasiona duas linhas paralelas ao meridiano central que fornecem distâncias em ua verdadeira 
grandeza. Estas duas linhas estão situadas a 180km a leste e a oeste do meridiano central do fuso. 
Desde que para o meridiano central do fuso se estabelece o valor e 500.000,00 metros, as linhas de 
secância terão coordenadas "E" de 680.000,00 e 20.000,00 metros respectivamente (CORRÊA, 
2012).
Figura 36: Cilindro secante com fuso de 6° de amplitude
Fonte: (CORRÊA, 2012)
27
27
Figura 37: CORRÊA, I. C. K. Apostila de Fundamentos de Topografia, 2007.
3.4 Georreferenciamento
Um georreferenciamento nada mais do que determinar o meridiano do lugar que por sua vez 
coincide com a linha norte/sul e a posição de um ponto na superfície da Terra em relação ao modelo 
elipsóidico adotado, dando origem a um ponto geodésico. Um ponto geodésico possui as 
coordenadas em um sistema universal denominado UTM, conforme descrito no item anterior. 
A determinação do Norte verdadeiro é fundamentada em determinações astronômicas com 
observação a astros, normalmente o Sol ou utilizando o sistema GPS ou ainda um giroscópio, é 
mais precisa que a técnica que se baseia na determinação do Norte magnético para uma posterior 
transformação. 
Conforme as Normas Técnicas para Georreferenciamento Rural do INCRA, o Global 
Navigation Satellite System - GNSS engloba 0 Sistema de Posicionamento Global - GPS e os 
demais sistemas do mesmo gênero. 0 posicionamento por GNSS permite a determinação de 
coordenadas a partir de vértices do Sistema Geodésico Brasileiro ao vértice de referencia do 
georreferenciamento (C1), determinação de coordenadas dos vértices de poligonais de apoio (C2) e 
a determinação de coordenadas dos vértices que definirão perímetro do im6vel rural (C4, C5 e C7).
Posicionamento relativo estático - No método de posicionamento relativo estático, dois ou mais 
receptores rastreiam simultaneamente os satélites visíveis, por um período de tempo que varia de 
acordo com o comprimento da linha de base e a precisão requerida, conforme a Tabela 3.
Este método pode ser adotado para definir vértices das classes C1, C2, C4, C5 e C7. 
Posicionamento relativo estático rápido - O posicionamento relativo estático rápido segue as 
características do posicionamento relativo estático diferenciando - somente no tempo de ocupação, 
que para efeitos desta Norma, varia de 5 a 30 minutos. Neste método mantém-se um ou mais 
receptor{es) coletando dados na estação de referencia enquanto o{s) outro{s) receptor{es) 
percorre{m) as estações de interesse. Nao há necessidade de continuidade de rastreio durante o 
deslocamento entre uma estação e outra. Para que os resultados apresentem razoável nível de 
precisão, o vetor das ambigüidades envolvido em cada linha de base deve ser solucionado, ou seja, 
fixado como inteiro. 0 comprimento de linha de base para este tipo de posicionamento deve ser de 
no máximo 20 km.
Este método pode ser adotado para definir vértices das classes C2, C4, C5 e C7.
 No caso determinação de vértices c1asse C2, deve-se obrigatoriamente validar a solução
 com ajustamento em rede.
28
28
Tabela 3 – Fonte: Normas Técnicas para Georreferenciamento do INCRA
3.5 Transporte de Coordenadas e Compatibilização de Sistemas Diferentes
Na prática é comum encontrar-se levantamentos topográficos bem executados, porém, não 
georeferenciados. Nesta situação é possível transportar coordenadas de pontos geodésicos existentes 
nas proximidades da área quando não se dispõe de equipamentos que facilitem o 
georreferenciamento no próprio local por se tratar de equipamentos de custo relativamente alto. 
Porém, alguns cuidados são necessários por se tratar de dois sistemas de coordenadas totalmente 
diferentes, onde os sistemas não georreferenciados, normalmente, são orientados segundo a linha 
norte/sul magnética, facilmente determinada com uma bússola comum e fazendo com que essa linha 
coincida com o eixo y ou das ordenadas de um sistema cartesiano normal conhecido da matemática, 
arbitrando-se uma coordenada para o ponto inicial de um determinado levantamento topográfico, 
calcula-se as coordenadas dos pontos de uma poligonal fechada a partir das distâncias e ângulos 
medidos no campo, devidamente corrigidas, de acordo com normas de tolerâncias oficiais para cada 
tipo de levantamento. Como os dois sistemas possuem orientações diferentes, é necessário calcular 
o ângulo de rotação para que os eixos X e Y fiquem paralelos e ainda calcular a translação da 
origem das coordenadas para que os dois sistemas sejam compatibilizados. Isto é feito da seguinte 
forma, considerando a figura 38, onde:
29
29
Figura 38: Dois Sistemas de Coordenadas diferentes
PG1 e PG2 são pontos georeferenciados do Sistema Geográfico Brasileiro (SGB);
Obs.: Na figura 38, do lado direito onde estão os pontos demarcados com um triângulo, Pg1 e Pg2, leia-se 
PG1 e PG2; 
P1 e P2 são pontos de uma poligonal qualquer não georreferenciada;
Pg1 e Pg2, do lado esquerdo da figura, demarcados com um cículo, são pontos com a mesma localização, no 
campo, que os pontos P1 e P2 respectivamente. A denominação Pg1 e Pg2 para os pontos P1 e P2, são para 
diferenciar os valores das coordenadas transportadas dos pontos georrefenciados PG1 e PG2. 
A ligação ou amarração entre os pontos dos dois sistemas pode ser feito com uma estação total ou 
teodolito comum, medindo-se os ângulos A1, A2, A3 e A4: bem como as distâncias d1, d2 e d3, (d4 pode ser 
calculado pelas coordenadas). Sendo que caso não exista intervisibilidade entre PG1 e P1 ou PG2 e P2, pode-
se formar uma linha de poligonal onde são medidos os diferentes ângulos e distâncias. Em ambos os casos se 
formará uma poligonal enquadrada entre os dois sistemas, devendo ser verificado o fechamento angular e 
correções, a partir dos ângulos corrigidos, calcular os azimutes dos alinhamentos e com estes e as distâncias 
medidas, calcular as projeções de cada alinhamento, verificando-se o fechamento linear e fazendo as 
respectivas correções de cada alinhamento de forma proporcional às distâncias. 
3.5.1 – Sequência dos cálculos
- Para verificação do fechamento angular de uma poligonal fechada de n pontos:
 Se for ângulo interno: a soma dos ângulos deve ser igual a 180(n-2) e externo igual a 180(n+2).
- Para calcular os azimutes: Soma-se ao azimute inicial os ângulos à direita que tanto podem ser internos 
ou externos, dependendo do sentido do caminhamento e o resultado, se for maior do que 360, tira-se os 360, 
em seguida verifica se o resultado é maior ou menor do que 180; se for maior do que 180, tira 180 e se for 
menor do que 180, soma-se 180 e o resultado é o azimute do alinhamento seguinte.
30
30
- Para o cálculo das projetos: Proj X = distância x senodo azimute do alinhamento correspondente à 
distância e para a projeção em Y ( ordenadas ), fica: Proj. Y = distância x cosseno do azimute do 
alinhamento correspondente à distância.
- Para calcular o ângulo de rotação: é necessário calcular os azimutes dos alinhamentos formados pelos 
pontos PG1 para o PG2 através das suas coordenadas e do alinhamento formado pelos pontos P1 para o P2, 
considerando o cálculo de azimute a direita, isto é, sempre no sentido horário, conforme indicado na figura 
35, inicialmente se calcula um ângulo alfa que pode estar em um dos quatro quadrantes e utilizando os sinais 
conhecidos da matemática para os quatro quadrantes que em topografia são contados no sentido horário 
conforme é mostrado na figura 10 da página 10.
- Cálculos: para o cálculo da rotação é necessário calcular primeiro os azimutes de um mesmo 
alinhamento nos dois sistemas, no caso P1-P2 e Pg1-Pg2:
Cálculo do azimute de P1-P2: Tg α = (Xp2 – Xp1)/(Yp2 – Yp1), onde α é um ângulo que 
pode estar em qualquer um dos quatro quadrantes, através dele e dos sinais encontrados na operação 
entre parênteses indicados na fórmula acima, é possível encontrar o azimute da seguinte forma: se 
(Xp2 – Xp1) for positiva (+) e se (Yp2 – Yp1) for positiva (+), isto indica que o α está no primeiro 
quadrante e neste caso o azimute é igual ao α; se os resultados forem (+) e (-), o α estará no segundo 
quadrante e neste caso o azimute será igual a (180 – α); se for (-) e (-), o α estará no terceiro 
quadrante e neste caso o azimute será igual a (180 + α) e se for (-) e (+), estará no quarto quadrante 
e o azimute será igual (360 – α).
Considerando que as coordenadas dos pontos, conforme a figura 38, são:
Xp1 = 24,5m e Yp1 = 29,0m
Xp2 = 28,5m e Yp2 = 6,8m 
 
Tg α = (28,5 – 24,5)/(6,8 – 29,0) = (+)4/(-)22.2 = 0,1801801 e o arc tg = 10,21396854°, como o 
sinal foi (+) e (-), portanto: azimute igual a (180-α) ou AZ = 180 – 10,21396854 = 169,7860315°.
Coordenadas transportadas do sistema georreferenciado para os mesmos pontos:
Xpg1 = -40,0m e Ypg1 = 50,0m
Xpg2 = -30,0m e Ypg2 = 30,0m
Tg α = (-30,0 – (-40))/(30,0 – 50,0) = (+)10/(-20) = 0,50 e o arc tg = 26,56505118°, como o sinal 
foi (+) e (-), portanto: azimute igual a (180-α) ou AZ = 180 – 26,56505118 = 153,4349488°.
A diferença entre o azimute do sistema não georreferenciado e o azimute calculado pelas 
coordenadas do sistema georreferenciado é igual ao ângulo de rotação necessária para que o 
sistema não georreferenciado se torne paralelo ao georreferenciado:
 
Ângulo de ROTAÇÃO = 169,7860315 – 153,4349488 = 16,3510827° = α’ na figura 38.
Para calcular as coordenadas do ponto Po (origem do sistema não georreferenciado) no 
sistema georreferenciado é necessário calcular também a distância entre os pontos Po e P1 no 
sistema não georreferenciado, bem como o azimute do alinhamento formado por estes dois pontos 
após ter sido feita a rotação deste sistema, sendo que a distância pode ser calculada pela conhecida 
fórmula de Pitágoras da matemática:
Distância Po-p1 = √(Xp1 – XPo) 2 + (Yp1 – YPo)2 = √(24,5 – 0,0)2 + (29,0 – 0,0)2 = 37,96m
Obs.: A distância foi obtida com as coordenadas anteriores à rotação.
Cálculo do Azimute Po-P1 antes da rotação = α’’ na figura 38:
31
31
 Tg α = 24,5/29 = 0,844827586 e α = arc tg, α = 40,19204604°. Como as diferenças: (Xp1 – XPo) e 
(Yp1 – Ypo) são positivas, o α está no primeiro quadrante e portanto o Azimute é igual a α. Isto é: 
Azimute Po-P1= 40,19204604° = α’’ na figura 38.
Cálculo do Azimute Po-P1 após ter sido feito a rotação = Azimute Po-P1r:
O Azimute Po-P1r é igual α’’- α’ = α na figura 38. Portanto:
 Azimute Po-P1r = 40,19204604° - 16,3510827° = 23,84096334°. 
Com o Azimute acima e a distância já calculada Po-P1 = 37,96m, a qual permanece igual 
após a rotação, Po-P1r = 37,96m, calcula-se as projeções em X e Y do segmento Po-P1r no sistema 
não georreferenciado após ter sido feita a rotação, o que torna os eixos das abscissas e ordenadas 
dos dois sistemas, paralelos, cujos valores serão somados às coordenadas do ponto Pg1, cujas 
coordenadas já estão no sistema georreferenciado, compatibilizando desta forma os dois sistemas.
Proj. rotacionada X = Distância x seno do azimute = 37,96 x seno de 23,84096334° = 15,34m;
Proj. rotacionada Y = Distância x cosseno do azimute = 37,96 x cosseno 23,84096334° = 34,72m.
Portanto, as coordenadas do ponto Po no sistema georreferenciado será igual a:
Como Xpg1 = -40,0m e Ypg1 = 50,0m, 
Para transformar os demais pontos não georeferenciados é só somar algebricamente os 
valores das suas coordenadas com as coordenadas do ponto Po georeferenciado. 
 
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4. ALTIMETRIA
Topologia: Para possibilitar o traçado da planta planialtimétrica, o levantamento de obter 
dados que permitam marcar no desenho um número de pontos cotados capaz de caracterizar o 
relevo da superfície topográfica através das curvas de nível que melhor o represente. Esses pontos 
notáveis são os pontos onde o terreno apresenta uma mudança acentuada de declividade em relação 
as suas proximidades.
A união de pontos notáveis de mesma categoria, da origem as linhas notáveis que se classificam 
em:
1 - Linhas de cumeada, de espigão ou divisórias de águas, que são linhas formadas pela sucessão de 
pontos notáveis mais altos. As águas das chuvas que caem sobre uma linha de cumeada se dividem, 
caindo uma parte em cada uma das superfícies laterais, chamadas de vertentes das águas.
2 - Linhas de talvegue, são formadas pela sucessão de pontos notáveis mais baixos, em relação as 
suas proximidades. Ao longo das linhas de talvegue reúnem-se as águas das vertentes, formando os 
cursos d’água.
3 - Linhas notáveis intermediárias, sem nome próprio, caracteriza a forma de sua superfície 
topográfica.
 A construção das curvas de nível é feita através de pontos cotados, criteriosamente 
levantados no local, marcados e cotados no desenho. A Caderneta de campo, além das anotações 
correspondentes ao levantamento dos pontos, deve descrever o aspecto geral do terreno, e indicação 
de linhas notáveis. Na confecção da planta planialtimétrica, com curvas de nível, deve-se marcar 
inicialmente os pontos cotados conhecidos, procurando visualizar, a seguir o relevo do terreno, 
delineando as linhas notáveis, os vales e os espigões. Em seguida são determinadas as cotas cheias 
entre cada par de pontos, em um processo gráfico. Finalmente, unem-se criteriosamente os pontos 
de mesma cota cheia (inteira), dando a cada curva um aspecto compatível com as formas naturais 
do terreno.
A experiência conseguida por constantes observações, permite que se chegue a algumas 
conclusões a respeito das curvas de nível:
1 - As curvas de nível, nos terrenos naturais, tendem a um certo paralelismo e são isentas de ângulos 
vivos e curvas bruscas .
2 - As curvas de nível não se cruzam.
3 - Uma curva de nível não tangência a si mesma.
4 - As curvas de nível cortam perpendicularmente as linhas de água.
5 - As curvas de nível formam linhas fechadas em torno das elevações e depressões.
6 - As curvas de nível tendem a ser paralelas as linhas de fundo de vale.
7 - As curvas de nível são contínuas e não se interrompem bruscamente.
 
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Figura 39 – Representação do Relevo com Curvas de Nivel
4.1 Métodos para a determinação do desnível entre dois pontos.
1 - Nivelamento Geométrico.
2 - Nivelamento Trigonométrico.
3 - Nivelamento Barométrico.
4 – GPS (Sistema de Posicionamento Global)
O nivelamento geométrico é baseado na diferença de leituras feitas em miras graduadas. É 
de grande precisão, sendo muito utilizado em levantamentos de 1a ordem com erros em milímetros.
O nivelamento trigonométrico é baseado na resolução de triângulos retângulos , com 
precisão inferior ao nivelamento geométrico.
O nivelamento barométrico é baseado no decréscimo da precisão com a altitude, sendo de 
apenas alguns metros, tendo como vantagem a independênciadas observações, não necessitando de 
visibilidade entre os pontos.
4.2 Nivelamento Geométrico:
Como considerado anteriormente, o processo consiste na diferença de leituras feitas sobre as miras 
graduadas, utilizando níveis de luneta. Conhecendo-se a altitude ou cota do primeiro ponto, 
determina-se a altitude ou cota do segundo. Os pontos de altitudes conhecidas são encontrados no 
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I.B.G.E. (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) e na D.S.G. (Diretoria de Serviço 
Geográfico). Esses pontos são denominados de RN (Referência de Nível), baseados no datum 
altimétrico de Imbituba - SC.
O nivelamento geométrico é classificado segundo o seu erro de fechamento, no nivelamento e 
contra nivelamento:
1a Ordem - erro < 4mm.
2a Ordem - erro < 6mm.
Topográfico - erro < 3cm
Dependendo do tipo de levantamento e do tipo de terreno, as operações de campo podem ser feitas 
utilizando um dos métodos a seguir:
1 - Visadas iguais.
2 - Visadas extremas.
3 - Visadas recíprocas.
4 - Visadas eqüidistantes.
O método das visadas iguais é o mais utilizado, empregando-se o nível de luneta afastado 
igualmente de ambas as miras sobre os pontos dos quais se deseja definir o desnível.
Figura 40 – Método das Visadas Iguais
Assim: ∆H = R - V
A maior vantagem do processo, sem considerar a sua extrema simplicidade, é de que os 
erros provocados pela curvatura da terra, refração atmosférica e colimação vertical, ficam 
eliminados na diferença de leituras.
Se dois pontos dos quais se deseja conhecer o desnível, estão muito afastados, haverá a 
necessidade de mudar o nível várias vezes até obtermos o desnível.
Assim: ∆H = Σ (R -V)
Se tivermos a altitude ou cota de um dos pontos, ao somarmos o desnível entre os mesmos 
com esta, teremos a cota ou altitude do outro ponto.
A igualdade das distâncias do nível de luneta para as miras, é obtida contando-se os passos da mira 
a ré ao nível, e do nível a mira a vante, com uma tolerância de erro aproximadamente de 2 metros.
Os demais métodos de nivelamento geométrico citados anteriormente, não são usuais, portanto não 
os descreveremos aqui.
4.3 Nivelamento Trigonométrico:
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O nivelamento trigonométrico pode ser dividido em:
1 - Nivelamento trigonométrico de curto alcance.
2 - Nivelamento trigonométrico de longo alcance.
O nivelamento trigonométrico de curto alcance, é normalmente usado em levantamentos 
topográficos por caminhamento, ficando o de longo alcance, para triangulações fundamentais ou 
secundárias, e poligonais com distanciômetros eletrônicos. O segundo caso não será descrito aqui.
O nivelamento trigonométrico baseia-se na resolução de triângulos retângulos, determinando 
assim, não só o desnível entre os pontos, bem como a distância entre eles.
Figura 41 – Nivelamento Trigonométrico
Assim: D = (S -I).K.cos2 (90° - z) ou D = (S - I).K.cos2 α
 ∆H = D.tg (90° - z) + hi - M ou ∆H = D.tg α + hi - M
onde: α = ângulo vertical ao horizonte.
 z = ângulo zenital.
 hi = altura do teodolito.
 D = distância entre os pontos. 
 ∆H = desnível entre os pontos.
 S = leitura estadimétrica no retículo superior.
 M = leitura estadimétrica no retículo médio. 
 S = leitura estadimétrica no retículo inferior.
 K = constante do aparelho igual a 100.
Exemplo: Determinar a distância e desnível entre os postos 1 e 2, para os seguintes dados obtidos 
em um levantamento trigonométrico:
z = 92° 16’20” S = 1,000 M = 0,801 I = 0,600 hi = 1,685 K = 100
D = (1,000 - 0,600).100.cos2 (90° - 92,272222°)
D = 40,00 . 0,998428
D = 39,937 m
∆H = 39,937 . tg (90° - 92,27222°) + 1,685 - 0,801
∆H = 39,937 . tg (-2,27222°) + 1,685 - 0,801
∆H = - 0,7006 m
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Devemos tomar cuidado quando da utilização do ângulo vertical ao horizonte (α), quanto ao sinal 
positivo ou negativo, se o mesmo for medido acima ou abaixo do horizonte respectivamente.
Se tivermos a cota ou altitude do ponto onde está instalado o aparelho, e somarmos ao desnível, 
obteremos a cota ou desnível onde está mira.
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5. TERRAPLANAGEM PARA PLATAFORMAS
Nesta parte abordaremos os trabalhos de terraplenagem para construção de plataformas 
horizontais.
Para melhor planejarmos devemos ter conhecimento da altimetria, por pontos cotados em uma 
malha, ou pelas curvas de nível, isto é obtido pelo levantamento planialtimétrico do local onde 
realizar-se-á a terraplenagem.
Esta malha anteriormente citada será quadrada de 20 X 20 metros, podendo ser reduzida em função 
da área, para 10 X 10 metros ou ainda 5 X 5 metros para lotes urbanos e pequenos. 
A terraplenagem é feita para uma determinada finalidade ou objetivo como segue:
1a hipótese: o plano horizontal sem imposição de uma cota final determinada.
2a hipótese: o plano horizontal com imposição de uma cota final determinada.
Sabe-se que o custo da terraplenagem compõe-se basicamente pelo custo do corte e 
transporte. O aterro é uma conseqüência do corte e transporte, como tal não é pago. baseado nisso a 
topografia poderá escolher uma altura do plano final que determine volumes iguais de corte e aterro 
ou o mínimo de transporte possível, solução portanto mais econômica. Caso o projeto obrigue a 
uma determinada altura do plano, restará a topografia a sua aplicação e cálculo dos volumes de 
corte e aterro, os quais serão diferentes.
Para exemplificar as duas hipóteses usar-se o mesmo modelo de terreno, um quadrado de 30 
X 30 metros como segue:
Figura 42 – Plano Cotado e Curva de Nível
1 - Calcular a cota final para um plano horizontal, de forma que os volumes de corte e aterro sejam 
iguais.
2 - Calcular o volume de bota-fora para que a cota final do plano horizontal fique em 4,60 m.
Resolução:
1 - determinação da cota em função dos pesos:
peso 1 peso 2 peso 4 Número de pesos:
4,2 3,0 4,0 peso 1 = 4
38
38
4,4 2,8 3,5 peso 2 = 8
7,4 5,1 4,7 peso 4 = 4
7,0 6,3 5,0
6,0 total = 16
6,2
6,1
 5,0 
23,0 40,5 17,2
x 1 x 2 x 4 cota final = (23,0 + 81,0 + 68,8) / 16
23,0 81,0 68,8 cota final = 4,8 metros
2 - determinação do volume de bota fora para cota final de 4,6 m.
Diferença entre a cota 4,8 m (cota para corte = aterro) e cota final de 4,6 m, é de 0,20 m,
em uma área de 900 m2 (30m X 30m), teremos um volume de bota-fora iguala 180 m3.
Figura 43 - 1o perfil
Área de aterro = 43,00 m2
Área de corte = 00,00 m2
Figura 44 - 2o perfil
Área de aterro = 18,98 m2
Área de corte = 0,48 m2
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Figura 45 - 3o perfil
Área de aterro = 0,20 m2
Área de corte = 15,20 m2
Figura 43 - 4o perfil
área de aterro = 0,00 m2
área de corte = 50,00 m2
Vc12 = 2,40 m3 Va12 = 309,90 m3
Vc23 = 78,40 m3 Va23 = 95,90 m3
Vc34 = 326,00 m3 Va34 = 1,00 m3
Volume de corte = Volume de aterro = 406,80 m3
6. LOCAÇÃO DE OBRAS
Locação de uma obra é a operação inversa de um levantamento, também chamado de 
medição, onde o profissional vai ao campo obter dados para cálculo e desenho. Na locação também 
chamada de marcação , os dados foram processados no escritório para posteriormente serem 
implantados no campo através de um projeto. O sucesso de uma obra depende das duas atividades 
bem executadas.
A locação poderá se efetuada de duas .maneiras diferentes: 
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1 - Através de um sistema coordenadas cartesianas.
2 - Através de um sistema coordenadas polares.
Dos dois sistemas o mais utilizado para determinação de alinhamentos é o cartesiano e na 
determinação de pontos, o melhor é o de coordenadas polares.
Poderemos locar uma obra, através das estacas ou dos alinhamentos das paredes.
Locação de estacas:
Com o projeto do estaqueamento em mãos, escolhemos a origem do sistema cartesiano que pode ser 
um ponto do alinhamento predial ou uma das estacas previstas no projeto. Definido o sistema, 
instala-se o teodolitona origem deste, e define-se os alinhamentos e distâncias para as outras 
estacas. Para se evitar a perda deste piqueteamento, procede-se a marcação dos alinhamentos em 
tábuas ou sarrafos nivelados e colocados em torno de toda a obra a ser executada.
Os alinhamentos a qualquer momento poderão ser materializados através de linhas de nylon 
esticadas a partir destes sarrafos, podendo assim recuperar os posicionamentos das estacas, os quais 
estarão localizados no cruzamento das linhas e definidos no solo (ou sobre os piquetes) através de 
um prumo de centro.
Locação de Paredes:
Esta locação é similar a feita para estacas, diferindo apenas que ao invés de marcarmos o 
centro das estacas, marcamos os eixos da paredes ou uma das faces das mesmas, principalmente 
para as paredes externas. Neste caso também faremos uma amarração em tábuas ou sarrafos 
colocados ao redor de toda a obra a ser executada.
 
REFERÊNCIAS
ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 13.133. Execução de Levantamento 
Topográfico. Rio de Janeiro, 1994.
BORGES, A. C. Exercícios de Topografia. São Paulo: 3ª. Ed. Edgar Blucher Ltda., 1975.
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CASTRO JR, R. M. Apostila de Topografia. UFPE, 1998.
CORRÊA, I. C. S. Apostila de Topografia Aplicada à Engenharia Civil da UFRGS. 2012.
ESPARTEL, L. Curso de Topografia. Rio de Janeiro: Ed. Globo, 1987.
GEMAEL, C. Introdução à Geodésia Geométrica. Universidade Federal do Paraná. Curso
de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. Curitiba, 1987.
GEMAEL, C. Introdução ao ajustamento de observações: aplicações geodésicas.
Universidade Federal do Paraná. Curitiba, 1994. 319 p.
McCormarc, J. C. TOPOGRAFIA. 5ª. Ed. Rio de Janeiro: Ed. Globo, 2007.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Apostila de Fundamentos de 
Topografia, 2007.
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