Topografi Aplicada_2012
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Topografi Aplicada_2012


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Iran Carlos Stalliviere Corrêa 
Departamento de Geodésia \u2013 IG/UFRGS Porto Alegre/RS 
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CAPÍTULO VI 
 
 
1. CURVAS DE CONCORDÂNCIA E DE TRANSIÇÃO 
 
1.1 Introdução 
 
 O eixo de uma estrada é formado por inúmeras linhas retas as quais encontram-se 
ligadas entre si por curvas. Cada duas seqüências de linhas retas adjacentes são ligadas por 
uma curva cujo raio varia de acordo com as condições de tráfego que utilizarão a via e as 
condições da superfície do terreno. 
 As curvas empregadas em traçados de vias são geralmente circulares, havendo, porém, 
casos em que curvas parabólicas podem ser empregadas. Emprego de curvas circulares 
concordando com o alinhamento inicial e final, por meio de arcos de parábola ou espiral de 
transição são utilizadas a fim de se obter melhor adaptação e visibilidade dos veículos. 
 Quando uma direção sofre mudança em sua linha de transporte, torna-se necessário a 
locação de uma curva de concordância. Para as estradas rodoviárias e ferroviárias, a curva 
mais indicada é a do tipo circular, isto é, um arco de circunferência de circulo. 
Em áreas exclusivamente residenciais, onde a circulação de veículos deve ser de baixa 
velocidade, a concordância entre as tangentes pode ser efetuada por uma curva circular, sem a 
espiral de transição, com raio mínimo que permita a circulação de veículos de pequeno porte, 
entretanto, deverá ser observada a sobrelevação de no máximo 6% e no mínimo 2%. 
 
1.2 Tipos de Curvas 
 
a) Curva Simples é aquela que apresenta um único valor de raio, como a curva AB 
apresentada na figura 22. O ponto A é chamado de Ponto de Curva (PC) e o ponto 
B é denominado de Ponto de Tangência (PT). 
 
R
 A B
O 
Fig 22. Curva Simples 
 
b) Curvas Compostas são aquelas curvas contínuas formadas de dois ou mais arcos de 
curvas, de raios diferentes, como a curva apresentada na figura 23. Os pontos A e 
D são, respectivamente, os pontos PC e PT da curva, enquanto que os pontos B e C 
são Pontos de Curva Composta (PCC). 
 
A
B C
D
R
R' R"
O
O'
O"
 
Fig.23 Curvas Compostas 
 
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c) Curvas Reversas são aquelas curvas contínuas formadas por arcos de dois círculos 
de mesmo raio ou de raios diferentes cujos centros se encontrem em lados opostos 
da curva. O ponto B, comum às duas curvas é denominado de Ponto de Curva 
Reversa (PCR). 
 
A
B C
O
O'
R
R'
 
 
Fig.24 Curvas Reversas 
 
 
 As Curvas Reversas têm aplicações limitadas e não é muito aconselhável sua 
aplicação a não ser nas pêras de concordância dos traçados em serpentina para galgar 
encostas íngremes. Em vias rodoviárias e ferroviárias, devido à passagem brusca de 
uma curva a outra e à força centrífuga gerada pela mudança de direção, as curvas 
reversas não são empregadas senão com tangentes intermediárias. 
 
 
O
O' O"
R
R' R"
A
B C
D
 
 
Fig.25 Curvas reversas em pêra 
 
 
 
1.3 Curva Circular Horizontal de Concordância 
 
 Com base na figura 26, podemos estabelecer os elementos geométricos da curva 
circular. 
 
 
 
 
 
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PC
PI
PT
T
R
R
C
I/2
I
D
d20
cor
da
54
55
5656
57
57
58
58
59
59+16,00
54+8,00
O
E
 
Fig.26 Curva Circula 
 
 PC = Ponto de início da curva 
 PI = Ponto de intersecção das tangentes 
 PT = Ponto de tangência ou término da curva 
 R = Raio da curva 
 T = Tangente (distância entre PC e PI que é igual à distância entre PI e PT) 
 I = Ângulo interno da curva 
 C = Comprimento da curva 
 D = Grau da curva 
 d = Ângulo de deflexão (entre a tangente e a corda) 
 E = Distância entre PI e a curva 
 
 A curva será locada através de cordas com valor pré estabelecido, o qual é 
normalmente de 20 metros. Este valor depende muito do raio da curva. Quanto menor for o 
raio da curva, menor será o comprimento da corda, facilitando assim a locação da mesma no 
campo. 
 
a) Ângulo Interno da Curva (I) 
 
 O ângulo interna da curva (I) é equivalente à deflexão das tangentes e pode ser 
determinado pela diferença dos azimutes das mesmas conforme figura 27. 
 
PC
PT
PI I
N
N
Az
Az
 
Fig. 27 
 
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Desta maneira, podemos dizer que: 
 )(º180 PIPTPIPC AzAzI \u2212\u2212 \u2212\u2212= 
 
b) Comprimento da Curva 
 
O comprimento da curva é a distância em arco entre PC e PT. Pode ser determinado a 
partir da figura 26, considerando-se as cordas de 20 metros: 
 
 
DI
C 20= logo m
D
IC 20×= 
ou 
 
360
2 R
I
C \u3c0= logo 
180
.. IR
C
\u3c0= 
 
c) Cálculo das estacas PC e PT 
CPCPTCPTPC +=\u2212= 
 
d) Cálculo do Grau da Curva (D) 
 
Chama-se Grau da Curva (D) o ângulo central, que compreende uma corda de um dado 
comprimento. O grau da curva é independente do ângulo central da curva (I). 
Pela figura 26 podemos dizer que: 
 
 
C
ID =
20
 logo 
C
I
D
20.= 
 
e) Cálculo da tangente (T) 
 
A tangente (T) é o segmento de reta que vai de PC a PI ou de PI a PT. 
Pela figura 26 podemos dizer que: 
 
 
2
ItgRT ×= 
 
f) Cálculo do Raio da Curva (R) 
 
O Raio da Curva é um elemento selecionado por ocasião do projeto, de acordo com as 
características técnicas da rodovia e a topografia da região. 
 
O cálculo do Raio da Curva está relacionado diretamente com o Grau da Curva (D), 
considerando-se cordas de 20 metros. 
 
 
20..2
º360 D
R
=\u3c0 logo DR .
3600
\u3c0= 
 
g) Cálculo do Afastamento (E) 
 
O Afastamento (E) é a distância entre o ponto PI e a curva 
Da figura 26 podemos dizer, a partir do triângulo PC-O-PI: 
 
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)(2
cos
ER
RI
+= logo 
2
cos
)( I
R
ER =+ 
 
RI
R
E \u2212=
2
cos
 sabendo-se que \u3b1\u3b1 cos
1
sec = podemos substituir e teremos: 
 
\u23a5\u23a6
\u23a4
\u23a2\u23a3
\u23a1 \u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b= 1
2
sec
I
RE 
 
h) Ângulo de deflexão para cordas de 20 metros 
 
O ângulo de deflexão permitirá a locação, em campo, dos pontos que demarcarão o eixo 
da curva. 
 
220
Dd = 
 
 
1.3.1 Exercício Elucidativo 
 
Deseja-se calcular e preparar a planilha para a locação de uma Curva Horizontal 
Circular pelo método das deflexões, estaqueada de 20 em 20 metros e cujos dados conhecidos 
do projeto