Aula25ES_-_Relaes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ – CAMPUS QUIXADÁ
BACHARELADO EM ENGENHARIA DE SOFTWARE
Aluno(a): ________________________________________ Matrícula:____________
Data: ___/____/______ Período: 2011.1
ENGENHARIA DE SOFTWARE
LISTA DE EXERCÍCIOS – RELAÇÕES E FUNÇÕES
 1. Defina se cada uma das relações a seguir é “1 para 1”, “1 para muitos”, “ muitos para 1” ou 
“muitos para muitos”.
 a) ρ = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (4, 3)}
 b) ρ = {(9, 7), (6, 5), (3, 6), (8, 5)}
 c) ρ = {(12, 5), (8, 4), (6, 3), (7, 12)}
 d) ρ = {(2, 7), (8, 4), (2, 5), (7, 6), (10, 1)}
 e) S = Naturais, x ρ y ↔ x = y + 1.
 f) S = Conjunto de todas as mulheres em Quixadá, x ρ y ↔ x é filha de y.
 g) S = P({1, 2, 3}), A ρ B ↔ |A| = |B|.
 h) S = Reais, x ρ y ↔ x = 5.
 2. Seja S = {0, 1, 2, 4, 6}. Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são Reflexivas, 
Transitivas, Simétrica e/ou Anti-Simétricas.
 a) ρ = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (0, 1), (1, 2), (2, 4), (4, 6)}
 b) ρ = {(0, 1), (1, 0), (2, 4), (4, 2), (4, 6), (6, 4)}
 c) ρ = {(0, 1), (1, 2), (0, 2), (2, 0), (2, 1), (1, 0), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}
 d) ρ = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (4, 6), (6, 4)}
 e) ρ = ∅
 3. Seja S = Conjunto de pessoas no Brasil. Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são 
Reflexivas, Transitivas, Simétrica e/ou Anti-Simétricas.
 a) x ρ y ↔ x é pelo menos tão alto quanto y.
 b) x ρ y ↔ x é mais alto do que y.
 c) x ρ y ↔ x tem exatamente a mesma altura que y.
 d) x ρ y ↔ x é filho ou filha de y.
 e) x ρ y ↔ x é marido de y.
 f) x ρ y ↔ x é cônjuge de y.
 g) x ρ y ↔ x tem os mesmos pais que y.
 4. Alguma das relações do exercício 3 é uma relação de EQUIVALÊNCIA?
 5. Para cada item da questão 3, encontre:
 a) Seu fecho Simétrico.
 b) Seu fecho Transitivo.
 c) Seu fecho Reflexivo.
 d) Seu fecho Simétrico, Transitivo e Reflexivo.
 6. Sejam ρ e σ relações binárias em um mesmo domínio S.
 a) Se ρ e σ são reflexivas, ρ ∪ σ é reflexiva? E ρ ∩ σ?
 b) Se ρ e σ são simétricas, ρ ∪ σ é simétrica? E ρ ∩ σ?
 c) Se ρ e σ são anti-simétricas, ρ ∪ σ é anti-simétrica? E ρ ∩ σ?
 d) Se ρ e σ são transitivas, ρ ∪ σ é transitiva? E ρ ∩ σ?
 7. Seja ρ uma relação binária em um conjunto S. A inversa de ρ, denotada por ρ-1, é a relação 
binária definida por x ρ-1 y ↔ y ρ x.
 a) Se ρ = {(1, 2), (2, 3), (5, 3), (4, 5)} com domínio nos Naturais, o que é ρ-1?
 b) Prove que, se ρ é uma relação reflexiva em S, então ρ-1 também será reflexiva em S.
 c) Prove que, se ρ é uma relação simétrica em S, então ρ-1 também será simétrica em S.
 d) Prove que, se ρ é uma relação anti-simétrica em S, então ρ-1 será anti-simétrica em S.
 e) Prove que, se ρ é uma relação transitiva em S, então ρ-1 também será transitiva em S.
 8. Sobre a figura abaixo, responda:
 a) Ela representa uma função de S em T?
 b) Caso sim, diga quem são se Domínio, Contradomínio e Imagem.
 c) Se é verdade que a figura representa uma função, qual é a imagem de 5? E de 8?
 d) Quais são as imagens inversas de 9?
 e) Essa função é sobrejetora? E injetora?
 9. Seja f: S → T, f(x) = 2x – 1. Escreva a função como um conjunto de pares ordenados 
considerando T = ℝ e domínio S abaixo:
 a) S = {0 , 1, 2}
 b) S = {0 , 1, 2, 4, 5}
 c) S = { 7 ; 1,5}
 10. Seja f: S → T e A ⊆ S, f(A) = {y | (x ∈ A) e f(x) = y}. Se f: ℤ → ℤ é definida por
 f(x) = 3x, encontre f(A) para:
 a) A = {1, 3, 5}
 b) A = {x | x é inteiro e ∃ y  (y é inteiro e x = 2y)}
 11.Quais das definições a seguir são funções no domínio e contradomínio indicados? Nos itens em 
que há funções definidas, diga se são injetoras ou sobrejetoras e descreva as funções inversas 
das bijetoras. Considere os símbolos N, Z, Q e R para Naturais, Inteiros, Racionais e Reais, 
respectivamente.
 a) f: Z → N, onde f é dada por f(x) = x2 + 1.
 b) g: N → Q, onde g é dada por g(x) = 1/x.
 c) h: Z x N → Q, onde h é definida por h(z, n) = z/(n + 1).
 d) f: {1, 2, 3} → {p, q, r}, onde f = {(1,q), (2, r), (3, p)}.
 e) g: N → N, onde g é dada por g(x) = 2x.
 f) h: R2 → R2, onde h é dada por h(x, y) = (y+1, x+1).
 g) f: Z2 → N, onde f é definida por f(x, y) = x2 + 2y2.
 h) f: N → N, onde f é dada por f(x) = x/2 se x for par
 e f(x) = x+1 se x for ímpar.
 i) g: Z → N, onde g é dada por g(x) = 1/ x1 .
 j) f: N → N, onde f é definida por f(x) = x + 1 se x for par
 e f(x) = x – 1 se x for ímpar.
 k) h: N3 → N, onde h é dada por h(x, y, z) = x + y - z.
 l) g: N2 → N3, onde g é dada por g(x, y) = (y, x, 0).
 12. Sejam S = {a, b, c, d} e T = {x, y, z}.
 a) Dê um exemplo de função que não seja nem injetora nem sobrejetora.
 b) Dê um exemplo de função que seja sobrejetora, mas não seja injetora.
 c) É possível construir um exemplo de função bijetora?
 13. [SUMÁRIO ENVOLVENDO CONJUNTOS, RELAÇÕES E FUNÇÕES]
Seja S = {1, 2}, faça:
 a) Descreva as possíveis associações entre elementos de S (pares ordenados de S × S).
 b) Calcule o conjunto das partes de S × S.
 c) Baseado nos itens (a) e (b), quantas diferentes relações ρi podemos definir em S?
 d) Avalie cada ρi encontrada em (c) e determine se fi é reflexiva, simétrica, transitiva e/ou anti-
simétrica.
 e) Quais das relações definidas em (c) são relações de equivalência?
 f) Para cada relação ρi definida em S e destacada no item (c), determine se ρi é ou não uma 
função. Se ρi é uma função, chame-a de fi.
 g) Determine se cada função fi identificada em (f) é injetora e/ou sobrejetora.
 h) Quais funções fi avaliadas em (g) são inversíveis?
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